Exercices de la catégorie Analyse
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Analyse : liste des exercices
Exercice #85
Énoncé
On considère $E=\mathbb{K}[X]$ où $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Pour $P \in E$, on pose :\[
\|P\| = \int_0^{+\infty}|P(t)|e^{-t}\text{d}t.
\]
- Montrer que $\|\cdot\|$ est bien définie sur $E$ et qu'il s'agit d'une norme sur cet espace.
- Soit $n \in \mathbb{N}$. On note $P_n=X^n$. Calculer $\|P_n\|$.
Exercice #78
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Pour $A \in M_n(\mathbb{R})$, on note :\[
\|A\|=\sqrt{\text{Tr}\left({}^{t}\mkern-3mu AA\right)}.
\]
- Montrer que l'application $\|\cdot\|$ est bien définie sur $M_n(\mathbb{R})$ et qu'il s'agit d'une norme sur cet espace.
- Montrer que $\|\cdot\|$ est de plus une norme d'algèbre sur $M_n(\mathbb{R})$ i.e. pour tout $A,B \in M_n(\mathbb{R})$ : \[ \|AB\|\leqslant \|A\|.\|B\| \]
Exercice #80
Énoncé
On considère l'application $N: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ définie, pour $(x,y) \in \mathbb{R}^2$, par :\[
N(x,y) = \max\left(\sqrt{x^2+y^2},|x-y|\right).
\]
- Montrer que l'application $N$ est bien définie sur $\mathbb{R}^2$ et qu'il s'agit d'une norme sur cet espace.
- Dessiner la boule unité fermée de cette norme.
Exercice #81
Énoncé
On considère l'application $N: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ définie, pour $(x,y) \in \mathbb{R}^2$, par :\[
N(x,y) = \int_{0}^1\left|x+ty\right| \text{d}t.
\]
- Montrer que l'application $N$ une norme sur $\mathbb{R}^2$.
- Pour $(x,y) \in \mathbb{R}^2$, remarquer que $N(x,y)=N(-x,-y)$ puis déterminer $N(x,y)$ une expression explicite (i.e. sans intégrale) de $N(x,y)$ en fonction de $x,y$.
Exercice #82 Norme matricielle subordonnée
Énoncé
On note $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Soit $n \in \mathbb{N}^*$ On munit $M_{n,1}(\mathbb{K})$ de la norme infinie $\|\cdot\|_{\infty}$ i.e. pour $X=\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix} \in M_{n,1}(\mathbb{K})$, $\displaystyle\|X\|_{\infty}= \max_{1\leqslant i \leqslant n}(|x_i|)$ et $S$ la sphère unité associée à cette norme.
On pose, pour $A \in M_n(\mathbb{K})$ :\[ N(A)=\sup_{X \in S}\left(\|AX\|\right). \]
On pose, pour $A \in M_n(\mathbb{K})$ :\[ N(A)=\sup_{X \in S}\left(\|AX\|\right). \]
- Montrer que l'application $N$ est bien définie sur $M_n(\mathbb{R})$ et que pour tout $Y \in M_{n,1}(\mathbb{K})$, $\|AY\|\leqslant N(A)\|Y\|$.
- Montrer que $N$ est une norme sur $M_n(\mathbb{K})$.
- Montrer que, pour tout $A \in M_n(\mathbb{K})$ : \[ N(A)= \sup_{1\leqslant i \leqslant n} \left(\sum_{j=1}^n |a_{ij}|\right). \]
Exercice #222
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé, $F$ un fermé non vide de $E$ et $x \in E$. Montrer que $d(x,F)=0$ si, et seulement si, $x \in F$.
Exercice #86
Énoncé
Soit $(E,\|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé et $d$ la distance associée à $\|\cdot\|$.
Soit $x_0,y_0 \in E$ et $r,s \in \mathbb{R}_+^*$. Montrer (ici $B(\cdot,\cdot)$ désigne une boule ouverte) :
Soit $x_0,y_0 \in E$ et $r,s \in \mathbb{R}_+^*$. Montrer (ici $B(\cdot,\cdot)$ désigne une boule ouverte) :
- $B(x_0,r)=B(y_0,s) \; \Leftrightarrow \; x_0=y_0 \text{ et } r=s$.
- $B(x_0,r)+B(y_0,s) = B(x_0+y_0,r+s)$.
- $B(x_0,r)\cap B(y_0,s) \neq \emptyset \; \Leftrightarrow \; d(x_0,y_0) < r+s$.
Indications
Faire des dessins dans $\mathbb{R}^2$ avec la norme euclidienne !
Exercice #113
Énoncé
On considère l'espace vectoriel $\ell^{\infty}$ des suites à valeurs réelles bornées muni de sa norme canonique $\|\cdot\|_{\infty}$. On considère l'application $N: \ell^{\infty} \rightarrow \mathbb{R}$ définie, pour $u=(u_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \ell^{\infty}$, par :\[
N(u)=\sup_{n \in \mathbb{N}}(|u_n|+|u_{2n}|).
\]Montrer que $N$ est une norme sur $\ell^{\infty}$ et qu'elle est équivalente à $\|\cdot\|_{\infty}$.
Exercice #586
Énoncé
Pour $P \in \mathbb{R}[X]$, on pose : \[
\|P\|_{\infty}= \sup_{t \in [0,1]}\left(|P(t)|\right)\text{ et } \|P\| = \sup_{t \in [0,1]}\left(|(P-P')(t)|\right).
\] On admet que $\|\cdot\|_{\infty}$ est une norme sur $\mathbb{R}[X]$.
- Montrer que $\|\cdot\|$ est une norme sur $\mathbb{R}[X]$.
- Les normes $\|\cdot\|_{\infty}$ et $\|\cdot\|$ sont-elles équivalentes ?
Exercice #112
Énoncé
On considère les normes $\|\cdot\|_a$, $\|\cdot\|_b$ et $\|\cdot\|_c$ sur $\mathbb{R}[X]$ définies, pour $P=\sum_{k=0}^{+\infty}a_k X^k \in \mathbb{R}[X]$, par :\[
\|P\|_a=\sum_{k=0}^{+\infty}|a_k|,\;\|P\|_b= \sup_{k \in \mathbb{N}}(|a_k|) \text{ et } \|P\|_c=\sup_{t \in [-1,1]}(|P(t)|).
\]Montrer que ces normes sont deux à deux non équivalentes.
Exercice #116
Énoncé
On considère l'espace vectoriel $\mathcal{F}_b([0,1],\mathbb{R})$ des fonctions bornées de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$ muni de sa norme canonique $\|\cdot\|_{\infty}$. On note $E=\{ f \in C^1([0,1],\mathbb{R}) \; | \; f(0)=0 \}$. On considère les applications $N,N':E\rightarrow \mathbb{R}$, définies, pour $f \in E$, par :\[
N(f)=\|f\|_{\infty}+\|f'\|_{\infty} \text{ et }N'(f)=\|f+f'\|_{\infty}.
\]
- Montrer que $N$ et $N'$ sont bien définies sur $E$ et que ce sont des normes sur cet espace.
- Comparer les normes $N$ et $N'$.
Exercice #207
Énoncé
Déterminer si l'ensemble suivant est un ouvert. Pour ce faire, on s'efforcera d'utiliser seulement la définition d'un ouvert dans un espace vectoriel normé - même si d'autres méthodes pourraient permettre de conclure.\[
A=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; y > 1 \} \text{ dans }(\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_2).
\]
Correction
Soit $(x_0,y_0) \in A$. Posons $r = \frac{y_0-1}{33}$. Comme $(x_0,y_0) \in A$, on a $y_0 > 1$ d'où $r > 0$ et $r < y_0-1$.
Montrons que $B_f((x_0,y_0),r) \subset A$. Soit $(x,y) \in B_f((x_0,y_0),r)$. On cherche à montrer que $(x,y) \in A$ i.e. $y> 1$.
On a : \[ y_0-y \leqslant |y-y_0|\leqslant \|(x,y)-(x_0,y_0)\|_2\leqslant r \] donc \[ y \geqslant y_0-r > y_0-(y_0-1)=1. \] Par suite, $(x,y) \in A$. Ainsi, $B_f((x_0,y_0),r) \subset A$.
Il en résulte que $A$ est un ouvert de $(\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_2)$.
Montrons que $B_f((x_0,y_0),r) \subset A$. Soit $(x,y) \in B_f((x_0,y_0),r)$. On cherche à montrer que $(x,y) \in A$ i.e. $y> 1$.
On a : \[ y_0-y \leqslant |y-y_0|\leqslant \|(x,y)-(x_0,y_0)\|_2\leqslant r \] donc \[ y \geqslant y_0-r > y_0-(y_0-1)=1. \] Par suite, $(x,y) \in A$. Ainsi, $B_f((x_0,y_0),r) \subset A$.
Il en résulte que $A$ est un ouvert de $(\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_2)$.
Exercice #208
Énoncé
Déterminer si l'ensemble suivant est un ouvert. Pour ce faire, on s'efforcera d'utiliser seulement la définition d'un ouvert dans un espace vectoriel normé - même si d'autres méthodes pourraient permettre de conclure.\[
B=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; x^3\leqslant y \}\text{ dans }(\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_2).
\]
Correction
On considère le point $(0,0) \in B$. Soit $r > 0$. Alors le point $(0,-r)$ appartient à $B_f((0,0),r)$ car : \[
\|(0,0)-(0,-r)\|_2 = \|(0,r)\|_2=r \leqslant r.
\] Or on a $0^3=0 > -r$, donc $B_f((0,0),r)$ n'est pas inclus dans $B$ et ce, quelque soit $r > 0$.
Par suite, $B$ n'est pas un ouvert de $(\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_2)$.
Par suite, $B$ n'est pas un ouvert de $(\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_2)$.
Exercice #209
Énoncé
Déterminer si l'ensemble suivant est un ouvert. Pour ce faire, on s'efforcera d'utiliser seulement la définition d'un ouvert dans un espace vectoriel normé - même si d'autres méthodes pourraient permettre de conclure.\[
C=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; y < x\}\text{ dans }(\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_1).
\]
Correction
Soit $(x_0,y_0) \in C$. Posons $r = \frac{x_0-y_0}{33}$. Comme $(x_0,y_0) \in C$, on a $x_0 > y_0$ d'où $r > 0$ et $r < x_0-y_0$.
Montrons que $B_f((x_0,y_0),r) \subset C$. Soit $(x,y) \in B_f((x_0,y_0),r)$. On cherche à montrer que $(x,y) \in C$ i.e. $y < x$.
On a : \[ (y-x) +(x_0-y_0) = x_0-x+y-y_0 \leqslant |x-x_0|+|y-y_0| = \|(x,y)-(x_0,y_0)\|_1 \leqslant r \] donc \[ x-y \geqslant (x_0-y_0) - r > 0. \] Par suite, $(x,y) \in C$. Ainsi, $B_f((x_0,y_0),r) \subset C$.
Il en résulte que $C$ est un ouvert de $(\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_1)$.
Montrons que $B_f((x_0,y_0),r) \subset C$. Soit $(x,y) \in B_f((x_0,y_0),r)$. On cherche à montrer que $(x,y) \in C$ i.e. $y < x$.
On a : \[ (y-x) +(x_0-y_0) = x_0-x+y-y_0 \leqslant |x-x_0|+|y-y_0| = \|(x,y)-(x_0,y_0)\|_1 \leqslant r \] donc \[ x-y \geqslant (x_0-y_0) - r > 0. \] Par suite, $(x,y) \in C$. Ainsi, $B_f((x_0,y_0),r) \subset C$.
Il en résulte que $C$ est un ouvert de $(\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_1)$.
Exercice #206
Énoncé
On considère l'espace $E=C([0,1],\mathbb{R})$. L'ensemble :\[
F = \{f \in E \; | \; \int_0^{\frac{1}{2}}f(t) \,\text{d}t \leqslant 0\}
\]est-il un fermé de ...
- $(E,\|\cdot\|_{\infty})$ ?
- $(E,\|\cdot\|_1)$ ?
