Exercices de la catégorie Analyse
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Analyse : liste des exercices
Analyse ⇐ Nombres complexes ⇐ Racines n-ièmes
Exercice #33
Détails de l'exercice #33
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On note $\mathbb{U}_n$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité. Calculer :\[ a) \prod_{z \in \mathbb{U}_n}z \quad \quad b) \sum_{z \in \mathbb{U}_n}|z-1|.\]
Exercice #34
Détails de l'exercice #34
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Résoudre l'équation suivante d'inconnue $z \in \mathbb{C}$ : \[ z^n=\overline{z}. \]
Exercice #30
Détails de l'exercice #30
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On note $\mathbb{U}_n$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité.
- Soit $p \in \mathbb{N}$. Calculer $\displaystyle \sum_{z \in \mathbb{U}_n} z^p$.
- En déduire la valeur de la somme $\displaystyle \sum_{z \in \mathbb{U}_n}(1+z)^n$.
Exercice #32
Détails de l'exercice #32
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Résoudre l'équation suivante d'inconnue $z\in \mathbb{C}$ :\[ z^2+5z+7=i\]
Analyse ⇐ Nombres complexes ⇐ Bases des nombres complexes
Exercice #38
Détails de l'exercice #38
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $z \in \mathbb{C} \smallsetminus{1}$ tel que $|z|=1$.
Montrer que $\displaystyle \frac{z+1}{z-1}$ est un imaginaire pur.
Montrer que $\displaystyle \frac{z+1}{z-1}$ est un imaginaire pur.
Exercice #5
Détails de l'exercice #5
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
- Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}_+$, on a $\sin(x)\leqslant x$.
- Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\cos(x)\geqslant 1-\frac{x^2}{2}$.
Exercice #7
Détails de l'exercice #7
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
- Soit $p,q$ des réels. Écrire, lorsque l'expression est définie, $\dfrac{\cos(q)-\cos(p)}{\sin(p)+\sin(q)}$ sous la forme $\tan(?)$ avec $?$ à déterminer.
- En déduire $\tan(\frac{\pi}{24})$.
Exercice #10
Détails de l'exercice #10
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Résoudre les équations suivantes d'inconnues $x \in \mathbb{R}$ :
- $3\cos(x)-\sqrt{3}\sin(x)=\sqrt{6}$.
- $\cos^4(x)+\sin^4(x)=1$.
Exercice #9
Détails de l'exercice #9
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
On considère la fonction $f:x \mapsto \cos^3(x)+\sin^3(x)$
- Étudier $f$ sur $\mathbb{R}$
- Résoudre l'équation $f(x)=1$.
Analyse ⇐ Fonctions de la variable réelle ⇐ Convexité
Exercice #11
Détails de l'exercice #11
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Montrer que pour tout $x \in [0,\frac{\pi}{2}]$ ;\[ \frac{2}{\pi}x\leqslant \sin(x) \leqslant x\]
Exercice #13
Détails de l'exercice #13
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $p,q \in ]1,+\infty[$ tels que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Montrer que, pour tous$x,y \in \mathbb{R}$ :\[ xy\leqslant \frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}.\]
Exercice #14
Détails de l'exercice #14
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Montrer que pour tous $x,y,a,b \in \mathbb{R}_+^*$, on a l'inégalité suivante :\[(x+y)\ln\left(\frac{x+y}{a+b}\right)\leqslant x\ln\left(\frac{x}{a}\right)+y\ln\left(\frac{y}{b}\right)\]
Exercice #12
Détails de l'exercice #12
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que pour tous $x_1,...,x_n \in \mathbb{R}$ :\[ \left(\sum_{k=1}^n x_k\right)^2\leqslant n \sum_{k=1}^n x_k^2.\]
Analyse ⇐ Intégration ⇐ Intégration sur un intervalle quelconque ⇐ Nature d'une intégrale généralisée
Exercice #40
Détails de l'exercice #40
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante :\[ \int_0^1 \frac{\ln(1+t)}{t^{\frac{3}{2}}}\text{d}t\]
Exercice #44
Détails de l'exercice #44
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante :\[ \int_a^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t^2}\text{d}t\]pour $a=1$ puis pour $a=0$.