Exercice #210
Énoncé
Déterminer si l'ensemble suivant est un ouvert. Pour ce faire, on s'efforcera d'utiliser seulement la définition d'un ouvert dans un espace vectoriel normé - même si d'autres méthodes pourraient permettre de conclure.\[
D = \{ f \in C([0,1],\mathbb{R}) \; | \; \forall\,x \in [0,1], \; f(x) > 0 \}\text{ dans }(C([0,1],\mathbb{R}),\|\cdot\|_{\infty}).
\]
Correction
Soit $f \in D$. La fonction $f$ est continue sur le segment $[0,1]$ donc elle y est bornée et y atteint ses bornes. Notons $m$ son minimum sur $[0,1]$.
Alors $B_f(f,\frac{m}{2}) \subset D$. En effet, si $g \in B_f(f,\frac{m}{2})$, alors, pour tout $x \in [0,1]$, \[ f(x)-g(x)\leqslant |g(x)-f(x)|\leqslant \|f-g\|_{\infty} \leqslant \frac{m}{2}. \] Ainsi, on a : \[ g(x) \geqslant f(x)-\frac{m}{2} > f(x)-m \geqslant 0 . \] Donc $g$ est strictement positive sur $[0,1]$.
Il en résulte que $D$ est un ouvert de $C([0,1],\mathbb{R})$ muni de la norme infinie.
Alors $B_f(f,\frac{m}{2}) \subset D$. En effet, si $g \in B_f(f,\frac{m}{2})$, alors, pour tout $x \in [0,1]$, \[ f(x)-g(x)\leqslant |g(x)-f(x)|\leqslant \|f-g\|_{\infty} \leqslant \frac{m}{2}. \] Ainsi, on a : \[ g(x) \geqslant f(x)-\frac{m}{2} > f(x)-m \geqslant 0 . \] Donc $g$ est strictement positive sur $[0,1]$.
Il en résulte que $D$ est un ouvert de $C([0,1],\mathbb{R})$ muni de la norme infinie.
Exercice #211
Énoncé
Déterminer si l'ensemble suivant est un ouvert. Pour ce faire, on s'efforcera d'utiliser seulement la définition d'un ouvert dans un espace vectoriel normé - même si d'autres méthodes pourraient permettre de conclure.\[
E = \{ f \in C(\mathbb{R},\mathbb{R}) \; | \; \forall\,x \in \mathbb{R}, \; f(x) > 0 \}\text{ dans }(C(\mathbb{R},\mathbb{R}),\|\cdot\|_{\infty}).
\]
Correction
Considérons $f:t \mapsto e^{-t^2}$. Comme $f$ tend vers $0$ en $\pm\infty$, pour tout $r > 0$, on pourra trouver une fonction dans $B_f(f,r)$ dont le graphe passe en dessous de l'axe des abscisses pour $|t|$ assez grand; $E$ n'est donc pas un ouvert.
Plus précisément, étant donné $r > 0$, exhibons une fonction $g \in B_f(f,r)$ qui n'est pas dans $E$.
On note $M=\begin{cases} \sqrt{-\ln(r)}&\text{ si }r\leqslant 1 \\ 0&\text{ si }r > 1 \end{cases}$.
Alors, pour $|t| > M$, par stricte décroissance de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}_+$ : \[ f(t)-r=f(|t|)-r < f(M)-r= e^{-M^2}-r=\begin{cases} 0\leqslant 0&\text{ si }r\leqslant 1 \\ 1-r \leqslant 0&\text{ si }r > 1 \end{cases}. \] Donc la fonction $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, définie, pour $t \in \mathbb{R}$, par $g(t)=f(t)-r$ appartient à la boule $B_f(f,r)$ car $\|f-g\|_{\infty}=r$ et n'est pas strictement positive car, d'après ce qui précéde, pour tout $|t| > M$, $g(t) < 0$. D'où $g \notin E$.
Plus précisément, étant donné $r > 0$, exhibons une fonction $g \in B_f(f,r)$ qui n'est pas dans $E$.
On note $M=\begin{cases} \sqrt{-\ln(r)}&\text{ si }r\leqslant 1 \\ 0&\text{ si }r > 1 \end{cases}$.
Alors, pour $|t| > M$, par stricte décroissance de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}_+$ : \[ f(t)-r=f(|t|)-r < f(M)-r= e^{-M^2}-r=\begin{cases} 0\leqslant 0&\text{ si }r\leqslant 1 \\ 1-r \leqslant 0&\text{ si }r > 1 \end{cases}. \] Donc la fonction $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, définie, pour $t \in \mathbb{R}$, par $g(t)=f(t)-r$ appartient à la boule $B_f(f,r)$ car $\|f-g\|_{\infty}=r$ et n'est pas strictement positive car, d'après ce qui précéde, pour tout $|t| > M$, $g(t) < 0$. D'où $g \notin E$.
Exercice #212
Énoncé
Déterminer si l'ensemble suivant est un ouvert. Pour ce faire, on s'efforcera d'utiliser seulement la définition d'un ouvert dans un espace vectoriel normé - même si d'autres méthodes pourraient permettre de conclure.\[
F = \{ u \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \; | \; u \text{ converge vers }33 \}\text{ dans }(\ell^{\infty},\|\cdot\|_{\infty})
\] où $\ell^{\infty}$ est l'ensemble des suites à valeurs réelles bornées.
Correction
La suite $c=(c_n)_{n \in \mathbb{N}}$ constante en $33$ appartient à $F$. Soit $r > 0$. On considère la suite $u=(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}$ par : \[
u_n = 33+(-1)^nr
\] Alors :
- $\|u\|_{\infty}=33+r$ donc $u \in \ell^{\infty}$.
- $\|u-c\|_{\infty}=r$ donc $u \in B_f(c,r)$.
- $u$ ne converge pas (elle possède $2$ valeurs d'adhérence distinctes $33-r$ et $33+r$) donc $u \notin F$.
Exercice #205
Énoncé
On considère l'espace $E=C([0,1],\mathbb{R})$. L'ensemble :\[
U = \{f \in E \; | \; f(0) > 0\}
\]est-il un ouvert de ...
- $(E,\|\cdot\|_{\infty})$ ?
- $(E,\|\cdot\|_1)$ ?
Exercice #225
Énoncé
Déterminer si l'ensemble suivant est un ouvert / un fermé de $\mathbb{R}^2$ puis calculer son intérieur et son adhérence.\[
A=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; 2x+y > 1 \}.
\]
Exercice #226
Énoncé
Déterminer si l'ensemble suivant est un ouvert / un fermé de $\mathbb{R}^3$ puis calculer son intérieur et son adhérence.\[
A=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \; | \; x^2+y^2+z^2 \leqslant 4 \}.
\]
Exercice #228
Énoncé
Déterminer si l'ensemble suivant est un ouvert / un fermé de $\mathbb{R}^2$ puis calculer son intérieur et son adhérence.\[
A=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; |x-1|> 0 \}.
\]
Exercice #223
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$.
- On suppose que $F$ contient un ouvert non vide de $E$. Montrer que $F=E$.
- On suppose que $F \neq E$. Déterminer l'intérieur de $F$.
Exercice #227
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé et $A$ une partie convexe de $E$. Montrer que l'adhérence et l'intérieur de $A$ sont des parties convexes de $E$.
Exercice #229
Énoncé
Soit $E=C([0,1],\mathbb{R})$. On pose, pour $f \in E$,\[
\varphi(f)=f(1)-f(0)
\]
- Montrer que $\varphi$ est continue de $(E,\|\cdot\|_{\infty})$ dans $(\mathbb{R},|\cdot|)$ mais pas de $(E,\|\cdot\|_{1})$ dans $(\mathbb{R},|\cdot|)$.
- Déterminer la norme subordonnée (d'opérateur) de $\varphi$ induite par $\|\|_{\infty}$ sur $E$ et $|\cdot|$ sur $\mathbb{R}$.
- Montrer que $F=\{f \in E \; | \; f(0)=f(1)\}$ est-il un fermé de $(E,\|\cdot\|_{\infty})$ ? de $(E,\|\cdot\|_{1})$ ?
Exercice #230
Énoncé
On considère l'espace vectoriel $\ell^{\infty}$ des suites à valeurs réelles bornées muni de sa norme canonique $\|\cdot\|_{\infty}$. On pose, pour $u=(u_{n})_{n \in \mathbb{N}} \in \ell^{\infty}$, $\varphi(u)=(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ où, pour tout $n \in \mathbb{N}$ :\[
v_n=u_{n+1}-u_n.
\]
- Montrer que l'application $\varphi$ est continue de $(\ell^{\infty},\|\cdot\|_{\infty})$ dans lui-même.
- Déterminer la norme subordonnée (d'opérateur) de $\varphi$ induite par $\|\cdot\|_{\infty}$ au départ et à l'arrivée.
Exercice #231
Énoncé
Soit $E=C([0,1],\mathbb{R})$ muni de la norme $\|\cdot\|_1$ i.e. pour $f \in E$, $\|f\|_1=\int_0^1 |f(t)| \text{d}t$. Pour $f \in E$, on pose $\varphi(f)=F$ où $F$ est l'unique primitive de $f$ qui s'annule en $0$.
- Montrer que $\varphi$ est continue de $(E,\|\cdot\|_{1})$ dans lui-même.
- Déterminer la norme subordonnée (d'opérateur) de $\varphi$ induite par $\|\cdot\|_{1}$ sur $E$ au départ et à l'arrivée.
Exercice #251
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé et $A, B \subset E$. Montrer que si $A$ et $B$ sont des parties compactes de $E$, alors \[
A+B = \{a+b \; | \; a\in A,\; b \in B\}
\] est une partie compacte de $E$.
Exercice #254
Énoncé
L'ensemble suivant est-il une partie compacte de $\mathbb{R}^2$ ? \[
C = \left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; x^2-xy+y^2 \leqslant 4 \right\rbrace.
\]
Exercice #255
Énoncé
L'ensemble suivant est-il une partie compacte de $\mathbb{R}^2$ ? \[
C = \left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; x^3+y^3 = 1 \right\rbrace.
\]
Exercice #588
Énoncé
Montrer que l'ensemble suivant est une partie compacte de $\mathbb{R}^2$ : \[
A = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; x^2+2y^2 \leqslant 1\}
\]
Exercice #253
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé, $U$ une partie ouverte de $E$ et $C$ une partie compacte non vide de $E$. Montrer que si $C \subset U$, alors il existe $r> 0$ tel que, pour tout $x \in C$ : \[
B(x,r)\subset U.
\]
Exercice #260
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé de dimension $n \in \mathbb{N}^*$ et $f \in \mathcal{L}(E)$. Montrer qu'il existe $x_0 \in E$ unitaire tel que : \[
{\left\vert\kern-0.25ex\left\vert\kern-0.25ex\left\vert f
\right\vert\kern-0.25ex\right\vert\kern-0.25ex\right\vert} = \|f(x_0)\|
\] où ${\left\vert\kern-0.25ex\left\vert\kern-0.25ex\left\vert \cdot
\right\vert\kern-0.25ex\right\vert\kern-0.25ex\right\vert}$ est la norme subordonnée associé à $\|\cdot\|$ au départ et à l'arrivée.
Exercice #252
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé, $C\subset E$ un compact non vide et $f$ une application de $C$ dans $C$ telle que, pour tous $x,y \in C$ avec $x \neq y$ : \[
\|f(x)-f(y)\|< \|x-y\|.
\]
- Montrer que $f$ admet un unique point fixe i.e. $\exists !\, x_0 \in C$, $f(x_0)=x_0$.
- Soit $x \in C$. Montrer que la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que $u_0=x$ et, pour $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=f(u_n)$ converge et déterminer sa limite.
Exercice #261
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $E=\mathbb{R}_n[X]$. Montrer qu'il existe $C \in \mathbb{R}_+^*$ tel que, pour tout $P \in E$ : \[
\int_0^{+\infty}|P(t)|e^{-t}\text{d}t \leqslant C\, .\max_{0 \leqslant k \leqslant n}\left(|P^{(k)}(1)|\right).
\]
Exercice #588
Énoncé
Montrer que l'ensemble suivant est une partie compacte de $\mathbb{R}^2$ : \[
A = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; x^2+2y^2 \leqslant 1\}
\]
Exercice #589
Énoncé
Les ensembles suivants sont-ils des ouverts ? fermés ? compacts de $\mathbb{R}^2$ ?
- $A = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; x^2+y^2 \leqslant 1-2xy\}$;
- $B = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; 1 < x+3y < 2\}$;
- $B = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; 1 \leqslant 2|x|+|y| \leqslant 2\}$.
Exercice #256
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé et $A,B$ des parties connexes par arcs de $E$.
- Montrer que $A\times B$ est connexe par arcs dans $E\times E$ muni de la norme produit.
- Montrer que $A+B=\{a+b \; | \; a \in A,\, b \in B\}$ est connexe par arcs.
Exercice #257
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé, $n\geqslant 2$ un entier et $A_1,...,A_n$ des parties connexes par arcs de $E$ telles que, pour tout $i \in \;[\!\!\![\; 1,n-1 \;]\!\!\!]\;$, $A_i \cap A_{i+1} \neq \emptyset$.
Montrer que $\displaystyle A=\bigcup_{i=1}^n A_i$ est connexe par arcs.
Montrer que $\displaystyle A=\bigcup_{i=1}^n A_i$ est connexe par arcs.
Exercice #259
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $\mathcal{N}=\{M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \; | \; \exists\,p \in \mathbb{N}, \; M^p= 0_n\}$ l'ensemble des matrices nilpotentes de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
Montrer que $\mathcal{N}$ est une partie connexe par arcs de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
Montrer que $\mathcal{N}$ est une partie connexe par arcs de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
Exercice #258 $\text{GL}_n(\mathbb{C})$ est connexe par arcs
Énoncé
- Soit $k \in \mathbb{N}^*$ et $z_1,...,z_k \in \mathbb{C}$. Montrer que $\mathbb{C}\smallsetminus\{z_1,...,z_k\}$ est connexe par arcs.
- En s'appuyant sur l'application $t\mapsto\text{det}((1-t)M+tN)$ avec $M,N \in \text{GL}_n(\mathbb{C})$, en déduire que $\text{GL}_n(\mathbb{C})$ est connexe par arcs.
Exercice #582
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel et $A,B$ des parties convexes de $E$. On note :\[
C= \left\{\frac{1}{2}(a+b) \; | \; a \in A, \, b \in B\right\}.
\]Montrer que $C$ est une partie convexe de $E$.
Exercice #583
Énoncé
On note :\[
C = \{(x,y) \; | \; y < x\}.
\]Montrer que $C$ est une partie convexe de $\mathbb{R}^2$.
Exercice #584
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel et $A,B$ des parties convexes de $E$.
Les ensembles $A\cap B$ et $A \cup B$ sont-ils des parties convexes de $E$ ? Justifier.
Les ensembles $A\cap B$ et $A \cup B$ sont-ils des parties convexes de $E$ ? Justifier.
Exercice #585
Énoncé
- Soit $E,F$ des espaces vectoriels et $A,B$ des parties convexes de $E$ et $F$ respectivement. Montrer que $A\times B$ est une partie convexe de $E\times F$.
- Montrer que $\{(0,0)\} \cup (\mathbb{R}_+^*)^2$ est une partie convexe de $\mathbb{R}^2$.
Exercice #343
Énoncé
On considère la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}$ et $x \in \mathbb{R}_+$ : \[
f_n(x) = e^{-nx}\sin(nx).
\]
- Montrer que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge simplement sur $\mathbb{R}_+$.
- Étudier la convergence uniforme de $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sur $[a,+\infty[$ avec $a> 0$ puis sur $\mathbb{R}_+$.
Exercice #344
Énoncé
Étudier les convergence simple et uniforme sur $[0,1]$ de la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $t \in [0,1]$ : \[
f_n(t) = \begin{cases}
t^n\ln(t)&\text{ si }x> 0 \\
0&\text{ si }x=0.
\end{cases}
\]
Exercice #345
Énoncé
On considère la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}$ et $x \in \mathbb{R}_+$ : \[
f_n(x) = \frac{1}{(1+x^2)^n}.
\]
- Montrer que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge simplement sur $\mathbb{R}_+$.
- Étudier la convergence uniforme de $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sur $[a,+\infty[$ avec $a> 0$ puis sur $\mathbb{R}_+^*$.
Exercice #346
Énoncé
Étudier les convergences simple, uniforme et normale sur $\mathbb{R}_+$ de la série de fonctions $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1}f_n$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $t \in \mathbb{R}_+$ : \[
f_n(t) = \frac{(-1)^n}{n+x}.
\]
Exercice #348
Énoncé
On considère la série de fonctions $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} f_n$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in \mathbb{R}_+$ : \[
f_n(x) = \frac{1}{n+n^2x}.
\]
- Montrer que $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1}f_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}_+^*$. Est-ce toujours vrai sur $\mathbb{R}_+$ ?
- Étudier la convergence normale et uniforme de $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} f_n$ sur $[a,+\infty[$ avec $a> 0$ puis sur $\mathbb{R}_+^*$.
Exercice #347
Énoncé
Soit $(\alpha_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite décroissante à valeurs dans $\mathbb{R}_+$. On considère la série de fonctions $\displaystyle \sum f_n$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}$ et $t \in [0,1]$ : \[
f_n(t) = \alpha_nt^n(1-t).
\]
- Montrer que $\sum f_n$ converge simplement sur $[0,1]$.
- Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que $\sum f_n$ converge normalement sur $[0,1]$.
- Montrer que $\sum f_n$ converge uniformément sur $[0,1]$ si, et seulement si, $(\alpha_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $0$.
Exercice #349
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle f : t \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{\ln(nt)}$.
- Montrer que $f$ est définie et continue sur $]1,+\infty[$.
- Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $1$.
- Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $]1,+\infty[$.
- Dresser le tableau de variations de $f$.
Exercice #351
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle f : x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(x+n).n!}$.
- Montrer que $f$ est définie et de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$.
- Dresser le tableau des variations de $f$ sur $]0,+\infty[$ en précisant les limites de $f$ aux bornes de cet intervalle.
- Montrer que, pour tout $x \in ]0,+\infty[$ : \[ xf(x)-f(x+1)=\frac{1}{e}, \]
- En déduire des équivalents simples de $f$ en $0^+$ et en $+\infty$.
Exercice #350
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle f : x \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n\sin(nx)}{n}$.
- Montrer que $f$ est définie et de classe $C^1$ sur $]-1,1[$.
- Montrer que, pour tout $x \in ]-1,1[$ : \[ f(x)=\text{arctan}\left(\frac{x\sin(x)}{1-x\cos(x)}\right). \]
Exercice #353
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle f : x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}e^{-x\sqrt{n}}$.
- Montrer que $f$ est définie et de classe $C^{\infty}$ sur $]0,+\infty[$.
- Dresser le tableau des variations de $f$ sur $]0,+\infty[$ en précisant la limite de $f$ en $+\infty$.
- Grâce à une comparaison série/intégrale, déterminer un équivalent de $f$ en $0^+$.
Exercice #354
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle f : x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{x(x+1)...(x+n)}$.
- Montrer que $f$ est définie et continue sur $]0,+\infty[$ puis déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
- Pour $x \in ]0,+\infty[$, déterminer une relation entre $f(x+1)$ et $f(x)$ puis en déduire des équivalents simples de $f$ en $+\infty$ et $0^+$.
Exercice #545 Oral concours CCinP
Détails de l'exercice #545
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
En Mathématiques : Bac+2.
Source : BEOS #7541 Oral CCinP 2023
Énoncé
Pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in \mathbb{R}$, on pose $\displaystyle f_n(x) = \frac{2x}{x^2 + n^2}$.
- Justifier la convergence simple sur $\mathbb{R}$ de la série de fonctions $\displaystyle \sum_{n\geqslant 1}f_n$.
On note $S$ la somme de cette série de fonctions sur $\mathbb{R}$ :\[ S:x \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty}f_n(x). \] - Justifier la continuité de $S$ sur $\mathbb{R}$.
- Montrer que $\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} S(x) = \pi$.
Indications
- Déterminer un équivalent simple de $|f_n(x)|$ pour $x \neq 0$.
- Étudier la convergence normale sur $[-a,a]$ pour tout $a> 0$.
- Procéder par comparaison série/intégrale.
Correction
- CVS sur $\mathbb{R}$ :
Soit $x \in \mathbb{R}$. Étudions la nature de $\sum_{n \geqslant 1} f_n(x)$.
Si $x = 0$, $f_n(0)=0$ est le terme général d'une série convergente.
Si $x \neq 0$,\[ |f_n(x)| \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} \frac{2|x|}{n^2} \]Or, $\frac{1}{n^2}$ est le terme général d'une série convergente, donc, $\frac{2|x|}{n^2}$ l'est aussi et ainsi, par comparaison, la série numérique $\sum_{n \geqslant 1} f_n(x)$ converge absolument et donc converge.
Par suite, la série de fonctions $\sum_{n \geqslant 1} f_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}$.
(Et ainsi, $S$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.) - Vérifions les hypothèses du théorème de continuité des sommes de séries de fonctions.
- Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $f_n$ est continue sur $\mathbb{R}$ comme quotient de fonctions continue sur $\mathbb{R}$ (car polynomiale) dont le dénominateur ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$.
- Montrons la convergence uniforme (au moins) sur tout segment de $\mathbb{R}$. Soit $a \in \mathbb{R}_+^*$.
CVN sur $[-a,a]$ :
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Pour tout $x \in [-a,a]$, on a, comme $0\leqslant |x| \leqslant a$ : \[ |f_n(x)|=\frac{2|x|}{x^2+n^2}\leqslant \frac{2a}{n^2} \] Donc $f_n$ est bornée sur $[-a,a]$ et sur $[-a,a]$, $\|f_n\|_{\infty}\leqslant \frac{2a}{n^2}$ qui est le terme général d'une série convergente (comme dans la question 1).
Ainsi, par comparaison, $\sum_{n \geqslant 1} \|f_n\|_{\infty}$ converge i.e. $\sum_{n \geqslant 1} f_n$ converge normalement sur $[-a,a]$, et ce, pour tout réel $a > 0$.
Comme tout segment de $\mathbb{R}$ est inclus dans un intervalle de la forme $[-a,a]$ avec $a> 0$, la série de fonctions $\sum_{n \geqslant 1} f_n$ converge normalement sur tout segment de $\mathbb{R}$ et donc, la série de fonctions $\sum_{n \geqslant 1} f_n$ converge uniformément sur tout segment de $\mathbb{R}$ car "CVN implique CVU". Ainsi, les hypothèses étant vérifiées, d'après le théorème de continuité des sommes de séries de fonctions, la fonction $S$ est continue sur $\mathbb{R}$. - D'après la remarque précédente, on ne peut pas appliquer le théorème d'interversion limite/somme (théorème de double limite pour les séries de fonctions).
Il faut trouver une autre façon de faire : par exemple, une comparaison série/intégrale (le terme général fait penser à quelque chose ressemblant à la dérivée de arctangente).
Fixons un réel $x > 0$. On pose $g:t\mapsto \frac{2x}{x^2+t^2}$. Alors $g$ est positive, continue et décroissante sur $\mathbb{R}_+$ donc, par comparaison série/intégrale : - $\sum_{n \geqslant 1} f_n(x)$ et $\int_0^{+\infty}g(t) \text{d}t$ sont de même nature et donc convergentes car $\sum_{n \geqslant 1} f_n(x)$ converge (question 1).
- Et de plus, on a : \[ \int_1^{+\infty}g(t) \text{d}t\leqslant S(x)=\sum_{n =1}^{+\infty} f_n(x) \leqslant \int_0^{+\infty}g(t) \text{d}t \] Or, on remarque que, pour $t \in \mathbb{R}_+$,\[ g(t)=\frac{2x}{x^2+t^2}=2\frac{\frac{1}{x}}{1+\left(\frac{t}{x}\right)^2} = \frac{\text{d}}{\text{d}t}2\textrm{arctan}\left(\frac{t}{x}\right), \]donc :\[ \pi-2\textrm{arctan}\left(\frac{1}{x}\right)=\left[2\textrm{arctan}\left(\frac{t}{x}\right)\right]_1^{+\infty}\leqslant S(x) \leqslant \left[2\textrm{arctan}\left(\frac{t}{x}\right)\right]_0^{+\infty} = \pi \]Et, ainsi, comme $\textrm{arctan}\left(\frac{1}{x}\right) \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{}0$, d'après le théorème des gendarmes, on obtient :\[ \lim_{x \rightarrow +\infty}S(x)=\pi. \]Remarque : Avec ce qu'on vient de calculer, on obtient une nouvelle façon de prouver qu'il n'y a pas CVU sur $\mathbb{R}$; en effet, par l'absurde, si $\sum_{n \geqslant 1} f_n$ CVU sur $\mathbb{R}$, comme, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $f_n(x) \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{}0$, d'après le théorème d'interversion limite/somme, on a $\pi=\lim_{x \rightarrow +\infty}S(x)=0$. Contradiction !