Exercice #45
Détails de l'exercice #45
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante :\[ \int_0^{1} \cos(\ln(t))\text{d}t\]
Exercice #46
Détails de l'exercice #46
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante :\[ \int_0^{+\infty} \sin(x)\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)\text{d}x\]
Exercice #48
Détails de l'exercice #48
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante :\[ \int_1^{+\infty} \frac{\ln(1+\frac{1}{t})}{\sqrt{t-1}}\text{d}t\]
Exercice #47
Détails de l'exercice #47
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante :\[ \int_0^{+\infty} \left(t+1-\sqrt{t^2+2t}\right)\text{d}t\]
Analyse ⇐ Intégration ⇐ Intégration sur un intervalle quelconque ⇐ Nature d'une intégrale généralisée ⇐ Nature d'une intégrale généralisée en fonction d'un paramètre
Exercice #50
Détails de l'exercice #50
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante en fonction de $\alpha \in \mathbb{R}$ :\[ \int_0^{+\infty} \frac{\ln(1+t)}{t^{\alpha}}\text{d}t\]
Exercice #51
Détails de l'exercice #51
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante en fonction de $\alpha \in \mathbb{R}$ :\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \tan^{\alpha}(\theta)\text{d}\theta\]
Analyse ⇐ Intégration ⇐ Intégration sur un intervalle quelconque ⇐ Nature d'une intégrale généralisée ⇐ Nature et calcul d'une intégrale généralisée
Exercice #52
Détails de l'exercice #52
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Montrer la convergence puis calculer l'intégrale suivante :\[ \int_0^{+\infty} \frac{1}{1+t^3}\text{d}t\]
Exercice #16
Détails de l'exercice #16
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Déterminer la limite de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ telle que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :\[u_n=\sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^2}\]
Exercice #17
Détails de l'exercice #17
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Déterminer la limite de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ telle que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :\[u_n=\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+k^2}\]
Exercice #20
Détails de l'exercice #20
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue telle que $\displaystyle \int_0^1 f(t)\text{d}t=\frac{1}{2}$. Montrer que $f$ admet un point fixe.
Exercice #21
Détails de l'exercice #21
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $a,b \in \mathbb{R}$ avec $a< b$ et $f,g$ des fonctions continues de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$ avec $g$ positive sur $[a,b]$. Montrer qu'il existe $c \in [a,b]$ tel que :\[ \int_a^b f(t)g(t)\text{d}t=f(c)\int_a^b g(t) \text{d}t.\]
Exercice #22
Détails de l'exercice #22
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $a,b \in \mathbb{R}$ avec $a< b$ et $f,g$ des fonctions de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$. On suppose que $f$ est de classe $C^1$, positive et décroissante sur $[a,b]$ et que $g$ est continue sur $[a,b]$.
On note $G$ la primitive de $g$ qui s'annule en $a$.
On note $G$ la primitive de $g$ qui s'annule en $a$.
- Montrer que $\int_a^b f(t)g(t)\text{d}t = f(b)G(b)-\int_a^b f'(t)G(t)\text{d}t$.
- Expliquer pourquoi $G$ atteint des minimum et maximum notés respectivement $m$ et $M$ sur $[a,b]$
- Montrer qu'il existe $c \in [a,b]$ tel que :\[\int_a^b f(t)g(t)\text{d}t=f(a)\int_a^cg(t)\text{d}t.\]
Exercice #29
Détails de l'exercice #29
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Calculer l'intégrale suivante grâce à un changement de variable bien choisi :\[\int_1^2 \frac{\ln(t)}{\sqrt{t}}dt.\]
Exercice #27
Détails de l'exercice #27
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Déterminer une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction suivante :\[f:t\mapsto \frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\]
Exercice #28
Détails de l'exercice #28
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Calculer l'intégrale suivante grâce à une intégration par partie :\[\int_0^1 \ln(1+t^2)dt.\]
Exercice #23
Détails de l'exercice #23
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue. Montrer que $f$ possède une unique primitive $F$ sur $[0,1]$ telle que :\[\int_0^1F(t) dt =0.\]
Exercice #26
Détails de l'exercice #26
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Pour tout $p,q \in \mathbb{N}$, calculer\[I_{p,q}=\int_0^1 t^p(1-t)^q dt\]
Exercice #25 Intégrales de Wallis
Détails de l'exercice #25
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose $\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n(t) dt$.
- Montrer que $I_n >0$ et que $I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n(t) dt$.
- Établir une relation entre $I_{n+2}$ et $I_n$ puis en déduire une expression de $I_n$ à l'aide de factorielles en distinguant les cas $n$ pair et impair.
- Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ :\[ (n+1)I_nI_{n+1}=\frac{\pi}{2}\quad \text{et}\quad I_{n+2}\leqslant I_{n+1}\leqslant I_n.\]
- En déduire que $\frac{I_{n+1}}{I_n}$ tend vers $1$ puis déterminer une suite $(u_n)$ simple telle que $\frac{I_n}{u_n}$ vers $1$.
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