Remarque : on aurait pu tenter la CVN sur $\mathbb{R}$ mais ça n'aurait pas fonctionné; en effet, on peut montrer que sur $\mathbb{R}$, $\|f_n\|_{\infty}=\frac{2}{n}$ (atteint en $x=n$) qui est le terme général d'une série divergente.
Et il n'y a pas CVU sur $\mathbb{R}$ non plus : en posant $x_n=n$, on vérifie que $\|R_n\|_{\infty}\geqslant R_n(x_n) \geqslant \frac{2}{5}$ (en restreignant la somme de $n+1$ à $2n$).
Exercice #352
Énoncé
Montrer que la fonction $\displaystyle \eta: s \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^s}$ est définie et de classe $C^{\infty}$ sur $]0,+\infty[$.
Exercice #364
Énoncé
Déterminer le rayon de convergence de la série entière : \[
\sum_{n \geqslant 2} \frac{\sqrt{n}}{\ln(n)}z^{2n}.
\]
Exercice #366
Énoncé
Déterminer le rayon de convergence de la série entière : \[
\sum e^{-\sqrt{n}}z^{n}.
\]
Exercice #367
Énoncé
Déterminer le rayon de convergence de la série entière : \[
\sum \frac{8^n(n+\sqrt{n})}{n^2+4}z^{3n}.
\]
Exercice #368
Énoncé
Déterminer le rayon de convergence de la série entière : \[
\sum \frac{\cos(n)}{n}z^{n}.
\]
Exercice #365
Énoncé
Déterminer le rayon de convergence de la série entière : \[
\sum \ln(n!)^2z^{n}.
\]
Exercice #369
Énoncé
Soit $\displaystyle \sum a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence noté $R$. Déterminer la rayon de convergence de la série entière $\displaystyle \sum a_n^2 z^n$.
Exercice #374
Énoncé
On considère la série entière $\displaystyle \sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{\sqrt{n}}z^n$ de somme notée $S$.
- Déterminer le rayon de convergence $R$ de cette série entière.
- Étudier les continuité/limites de $S$ aux bornes de l'intervalle $]-R,R[$.
Exercice #370
Énoncé
Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tel que : \[
\begin{cases}
a_0=1 \text{ et }a_1=0 \\
a_{n+2}=4a_{n+1}-4a_n\text{ pour }n \in \mathbb{N}
\end{cases}
\] Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum a_n z^n$ puis exprimer sa somme sur l'intervalle $]-R,R[$ à l'aide de fonctions usuelles.
Exercice #372
Énoncé
On considère la série entière $\displaystyle \sum_{n\geqslant 1}\frac{\cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right)}{n}z^n$ de somme notée $S$.
- Déterminer le rayon de convergence $R$ de cette série entière.
- Exprimes $S$ à l'aide de fonctions usuelles sur $]-R,R[$.
Exercice #371
Énoncé
Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose :\[
a_n=\text{Card}\left\lbrace (p,q) \in \mathbb{N}^2 \; | \; p+3q = n \right\rbrace.
\] Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum a_n z^n$ puis exprimer sa somme sur l'intervalle $]-R,R[$ à l'aide de fonctions usuelles.
Exercice #373
Énoncé
Soit $p \in \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathcal{M}_p(\mathbb{C})$. On considère la série entière $\sum \text{Tr}(A^n)z^n$.
Déterminer son rayon de convergence $R$ et exprimer sa somme $S$ sur le disque ouvert de convergence en fonction du polynôme caractéristique $\chi_A$ de $A$.
Déterminer son rayon de convergence $R$ et exprimer sa somme $S$ sur le disque ouvert de convergence en fonction du polynôme caractéristique $\chi_A$ de $A$.
Exercice #376
Énoncé
Montrer que la fonction $\displaystyle f: x \mapsto
\begin{cases}
\frac{1-\cos(2x)}{x^2}&\text{ si }x \in \mathbb{R}^* \\
2&\text{ si }x=0
\end{cases}$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$.
Exercice #378
Énoncé
Montrer que la fonction $f$ suivante est développable en série entière et déterminer son développement : \[
f:x \mapsto \ln(x^2-6x+8)
\]
Exercice #379
Énoncé
Montrer que la fonction $f$ suivante est développable en série entière et déterminer son développement : \[
f:x \mapsto \int_0^x \text{sh}(t^3)\text{d}t.
\]
Exercice #380
Énoncé
On considère la fonction $f:x \mapsto \text{arcsin}(x)^2$.
- Déterminer une relation reliant $f''$ et $f'$ sur $]-1,1[$.
- En déduire le développement en série entière de $f$.
Exercice #400
Énoncé
On pose, pour $n \in \mathbb{N}$ :\[
I_n = \int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan^n(t)\text{d}t.
\]
- Calculer la limite de la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$.
- Pour $n \in \mathbb{N}$, établir une relation entre $I_n$ et $I_{n+2}$ puis en déduire une expression de $I_{2n}$ et de $I_{2n+1}$ sous forme de somme.
- Application : justifier la convergence et calculer les sommes des séries suivantes \[
\sum \frac{(-1)^n}{2n+1} \text{ et }\sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n-1}}{n}.
\]
Exercice #401
Énoncé
Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose :\[
I_n = \int_0^{+\infty}\frac{1}{1+t^2(1+t^n)}\text{d}t.
\]
- Montrer que l'intégrale $I_n$ est convergente pour tout $n \in \mathbb{N}$.
- Déterminer la limite de la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$.
Exercice #402
Énoncé
Soit $f:\mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue et bornée sur $\mathbb{R}_+$. Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose :\[
I_n = \int_0^{+\infty}\frac{nf(t)}{1+n^2t^2}\text{d}t.
\]
- Montrer que l'intégrale $I_n$ est convergente pour tout $n \in \mathbb{N}$.
- Déterminer la limite de la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$.
Exercice #407
Énoncé
Montrer l'égalité :\[
\int_0^1 \frac{\ln(t)^2}{1+t^2}\text{d}t = 2\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^3}.
\]
Exercice #408
Énoncé
Montrer l'égalité :\[
\int_0^1 \frac{1}{t^t}\text{d}t = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^n}.
\]
Exercice #421
Énoncé
Montrer que la famille $\displaystyle \left(\frac{1}{(n+m^2)(n+m^2+1)}\right)_{(n,m) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}^*}$ est sommable et déterminer sa somme.
Exercice #422
Énoncé
Montrer que la famille $\displaystyle \left(\frac{n+m}{3^{n+m}}\right)_{(n,m) \in \mathbb{N}^2}$ est sommable et déterminer sa somme.
Exercice #420
Énoncé
Soit $\alpha \in \mathbb{R}$. On considère la famille $\displaystyle \left(\frac{1}{(n^2+m^2)^{\alpha}}\right)_{(n,m)\in (\mathbb{N}^*)^2}$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur la valeur de $\alpha$ pour que cette famille soit sommable.
Exercice #328
Énoncé
Déterminer l'exponentielle de la matrice $A=\begin{pmatrix}
-3&1&3 \\
1&-3&3 \\
-5&5&1
\end{pmatrix}$.
Exercice #330
Énoncé
Déterminer l'exponentielle de la matrice $A=\begin{pmatrix}
0&-1&1 \\
6&-5&2 \\
-3&1&-4
\end{pmatrix}$.
Exercice #329
Énoncé
Déterminer l'exponentielle de la matrice $A=\begin{pmatrix}
4&-1&-3 \\
1&2&-3 \\
-1&1&6
\end{pmatrix}$.
Exercice #590
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $p$ un projecteur de $E$. Calculer $\text{exp}(p)$.
Exercice #593
Énoncé
Soit $p \in \mathbb{N}^*$ et $A \in M_p(\mathbb{R})$ telle que $A^2=-A$. Calculer $\text{exp}(A)$.
Exercice #591
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $s$ une symétrie de $E$. Calculer $\text{exp}(s)$.
Exercice #594
Énoncé
Soit $p \in \mathbb{N}^*$ et $A \in M_p(\mathbb{R})$ telle que $A^2=A+I_p$. On note $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Montrer que : \[
\text{exp}(A)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\varphi e^{-\frac{1}{\varphi}}+\frac{1}{\varphi} e^{\varphi}\right)I_p+\left(e^{\varphi}-e^{-\frac{1}{\varphi}}\right)A\right).
\]
Exercice #599
Énoncé
Montrer la convergence de la série associé à la somme : \[
\sum_{n=0}^{+\infty}n4^{-n}
\] puis la calculer à l'aide d'un produit de Cauchy.
Exercice #334
Énoncé
On considère la série : \[
\sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{n+\sqrt{n}}
\]
- Montrer que cette série est divergente et déterminer un équivalent simple (noté $v_n$ dans la suite) de sa somme partielle $S_n$.
- Montrer qu'il existe $\alpha \in \mathbb{R}$ tel que : \[ S_n-v_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}\alpha. \] On rappelle que $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} -\ln(n) \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} \gamma $ où $\gamma$ est la constante d'Euler.
Exercice #595
Énoncé
Montrer que la série $\displaystyle \sum \frac{1}{\ln(1+4^{-n})}$ diverge puis déterminer un équivalent simple de sa somme partielle $S_n$ d'ordre $n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
Exercice #598
Énoncé
Montrer que la série $\displaystyle \sum_{n\geqslant 1} \frac{\ln(n)}{n!}$ converge puis déterminer un équivalent simple de son reste $R_n$ d'ordre $n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
Exercice #596
Énoncé
On considère la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par : \[
\begin{cases}
u_0=1 &\\
u_{n+1}=u_n+\frac{1}{u_n}&\textrm{ pour }n\in\mathbb{N}
\end{cases}
\]
- Montrer que la suite est bien définie puis après avoir justifié son existence, déterminer sa limite.
- Déterminer un équivalent simple de $u_n$ quand $n$ tend vers l'infini.
Exercice #597
Énoncé
Montrer que la série $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} \frac{4^n}{n}$ diverge puis déterminer un équivalent simple de sa somme partielle $S_n$ d'ordre $n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
Exercice #562
Énoncé
Déterminer, en fonction du réel $\alpha$, la nature de la série $\sum_{n \geqslant 1} u_n$ de terme général :\[
u_n = \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\dots+ \sqrt{n}}{n^\alpha}.
\]Même question avec la série de terme général $(-1)^nu_n$.
Exercice #332
Énoncé
Déterminer la nature de la série : \[
\sum_{n \geqslant 1}\frac{1}{n^{(1+\frac{1}{n})}}
\]
Exercice #555
Énoncé
Déterminer la nature de la série $\sum_{n \geqslant 2} u_n$ de terme général :\[
u_n = \frac{1}{\sqrt{n^2-1}}-\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}.
\]
Exercice #561
Énoncé
Montrer la convergence et calculer la somme de la série $\sum_{n \geqslant 1} u_n$ de terme général :\[
u_n = \frac{1}{n(n+1)(n+2)}.
\]
Exercice #560
Énoncé
Montrer la convergence et calculer la somme de la série $\sum u_n$ de terme général :\[
u_n = \frac{n^2-2}{n!}.
\]
Exercice #561
Énoncé
Montrer la convergence et calculer la somme de la série $\sum_{n \geqslant 1} u_n$ de terme général :\[
u_n = \frac{1}{n(n+1)(n+2)}.
\]
Exercice #559
Énoncé
Déterminer la nature de la série $\sum_{n \geqslant 2} u_n$ de terme général :\[
u_n = \ln\left(1+\frac{(-1)^n}{n}\right)
\]puis déterminer sa somme.
Exercice #558
Énoncé
Déterminer la nature de la série $\sum u_n$ de terme général :\[
u_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}.
\]
Exercice #559
Énoncé
Déterminer la nature de la série $\sum_{n \geqslant 2} u_n$ de terme général :\[
u_n = \ln\left(1+\frac{(-1)^n}{n}\right)
\]puis déterminer sa somme.
Exercice #331
Énoncé
Déterminer la nature de la série : \[
\sum_{n \geqslant 1}\frac{(-1)^n}{\sqrt[n]{n!}}
\]
Exercice #562
Énoncé
Déterminer, en fonction du réel $\alpha$, la nature de la série $\sum_{n \geqslant 1} u_n$ de terme général :\[
u_n = \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\dots+ \sqrt{n}}{n^\alpha}.
\]Même question avec la série de terme général $(-1)^nu_n$.
Exercice #563
Énoncé
On considère la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ à valeurs réelles telle que $u_0> 0$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=1-e^{-u_n}$.
- Étudier la nature de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et déterminer sa limite si elle existe.
- Étudier la nature de la série $\sum (-1)^nu_n$.
- Étudier la nature de la série $\sum u_n^2$.
- Étudier la nature de la série $\sum u_n$.
Exercice #415
Énoncé
Déterminer un équivalent simple de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[
u_n=\frac{\ln(n+1)-\ln(n)}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}.
\]
Exercice #416
Énoncé
Déterminer un équivalent simple de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}$, par :\[
u_n=\frac{\ln(1+n^3)}{2n+\sqrt{n}+1}.
\]
Exercice #418
Énoncé
Déterminer un équivalent simple de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[
u_n=n^2\left(1+\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right)^n.
\]
Exercice #414
Énoncé
On considère la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}$, par :\[
u_n = \sum_{k=0}^n k!.
\]Montrer que $u_n\underset{n \rightarrow +\infty}{\sim}n!$.
Exercice #292
Énoncé
Soit $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite à valeurs dans $\mathbb{R}_+^*$ telle que :\[
\frac{u_{n+1}}{u_n}\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0
\]Montrer que $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ converge et déterminer sa limite.
Exercice #290
Énoncé
Soit $(H_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ la suite définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[
H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}
\]
- Montrer que, pour tout entier $n$ non nul, $H_{2n}-H_n \geqslant \frac{1}{2}$. En déduire que $H_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty$.
- Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite à valeurs réelles. Montrer que si $n(u_{n+1}-u_n)\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty$, alors $u_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty$.
Exercice #274
Énoncé
Déterminer la limite, si elle existe, de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}$, par :\[
u_n=\frac{n!}{n^n}
\]
Exercice #276
Énoncé
Déterminer la limite, si elle existe, de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[
u_n=\left(1+\frac{x}{n}\right)^n \text{ où }x \in \mathbb{R}
\]
Exercice #277
Énoncé
Déterminer la limite, si elle existe, de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[
u_n=\sqrt[n]{n}
\]
Exercice #278
Énoncé
Montrer que la suite $(\cos(n))_{n \in \mathbb{N}}$ diverge.
Exercice #306
Énoncé
On considère la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[
\begin{cases}
u_0=1& \\
u_{n+1}= \sqrt{u_n+1}&\text{ pour }n \in \mathbb{N}
\end{cases}
\]
- Montrer que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est bien définie.
- Déterminer la nature de $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$.
Exercice #596
Énoncé
On considère la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par : \[
\begin{cases}
u_0=1 &\\
u_{n+1}=u_n+\frac{1}{u_n}&\textrm{ pour }n\in\mathbb{N}
\end{cases}
\]
- Montrer que la suite est bien définie puis après avoir justifié son existence, déterminer sa limite.
- Déterminer un équivalent simple de $u_n$ quand $n$ tend vers l'infini.
Exercice #287
Énoncé
Déterminer une expression explicite du terme général de la suite récurrente double $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[
\begin{cases}
u_0=1,\; u_1=2& \\
u_{n+2}=u_{n+1}-u_n& \forall\;n \in \mathbb{N}.
\end{cases}
\]
Exercice #288
Énoncé
Déterminer une expression explicite du terme général de la suite récurrente double $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[
\begin{cases}
u_0=1,\; u_1=-1& \\
2u_{n+2}=3u_{n+1}-u_n& \forall\;n \in \mathbb{N}.
\end{cases}
\]
Exercice #284
Énoncé
Déterminer une expression explicite du terme général de la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[
\begin{cases}
u_0=0 \\
u_{n+1}=\frac{u_n+1}{2}& \forall\;n \in \mathbb{N}.
\end{cases}
\]
Exercice #280
Énoncé
Soit $\theta \in ]0,\pi/2[$. Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose :\[
s_n=2^n\sin\left(\frac{\theta}{2^n}\right) \text{ et }t_n=2^n\tan\left(\frac{\theta}{2^n}\right)
\]Montrer que les suites $(s_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(t_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sont adjacentes. En déduire qu'elles convergent et déterminer leurs limites.
Exercice #281
Énoncé
Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ les suites définies, pour $n \in \mathbb{N}$,par :\[
u_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\text{ et }v_n=u_n+\frac{1}{n.n!}
\]
- Montrer que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sont des suites adjacentes.
On admettra dans la suite que leur limite commune est le nombre $e$. - Montrer par l'absurde que $e$ est irrationnel.
Exercice #5
Énoncé
- Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}_+$, on a $\sin(x)\leqslant x$.
- Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\cos(x)\geqslant 1-\frac{x^2}{2}$.
Exercice #7
Énoncé
- Soit $p,q$ des réels. Écrire, lorsque l'expression est définie, $\dfrac{\cos(q)-\cos(p)}{\sin(p)+\sin(q)}$ sous la forme $\tan(?)$ avec $?$ à déterminer.
- En déduire $\tan(\frac{\pi}{24})$.
Exercice #10
Énoncé
Résoudre les équations suivantes d'inconnues $x \in \mathbb{R}$ :
- $3\cos(x)-\sqrt{3}\sin(x)=\sqrt{6}$.
- $\cos^4(x)+\sin^4(x)=1$.
Exercice #9
Énoncé
On considère la fonction $f:x \mapsto \cos^3(x)+\sin^3(x)$
- Étudier $f$ sur $\mathbb{R}$
- Résoudre l'équation $f(x)=1$.
Exercice #213
Énoncé
Déterminer pour quelles valeurs de l'inconnue $x \in \mathbb{R}$ l'équation suivante est valable puis la résoudre :\[
\text{arccos}(x)=\text{arcsin}(2x).
\]
Exercice #217
Énoncé
Simplifier, pour $x \in ]-1,1[$ :\[
\cos(2\text{arcsin}(x))
\]
Exercice #221
Énoncé
- Montrer que la fonction de la variable réelle $\displaystyle x \mapsto \text{arccos}\left(\frac{1}{\text{ch}(x)}\right)$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.
- Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, \[ |\text{arctan}(\text{sh}(x))|=\text{arccos}\left(\frac{1}{\text{ch}(x)}\right). \]
Exercice #214
Énoncé
Soit $x \in \mathbb{R}$. Simplifier :\[
\cos(2\text{arctan}(x))
\]
Exercice #221
Énoncé
- Montrer que la fonction de la variable réelle $\displaystyle x \mapsto \text{arccos}\left(\frac{1}{\text{ch}(x)}\right)$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.
- Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, \[ |\text{arctan}(\text{sh}(x))|=\text{arccos}\left(\frac{1}{\text{ch}(x)}\right). \]
Exercice #220
Énoncé
- Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}_+$, $\text{sh}(x)\geqslant x$
- Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\text{ch}(x)\geqslant 1+\frac{x^2}{2}$
Exercice #185
Énoncé
Étudier la fonction suivante sur son domaine de définition :\[
f: x \mapsto \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)
\]On pensera à étudier la parité de la fonction.
Exercice #196
Énoncé
Étudier la fonction $f$ puis tracer l'allure de son graphe sur son domaine de définition où :\[
f:x \mapsto \sqrt{4x^2+9}.
\]Lors de cette étude, on mettra en évidence des asymptotes obliques en $\pm \infty$.
Exercice #197
Énoncé
Étudier la fonction $f$ puis tracer l'allure de son graphe sur son domaine de définition :\[
f:x \mapsto \frac{x^2+1}{x+1}.
\]Lors de cette étude, on mettra en évidence des asymptotes verticales et obliques.
Exercice #198
Énoncé
Étudier la fonction $f$ puis tracer l'allure de son graphe sur son domaine de définition :\[
f:x \mapsto \ln(e^{2x}-1).
\]Lors de cette étude, on mettra en évidence des asymptotes verticales et obliques.
Exercice #187
Énoncé
Montrer que pour tout entier $n \geqslant 2$ :\[
\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \leqslant e \leqslant \left(1-\frac{1}{n}\right)^{-n}
\]
Exercice #188
Énoncé
Montrer que pour tout $x \in ]0,1[$ :\[
x^x(1-x)^{1-x}\geqslant \frac{1}{2}
\]
Exercice #193
Énoncé
Soit $f,g$ des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Montrer l'implication suivante :
Si $f$ et $g$ sont bornées sur $\mathbb{R}$ alors $f+g$ est bornée sur $\mathbb{R}$.
Que dire de l'implication réciproque ?
Si $f$ et $g$ sont bornées sur $\mathbb{R}$ alors $f+g$ est bornée sur $\mathbb{R}$.
Que dire de l'implication réciproque ?
Exercice #194
Énoncé
Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ et $a,b \in \mathbb{N}^*$ premiers entre eux. Montrer que si $f$ est $a$-périodique sur $\mathbb{R}$ et $b$-périodique alors $f$ est $1$-périodique.
Exercice #195
Énoncé
Soit $f$ une fonction bijective de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Montrer que si $f$ est impaire, alors sa réciproque $f^{-1}$ l'est aussi.
Exercice #202
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle f:x \mapsto \frac{\ln(1+x^2)}{x^2}$. Déterminer le domaine de dérivabilité de $f$, calculer $f'$ sur ce domaine puis déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ en $1$.
Exercice #203
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle f:x \mapsto e^{\frac{1}{x+1}+x^2-\cos(\sin(x))}$. Déterminer le domaine de dérivabilité de $f$, calculer $f'$ sur ce domaine puis déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ en $0$.
Exercice #204
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle f:x \mapsto \tan\left(\frac{x^2+\frac{\pi}{6}}{x^2+1}\right)$. Déterminer le domaine de dérivabilité de $f$, calculer $f'$ sur ce domaine puis déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ en $0$.
Exercice #190
Énoncé
Déterminer, pour $n \in \mathbb{N}$, la dérivée $n$-ième de la fonction :\[
f: x \mapsto (x^2+1)e^x.
\]après avoir justifié le caractère $C^{\infty}$ de $f$ sur son domaine de définition.
Exercice #192
Énoncé
Déterminer, pour $n \in \mathbb{N}$, la dérivée $n$-ième de la fonction :\[
f: x \mapsto \frac{1}{1-x^2}.
\]après avoir justifié le caractère $C^{\infty}$ de $f$ sur son domaine de définition.
Exercice #358
Énoncé
Soit $f :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pm \infty}f(x)=+\infty$. Montrer qu'il existe $c \in \mathbb{R}$ tel que $f'(c)=0$.
Exercice #362
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}$ et $p: \rightarrow \mathbb{R}$ telle que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $p(x)=(x^2-1)^n$.
- Justifier que $p$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$. Dans la suite, on pose : \[ f=p^{(n)}. \]
- Montrer que $f$ est une fonction polynomiale de degré $n$ puis calculer les valeurs $f(\pm 1)$.
- Montrer que $f$ possède exactement $n$ racines distinctes qui sont toutes dans $]-1,1[$.
Exercice #360
Énoncé
Soit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$. Montrer :
$f$ est lipschitzienne sur $\mathbb{R}$ si, et seulement si, $f'$ est bornée sur $\mathbb{R}$.
Exercice #361
Énoncé
Montrer que $\cos$ est lipschitzienne sur $\mathbb{R}$.
Exercice #189
Énoncé
Montrer que la fonction $f:\mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}$ telle que, pour tout $x \in \mathbb{R}_+$ :\[
f(x)=\begin{cases}
x^2\ln(x)&\text{ si }x> 0 \\
0 & \text{ si }x=0
\end{cases}
\]est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}_+$.
La fonction $f$ est-elle $2$-fois dérivable en $0$ ?
La fonction $f$ est-elle $2$-fois dérivable en $0$ ?
Exercice #11
Énoncé
Montrer que pour tout $x \in [0,\frac{\pi}{2}]$ ;\[
\frac{2}{\pi}x\leqslant \sin(x) \leqslant x
\]
Exercice #13
Énoncé
Soit $p,q \in ]1,+\infty[$ tels que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Montrer que, pour tous $x,y \in \mathbb{R}_+$ :\[
xy\leqslant \frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}.
\]
Exercice #14
Énoncé
Montrer que pour tous $x,y,a,b \in \mathbb{R}_+^*$, on a l'inégalité suivante :\[
(x+y)\ln\left(\frac{x+y}{a+b}\right)\leqslant x\ln\left(\frac{x}{a}\right)+y\ln\left(\frac{y}{b}\right)
\]
Exercice #12
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que pour tous $x_1,...,x_n \in \mathbb{R}$ :\[
\left(\sum_{k=1}^n x_k\right)^2\leqslant n \sum_{k=1}^n x_k^2.
\]
Exercice #410
Énoncé
Déterminer un équivalent simple de $f$ en $+\infty$ où :\[
f: x \mapsto \sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}.
\]
Exercice #411
Énoncé
Déterminer un équivalent simple de $f$ en $+\infty$ où :\[
f:x \mapsto \frac{\ln(x+1)}{\ln(x)}-1.
\]
Exercice #412
Énoncé
Déterminer un équivalent simple de $f$ en $0$ où :\[
f:x \mapsto \sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}.
\]
Exercice #413
Énoncé
Soit $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ une fonction décroissante telle que :\[
f(x)+f(x+1)\underset{x \rightarrow +\infty}{\sim}\frac{1}{x}.
\]Étudier la limite en $+\infty$ de $f$ puis déterminer un équivalent simple de $f$ en $+\infty$.
Exercice #430
Énoncé
Déterminer un développement limité de $f$ en $0$ à l'ordre $n$ où :\[
f(x)= \frac{\ln(1+x)}{(1+x^2)}\text{ avec }n=3.
\]
Exercice #431
Énoncé
Déterminer un développement limité de $f$ en $0$ à l'ordre $n$ où :\[
f(x)= (1+x)^{\frac{1}{x}}\text{ avec }n=3.
\]
Exercice #432
Énoncé
Déterminer un développement limité de $f$ en $0$ à l'ordre $n$ où :\[
f(x)= e^{3x}\sin(2x)\text{ avec }n=4.
\]
Exercice #439
Énoncé
Déterminer un développement limité de $f$ en $0$ à l'ordre $n$ où :\[
f(x)= \ln(1+\sin(x))\text{ avec }n=3.
\]
Exercice #433
Énoncé
- Montrer que $f$ la fonction de $\mathbb{R}$ dans lui-même définie par :\[ f(x)=\begin{cases} 0&\text{ si }x=0 \\ x^4\sin\left(\frac {1}{x}\right)&\text{ si }x\neq 0 \end{cases} \]est dérivable deux fois en $0$ mais pas de classe $C^2$ en $0$.
- Une fonction qui admet un développement limité à un ordre $n$ en $0$ est-elle de classe $C^n$ en $0$ ?
Exercice #434
Énoncé
Soit $a \in \mathbb{R}$ et $f_a:x \mapsto \text{arctan}\left(\frac{x+a}{1-ax}\right)$.
- Montrer que $f$ est de classe $C^{\infty}$ sur son domaine de définition et déterminer $f_a'$.
- Pour $n \in \mathbb{N}$, déterminer un développement limité de $f_a'$ à l'ordre $2n-1$ en $0$ puis de $f_a$ à l'ordre $2n$ en $0$.
- Pour $k \in \mathbb{N}$, déterminer $f_a^{(k)}(0)$.
Exercice #437
Énoncé
Soit $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ définie, pour $x \in \mathbb{R}$, par $f(x)=xe^{x^2}$. Montrer que $f$ est bijective, que $f^{-1}$ admet un développement limité à l'ordre $n \in \mathbb{N}$ en $0$ puis en déterminer un pour $n=5$.
Exercice #435
Énoncé
Soit $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la fonction :\[
f:x \mapsto \begin{cases}
0&\text{ si }x=0 \\
e^{-\frac{1}{x^2}}&\text{ si }x \neq 0
\end{cases}
\]
- Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ puis déterminer la limite $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^n}$ pour $n \in \mathbb{N}$.
- En déduire un développement limité de $f$ en $0$ à l'ordre $n \in \mathbb{N}$. Justifier qu'une fonction qui admet un développement limité nul (i.e. la partie polynomiale du DL est nulle) en $0$ à tout ordre n'est pas nécessairement la fonction nulle.
- Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, il existe un polynôme $P_n$ tel quepour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$, $f^{(n)}(x)=P_n\left(\frac{1}{x}\right)f(x)$.
En déduire que $f$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$.
Exercice #436
Énoncé
- Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}^*$, $\text{arctan}(x)=\frac{\pi}{2}-\text{arctan}\left(\frac{1}{x}\right)$.
- En déduire un développement asymptotique de $f=\text{arctan}$ en $+\infty$ avec une précision en $\frac{1}{x^3}$.
Exercice #438
Énoncé
Déterminer un développement limité en $1$ à l'ordre $4$ de $f$ où :\[
f:x\mapsto \sin(x^2(x - 1)).
\]
Exercice #521
Énoncé
Soit $x \in \mathbb{R}_+^*$. Après avoir justifié que c'est possible, appliquer la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre $3$ à la fonction $f:t \mapsto \ln(1+t)$ sur l'intervalle $[0,x]$.
Exercice #520
Énoncé
Soit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ telle que $f(x)\xrightarrow[x \rightarrow+\infty]{}0$ et $f''(x)\xrightarrow[x \rightarrow+\infty]{}0$. Montrer que $f'(x)\xrightarrow[x \rightarrow+\infty]{}0$.
Exercice #523
Énoncé
Soit $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction de classe $C^2$ sur $\mathbb{R}$ et $a \in \mathbb{R}$. Déteminer :\[
\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(a+h)-2f(a)+f(a-h)}{h^2}
\]
Exercice #335
Énoncé
Soit $f:\mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue qui admet une limite finie en $+\infty$. Montrer que $f$ est bornée sur $\mathbb{R}_+$.
Exercice #338
Énoncé
Soit $T> 0$ et $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction $T$-périodique telle que $f$ admet une limite finie en $+\infty$.
Montrer que $f$ est une fonction constante.
Montrer que $f$ est une fonction constante.
Exercice #339
Énoncé
Déterminer la limite suivante, si elle existe :\[
\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}
\]
Exercice #341
Énoncé
Déterminer la limite suivante, si elle existe :\[
\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{x+\text{arctan}(x)}{x}
\]
Exercice #342
Énoncé
Déterminer la limite suivante, si elle existe :\[
\lim_{x \rightarrow 0}x\sin\left(\frac{1}{x}\right)
\]
Exercice #355
Énoncé
Montrer que la fonction $t \mapsto \cos(\sin(t) )$ n'admet pas de limite en $+\infty$.
Exercice #356
Énoncé
Déterminer toutes les fonctions $f$ de $]0,+\infty[\rightarrow \mathbb{R}$ telles que, pour tous $a,b \in ]0,+\infty[$ :\[
|f(a)-f(b)|\leqslant \frac{a}{b}.
\]
Exercice #357
Énoncé
Soit $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction périodique et non constante. Montrer que $f$ n'admet pas de limite en $+\infty$.
Exercice #455
Énoncé
Étudier la continuité sur $\mathbb{R}^2$ de la fonction suivante :\[
f:(x,y) \mapsto \begin{cases}
\displaystyle\frac{3x^2y}{x^2+y^2}&\text{ si }(x,y) \in \mathbb{R}^2 \smallsetminus\{(0,0)\} \\
0&\text{ si }(x,y)=(0,0).
\end{cases}
\]
Exercice #456
Énoncé
Étudier la continuité sur $\mathbb{R}^2$ de la fonction suivante :\[
f:(x,y) \mapsto \begin{cases}
\displaystyle\frac{x^2}{x^2+y^2}&\text{ si }(x,y) \in \mathbb{R}^2 \smallsetminus\{(0,0)\} \\
0&\text{ si }(x,y)=(0,0).
\end{cases}
\]
Exercice #457
Énoncé
Étudier la continuité sur $\mathbb{R}^2$ de la fonction suivante :\[
f:(x,y) \mapsto \begin{cases}
\displaystyle\frac{-x^3+6xy^2}{2x^2+y^2}&\text{ si }(x,y) \in \mathbb{R}^2 \smallsetminus\{(0,0)\} \\
0&\text{ si }(x,y)=(0,0).
\end{cases}
\]
Exercice #491
Énoncé
Soit $E$ un espace euclidien muni d'un produit scalaire $(\cdot|\cdot)$ et $f : E \rightarrow E$ une application différentiable sur $E$. On pose, pour $x \in E$ : \[
\varphi(x)=(f(x)|f(x)).
\] Montrer que $\varphi$ est différentiable sur $E$ et déterminer sa différentielle en tout point de $E$.
Exercice #546 Oral CCinP 2023
Détails de l'exercice #546
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
En Mathématiques : Bac+2.
Source : BEOS #7515 Oral CCinP 2023
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On pose $E = \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $, muni d'une norme sous-multiplicative $\|\cdot\| $, i.e. $\forall (A,B) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})^2$, $\| AB\| \leqslant \| A \|. \| B \|$.
- Soit $H \in E$ tel que $\| H \| < 1 $. Montrer que $I_n - H$ est inversible, d'inverse $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} H^n$.
- Montrer que $GL_n(\mathbb{R})$ est ouvert dans $E$.
- Soit $\begin{array}{ccccc} f & : & \ GL_n(\mathbb{R})& \rightarrow & \ GL_n(\mathbb{R}) \\ & & M & \mapsto & M^{-1} \end{array}$.
- Montrer que $f$ est différentiable en $I_n$ et que $df(I_n) = -\text{Id}_E$.
- Montrer que $f$ est différentiable en tout point de $E$.
Indications
- Calculer $(I_n - H) \sum_{n=0}^{\infty} H^n$.
- Utiliser l'écriture de $GL_n(\mathbb{R})$ avec le déterminant.
-
- Utiliser la question 1.
- Remarquer que $(M+ H)^{-1} = (M(I_n + M^{-1}H))^{-1})$.
Exercice #488
Énoncé
Déterminer les extrema sur $\mathbb{R}^2$, s'il en existe, de la fonction \[
f:(x,y) \mapsto 2(y-x)^2-(x^4+y^4).
\]
Exercice #486
Énoncé
On considère la fonction $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ définie, pour $(x,y) \in \mathbb{R}^2$, par : \[
f(x,y)=\begin{cases}
\frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}&\text{ si }(x,y)\neq (0,0) \\
0&\text{ si }(x,y)=(0,0)
\end{cases}
\]
- Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^2$ et que $f$ admet des dérivées partielles dans la base canonique en tout point de $\mathbb{R}^2$.
- Montrer que $f$ est différentiable sur $\mathbb{R}^2 \smallsetminus \{(0,0)\}$ et exprimer sa différentielle en tout point de $\mathbb{R}^2 \smallsetminus \{(0,0)\}$.
- La fonction $f$ est-elle de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}^2$ ?
Exercice #490
Énoncé
Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}$. On pose, pour $(x,y,z) \in \mathbb{R}^2$ : \[
\varphi(x,y,z)=f(x-y,y-z,z-x).
\] Montrer que $\varphi$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}^3$ et que, pour tout $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$, $\nabla \varphi(x,y,z)$ est orthogonal au vecteur $(1,1,1)$.
Exercice #485
Énoncé
Déterminer, si elle existe, une fonction $f:U \rightarrow \mathbb{R}$ de classe $C^2$ sur un ouvert $U\subset \mathbb{R}^2$ tel que $\nabla f = V_i$ où, pour $(x,y) \in U$ : \[
V_1(x,y)=\left(\frac{x}{y},\frac{y}{x}\right) \quad \text{ et }\quad V_2(x,y)=\left(\frac{y^2}{(x+y)^2},\frac{x^2}{(x+y)^2}\right).
\]
Exercice #487
Énoncé
Justifier que la surface $\mathcal{S}$ d'équation $z^2=6+2x^2+3y^2$ admet un plan tangent en chacun de ses points, puis déterminer l'équation du plan tangent au point de coordonnées $(3,2,6)$.
Exercice #40
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante :\[
\int_0^1 \frac{\ln(1+t)}{t^{\frac{3}{2}}}\text{d}t
\]
Exercice #44
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante :\[
\int_a^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t^2}\text{d}t
\]pour $a=1$ puis pour $a=0$.
Exercice #45
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante :\[
\int_0^{1} \cos(\ln(t))\text{d}t
\]
Exercice #46
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante :\[
\int_0^{+\infty} \sin(x)\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)\text{d}x
\]
Exercice #47
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante :\[
\int_0^{+\infty} \left(t+1-\sqrt{t^2+2t+1,1}\right)\text{d}t
\]
Exercice #48
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante :\[
\int_1^{+\infty} \frac{\ln(1+\frac{1}{t})}{\sqrt{t-1}}\text{d}t
\]
Exercice #50
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante en fonction de $\alpha \in \mathbb{R}$ :\[
\int_0^{+\infty} \frac{\ln(1+t)}{t^{\alpha}}\text{d}t
\]
Exercice #51
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante en fonction de $\alpha \in \mathbb{R}$ :\[
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \tan^{\alpha}(\theta)\text{d}\theta
\]
Exercice #52
Énoncé
Montrer la convergence puis calculer l'intégrale suivante :\[
\int_0^{+\infty} \frac{1}{1+t^3}\text{d}t
\]
Exercice #88
Énoncé
Justifier la convergence de l'intégrale :\[
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\tan(t)} \text{d}t
\]puis la calculer.
Exercice #87
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}$. Justifier la convergence de l'intégrale :\[
I_n= \int_0^1 (t\ln(t))^n \text{d}t
\]puis la calculer.
Exercice #90
Énoncé
Soit $f: [1,+\infty[ \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue. Montrer l'implication :\[
\int_1^{+\infty} f(t) \text{d}t \text{ converge } \;\Rightarrow \; \int_1^{+\infty} \frac{f(t)}{t} \text{d}t \text{ converge.}
\]
Exercice #547 Oral CCinP 2023
Détails de l'exercice #547
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
En Mathématiques : Bac+2.
Source : BEOS #7216 Oral CCinP 2023
Énoncé
Pour $n \in \mathbb{N}^*$, on note\[
I_n=\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{(1+ t^4)^n}\,\text{d}t
\]
- Montrer que $I_n$ est bien défini pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, puis que la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge vers une limite à déterminer.
- Pour $n \in \mathbb{N}^*$, trouver une relation entre $I_n$ et $I_{n+1}$. En déduire une seconde façon de déterminer la limite de la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$.
Indications
- Appliquer le théorème de convergence dominée.
- Écrire $1=1+t^4-t^4$ puis effectuer une IPP. Une fois la relation établie, faire un produit télescopique pour trouver une expression de $I_n$ puis passer au logarithme.
Correction
Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose $f_n: t \mapsto \frac{1}{(1+ t^4)^n}$.
- Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrons que l'intégrale généralisée $I_n$ est convergente.
La fonction $f$ est continue sur $[0,+\infty[$ comme quotient de fonctions continues sur $[0,+\infty[$ dont le dénominateur ne s'annule pas et est positive sur cet intervalle.
En $+\infty$, on a : \[ f_n(t)=\frac{1}{(1+ t^4)^n} \underset{t \rightarrow +\infty}{\sim} \frac{1}{t^{4n}}. \] Or, $\int_1^{+\infty} \frac{1}{t^{4n}}\text{d}t$ converge d'après le critère de Riemann en $+\infty$ car $4n \geqslant 4 > 1$, donc, par comparaison, $\int_1^{+\infty} f_n(t)\text{d}t$ converge.
De plus, $f$ étant continue sur le segment $[0,1]$, $\int_0^{1} f_n(t)\text{d}t$ converge aussi.
Par suite, $\int_0^{+\infty} f_n(t)\text{d}t$ converge et donc $I_n$ est bien défini.
Utilisons le théorème de convergence dominée appliqué à la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ pour montrer que la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge et pour déterminer sa limite. Vérifions les hypothèses du théorème : - pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $f_n$ est continue par morceaux sur $[0,+\infty[$ car continue sur $[0,+\infty[$.
- Convergence Simple vers une fonction continue par morceaux. Soit $t \in [0,+\infty[$. On a : \[ f_n(t)\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} \begin{cases} 1&\text{ si }t=0 \\ 0&\text{ si }t> 0. \end{cases} \] Par suite, $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge simplement sur $[0,+\infty[$ vers la fonction $f:t \mapsto \begin{cases} 1&\text{ si }t=0 \\ 0&\text{ si }t> 0. \end{cases}$ qui est continue par morceaux sur $[0,+\infty[$.
- Domination. Soit $t \in [0,+\infty[$. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, comme $1+t^4 \geqslant 1$, on a : \[ |f_n(t)|=\frac{1}{(1+t^4)^n}\leqslant \frac{1}{1+t^4}=g(t) \] De plus, la fonction $g:t \mapsto \frac{1}{1+t^4}$ est intégrable sur $[0,+\infty[$ d'après ce qui précède (cas $n=1$ pour la bonne définition de $I_n$). Les hypothèses sont vérifiées : ainsi, d'après le théorème de convergence dominée, on a \[ \lim_{n \rightarrow +\infty}I_n = \int_0^{+\infty}\lim_{n \rightarrow +\infty} f_n(t) \text{d}t = \int_0^{+\infty}f(t) \text{d}t = 0. \]
- Soit $n \in \mathbb{N}^*$. En utilisant la décomposition $1=1+t^4-t^4$ : \[
\begin{array}{rcl}
I_{n+1}&=&\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{1}{(1+t^4)^{n+1}} \text{d}t \\
&=&\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{1+t^4-t^4}{(1+t^4)^{n+1}} \text{d}t \\
&=&\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{1}{(1+t^4)^{n}} \text{d}t + \int_0^{+\infty}\frac{-t^4}{(1+t^4)^{n+1}} \text{d}t\\
&=&\displaystyle I_n + \frac{1}{4n}\int_0^{+\infty}t\frac{-4nt^3}{(1+t^4)^{n+1}} \text{d}t
\end{array}
\] On effectue une intégration par parties dans cette dernière intégrale avec : \[
\begin{array}{rclcrcl}
u(t)&=&t&\quad \quad&u'(t)&=&1 \\
v'(t)&=&\displaystyle \frac{-4nt^3}{(1+t^4)^{n+1}}&\quad \quad&v(t)&=&\displaystyle \frac{1}{(1+t^4)^{n}}
\end{array}
\] On a alors : \[
u(t)v(t) = \frac{t}{(1+t^4)^{n}} \begin{cases}
\xrightarrow[t\rightarrow 0]{}0 \\
\xrightarrow[t\rightarrow +\infty]{}0
\end{cases}
\] Par suite, l'IPP est licite et on a : \[
\int_0^{+\infty}t\frac{-4nt^3}{(1+t^4)^{n+1}} \text{d}t= [u(t)v(t)]_0^{+\infty}- \int_0^{+\infty}\frac{1}{(1+t^4)^{n}} \text{d}t =-I_n.
\] On obtient donc la relation : \[
I_{n+1} = I_n+\frac{1}{4n}(-I_n)=\left(1-\frac{1}{4n}\right)I_n.
\] Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, comme $f_n$ est positive continue et non nulle sur $[0,+\infty[$, on a $I_n > 0$, d'où : \[
\frac{I_{n+1}}{I_n} = 1-\frac{1}{4n}.
\] Par produit télescopique, on a alors : \[
\frac{I_n}{I_1}= \prod_{k=1}^{n-1} \frac{I_{k+1}}{I_k} =\prod_{k=1}^{n-1}\left(1-\frac{1}{4k}\right).
\] Ainsi, on a : \[
\ln(I_n)=\ln(I_1)-\sum_{k=1}^{n-1}\left(-\ln\left(1-\frac{1}{4k}\right)\right).
\] Or, $-\ln\left(1-\frac{1}{4k}\right)\underset{k \rightarrow +\infty}{\sim} \frac{1}{4k}$ et $\sum_{k \geqslant 1}\frac{1}{4k}$ diverge (série harmonique multipliée par une constante) d'où la série à termes positifs $\sum_{k \geqslant 1}\left(-\ln\left(1-\frac{1}{4k}\right)\right)$ diverge et donc la suite de ses sommes partielles tend vers $+\infty$ i.e. $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\left(-\ln\left(1-\frac{1}{4k}\right)\right) \xrightarrow[t\rightarrow +\infty]{} +\infty$.
Il en résulte que $(\ln(I_n))_{n \in \mathbb{N}^*}$ tend vers $-\infty$ et donc, par passage à la fonction exponentielle qui est continue sur $\mathbb{R}$, on obtient, comme $\lim_{x \rightarrow -\infty}e^x=0$ : \[ I_n \xrightarrow[t\rightarrow +\infty]{} 0. \]
Exercice #579
Énoncé
Déterminer un équivalent simple quand $x$ tend vers $+\infty$ de :\[
\int_x^{+\infty} \ln\left(1+\sin\left(\frac{1}{t^4}\right)\right) \text{d}t.
\]
Exercice #580
Énoncé
Déterminer un équivalent simple quand $x$ tend vers $+\infty$ de :\[
\int_1^{x} \text{sh}\left(\frac{1}{\sqrt{t}}\right) \text{d}t.
\]
Exercice #403
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle F:x \mapsto \int_0^1 e^{-\frac{x}{t}}\text{d}t$.
- Montrer que $F$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}_+^*$.
- Donner une expression explicite de $F''$.
Exercice #405
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle F:x \mapsto \int_0^{+\infty}\frac{\sin(xt)e^{-t}}{t}\text{d}t$.
- Déterminer le domaine de définition de $F$.
- Montrer que $F$ est de classe $C^1$ sur son domaine.
- Déterminer $F'$ puis en déduire une expression simple de $F$.
Exercice #404
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle F:x \mapsto \int_0^{+\infty}\frac{e^{-xt}}{1+t^2}\text{d}t$.
- Déterminer le domaine de définition de $F$.
- Montrer que $F$ admet une limite en $+\infty$ et la calculer.
- Montrer que $F$ est de classe $C^2$ sur $\mathbb{R}_+^*$ puis montrer que $F$ est solution d'une équation différentielle linéaire d'ordre $2$ à coefficients constants.
Exercice #524 Oral CCinP 2023
Détails de l'exercice #524
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
En Mathématiques : Bac+2.
Source : BEOS #7475 Oral CCinP 2023
Énoncé
Pour $x \in \mathbb{R}_+$, on pose :\[
F(x) =\int_{0}^{1}\frac{e^{-x^2(1+t^{2})}}{1+t^2}\,\text{d}t \quad\text{et}\quad G(x) = \int_{0}^{x} \mathrm e^{-t^2}\,\text{d}t.
\]
- Montrer que $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}_+$ et exprimer $F'(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}_+$.
- Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}_+$, $G(x)^2 = \frac{\pi}{4}-F(x)$.
- En déduire la valeur de $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}\,\text{d}t$.
Indications
- Utiliser le théorème de dérivation d'une intégrale à paramètre.
- Prouver que la fonction $G^2+F$ est dérivable de dérivée nulle sur $\mathbb{R}_+$.
- Remarquer que l'intégrale recherchée est convergente et égale à $\lim_{x \rightarrow +\infty}G(x)$, puis passer à la limite dans le résultat de la question 2. en utilisant le théorème de la limite d'une intégrale à paramètre.
Correction
- Pour $(x,t) \in \mathbb{R}_+\times [0,1]$, on pose $\displaystyle f(x,t)=\frac{e^{-x^2(1+t^{2})}}{1+t^2}$. On vérifie les hypothèses du théorème de dérivation d'une intégrale à paramètre :
- Soit $t \in [0,1]$. La fonction $x \mapsto f(x,t)$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}_+$ car, pour $a,b$ des réels, $x \mapsto be^{ax^2}$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$ (composée de fonctions de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$). De plus, pour tout $x \in \mathbb{R}_+$, on a : \[ \frac{\partial f}{\partial x}(x,t) = -2xe^{-x^2(1+t^{2})}. \]
- Soit $x \in \mathbb{R}_+$. La fonction $t \mapsto f(x,t)$ est intégrable sur $[0,1]$ car continue sur le segment $[0,1]$.
- Soit $x \in \mathbb{R}_+$. La fonction $t \mapsto \frac{\partial f}{\partial x}f(x,t)$ est continue par morceaux sur $[0,1]$ car, pour $a,b$ des réels, $t \mapsto be^{a(1+t^2)}$ est continue sur $\mathbb{R}$ (composée de fonctions continues sur $\mathbb{R}$).
- Soit $a > 0$. Domination sur $[0,a]$. Soit $t \in [0,1]$. Pour tout $x \in [0,a]$, on a : \[ \left|\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\right| = 2xe^{-x^2(1+t^{2})}\leqslant 2a = g(t). \] De plus, la fonction $g: t\mapsto 2a$ est intégrable sur $[0,1]$ car continue sur ce segment. Toutes les hypothèses sont vérifiées. Ainsi, d'après le théorème de dérivation d'une intégrale à paramètre, $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0,a]$ pour tout $a> 0$ et donc sur $\mathbb{R}_+$; et on a, pour tout $x \in \mathbb{R}_+$ : \[ \begin{array}{rcl} F'(x)&=&\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}x}\int_{0}^{1}f(x,t)\,\text{d}t \\ &=&\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\,\text{d}t \\ &=&\displaystyle \int_{0}^{1}-2xe^{-x^2(1+t^{2})}\,\text{d}t \\ F'(x)&=&\displaystyle -2x\int_{0}^{1}e^{-x^2(1+t^{2})}\,\text{d}t. \end{array} \]
- L'identité que l'on doit montrer nous suggère calculer la dérivée de $G^2+F$ et de vérifier que celle-ci est constante.
La fonction $G$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+$ comme primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $x \mapsto e^{-x^2}$ continue sur $\mathbb{R}$ et $F$ l'est aussi d'après la question précédente. Par suite, $H=G^2+F$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+$, de dérivée $H'=2G'G+F'$. On a : \[ H'(0)=2G'(0)G(0)+F'(0)= 2\times 1\times 0 -0 = 0. \]
Soit $x \in \mathbb{R}_*^+$. Effectuons le changement de variable licite $u=\frac{t}{x}$ dans l'intégrale $G(x)$ : \[ G(x)=\int_{0}^{x}e^{-t^2}\,\text{d}t = \int_{0}^{1} e^{-(xu)^2}\,x\text{d}u=x\int_{0}^{1} e^{-x^2u^2}\,\text{d}u. \] Par suite, on a : \[ \begin{array}{rcl} H'(x)&=&\displaystyle 2G'(x)G(x)+F'(x) \\ &=&\displaystyle 2xe^{-x^2}\int_{0}^{1} e^{-x^2u^2}\,\text{d}u+F'(x) \\ &=&\displaystyle 2x\int_{0}^{1} e^{-x^2(1+u^2)}\,\text{d}u-2x\int_{0}^{1}e^{-x^2(1+t^{2})}\,\text{d}t \\ H'(x)&=&0. \end{array} \] Ainsi, $H'$ est nulle sur l'intervalle $\mathbb{R}_+$, donc $H$ est constante sur $\mathbb{R}_+$. Or, on a : \[ H(0)=(G(0))^2+F(0)=0+\int_{0}^{1}\frac{1}{1+t^2}\,\text{d}t = \left[\text{arctan}(t)\right]_0^1 = \frac{\pi}{4}. \] Il en résulte que $H=G^2+F$ est constante en $\frac{\pi}{4}$ sur $\mathbb{R}_+$ d'où le résultat. - On remarque que l'intégrale $\int_{0}^{+\infty} e^{-t^2}\,\text{d}t$ est convergente. En effet, $t \mapsto e^{-t^2}$ est continue positive sur $[0,+\infty[$, $e^{-t^2}=\underset{t \rightarrow +\infty}{o}(\frac{1}{1+t^2})$ par croissances comparées et l'intégrale $\int_0^{+\infty}\frac{1}{1+t^2}\,\text{d}t$ converge car la fonction $\text{arctan}$ admet des limites finies en $0$ et $+\infty$; d'où la convergence de l'intégrale par comparaison.
De plus, par définition, on a : $\int_{0}^{+\infty} e^{-t^2}\,\text{d}t = \lim_{x \rightarrow +\infty} G(x)$.
Ceci nous suggère alors de passer à la limite en $+\infty$ dans le résultat trouvé à la question précédente. Pour cela, il faut vérifier que $F$ admet une limite en $+\infty$ et la déterminer.
Vérifions les hypothèses du théorème de limite d'une intégrale à paramètre (on reprend les notations de la question 1.) : - Soit $x \in \mathbb{R}_+$. La fonction $t \mapsto f(x,t)$ est continue par morceaux sur $[0,1]$ car continue sur $\mathbb{R}$.
- Soit $t \in [0,1]$. Comme $1+t^2> 0$, on a : \[
\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x,t)=\lim_{x \rightarrow +\infty}e^{-x^2(1+t^2)} = 0.
\]
- Domination sur $\mathbb{R}_+$. Soit $t \in [0,1]$. Pour tout $x \in \mathbb{R}_+$, on a : \[ \left|f(x,t)\right| = e^{-x^2(1+t^{2})}\leqslant 1 = g(t). \] De plus, la fonction $g: t\mapsto 1$ est intégrable sur $[0,1]$ car continue sur ce segment. Toutes les hypothèses sont vérifiées. Ainsi, d'après le théorème de limite d'une intégrale à paramètre, $F$ admet une limite en $+\infty$ et on a : \[ \begin{array}{rcl} \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}F(x)&=&\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\int_{0}^{1}f(x,t)\,\text{d}t \\ &=&\displaystyle \int_{0}^{1}\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x,t)\,\text{d}t \\ &=&\displaystyle \int_{0}^{1}0\,\text{d}t \\ \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}F(x)&=&0. \end{array} \] Ainsi, d'après ce qui précède et la question 2., on a : \[ \begin{array}{rcl} \displaystyle \left(\int_{0}^{+\infty} e^{-t^2}\,\text{d}t\right)^2&=& \lim_{x \rightarrow +\infty}G(x)^2 \\ &=&\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\left(\frac{\pi}{4}-F(x)\right) \\ &=&\displaystyle \frac{\pi}{4} -\lim_{x \rightarrow +\infty}F(x) \\ \displaystyle \left(\int_{0}^{+\infty} e^{-t^2}\,\text{d}t\right)^2&=&\displaystyle \frac{\pi}{4}. \end{array} \] Il en résulte : \[ \int_{0}^{+\infty} e^{-t^2}\,\text{d}t = \sqrt{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}. \]
Exercice #16
Énoncé
Déterminer la limite de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ telle que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :\[
u_n=\sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^2}
\]
Exercice #17
Énoncé
Déterminer la limite de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ telle que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :\[
u_n=\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+k^2}
\]
Exercice #20
Énoncé
Soit $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue telle que $\displaystyle \int_0^1 f(t)\text{d}t=\frac{1}{2}$. Montrer que $f$ admet un point fixe.
Exercice #21
Énoncé
Soit $a,b \in \mathbb{R}$ avec $a< b$ et $f,g$ des fonctions continues de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$ avec $g$ positive sur $[a,b]$. Montrer qu'il existe $c \in [a,b]$ tel que :\[
\int_a^b f(t)g(t)\text{d}t=f(c)\int_a^b g(t) \text{d}t.
\]
Exercice #22
Énoncé
Soit $a,b \in \mathbb{R}$ avec $a< b$ et $f,g$ des fonctions de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$. On suppose que $f$ est de classe $C^1$, positive et décroissante sur $[a,b]$ et que $g$ est continue sur $[a,b]$.
On note $G$ la primitive de $g$ qui s'annule en $a$.
On note $G$ la primitive de $g$ qui s'annule en $a$.
- Montrer que $\int_a^b f(t)g(t)\text{d}t = f(b)G(b)-\int_a^b f'(t)G(t)\text{d}t$.
- Expliquer pourquoi $G$ atteint des minimum et maximum notés respectivement $m$ et $M$ sur $[a,b]$
- Montrer qu'il existe $c \in [a,b]$ tel que :\[ \int_a^b f(t)g(t)\text{d}t=f(a)\int_a^cg(t)\text{d}t. \]
Exercice #29
Énoncé
Calculer l'intégrale suivante grâce à un changement de variable bien choisi :\[
\int_1^2 \frac{\ln(t)}{\sqrt{t}}dt.
\]
Exercice #249
Énoncé
Calculer l'intégrale suivante : \[
\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(t)}{\sin(t)+\cos(t)}\text{d}t.
\]
Exercice #28
Énoncé
Calculer l'intégrale suivante grâce à une intégration par partie :\[
\int_0^1 \ln(1+t^2)dt.
\]
Exercice #250
Énoncé
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $[-1,1]$ où :\[
f: t \mapsto \text{arcsin}(t).
\]
Exercice #27
Énoncé
Déterminer une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction suivante :\[
f:t\mapsto \frac{t}{\sqrt{1+t^2}}
\]
Exercice #240
Énoncé
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur un intervalle de son domaine de définition où :\[
f: t \mapsto -te^{6t^2}.
\]
Exercice #241
Énoncé
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur un intervalle de son domaine de définition où :\[
f: t \mapsto \frac{1}{t\left(\ln(t)\right)^3}.
\]
Exercice #242
Énoncé
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur un intervalle de son domaine de définition où :\[
f: t \mapsto \frac{1}{(t-1)^4}.
\]
Exercice #244
Énoncé
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur un intervalle de son domaine de définition où :\[
f: t \mapsto \sqrt{t^2+t^4}.
\]
Exercice #245
Énoncé
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $]-1,+\infty[$ où :\[
f: t \mapsto \frac{1}{1+t^3}.
\]
Exercice #250
Énoncé
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $[-1,1]$ où :\[
f: t \mapsto \text{arcsin}(t).
\]
Exercice #23
Énoncé
Soit $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue. Montrer que $f$ possède une unique primitive $F$ sur $[0,1]$ telle que :\[
\int_0^1F(t) dt =0.
\]
Exercice #26
Énoncé
Pour tout $p,q \in \mathbb{N}$, calculer\[
I_{p,q}=\int_0^1 t^p(1-t)^q dt
\]
Exercice #25 Intégrales de Wallis
Énoncé
Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose $\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n(t) dt$.
- Montrer que $I_n > 0$ et que $I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n(t) dt$.
- Établir une relation entre $I_{n+2}$ et $I_n$ puis en déduire une expression de $I_n$ à l'aide de factorielles en distinguant les cas $n$ pair et impair.
- Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ :\[ (n+1)I_nI_{n+1}=\frac{\pi}{2}\quad \text{et}\quad I_{n+2}\leqslant I_{n+1}\leqslant I_n. \]
- En déduire que $\frac{I_{n+1}}{I_n}$ tend vers $1$ puis déterminer une suite $(u_n)$ simple telle que $\frac{I_n}{u_n}$ vers $1$.
Exercice #449
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix}
-3&1&3 \\
1&-3&3 \\
-5&5&1
\end{pmatrix}$ et $B:t \mapsto \begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ e^{t}
\end{pmatrix}$. Résoudre le système différentielle $X'=AX+B(t)$ où $X=\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix}$ avec $x,y,z$ des fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.
Exercice #450
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix}
3&-1 \\
1&1
\end{pmatrix}$ et $B:t \mapsto 2e^{2t}\begin{pmatrix}
1 \\ -1
\end{pmatrix}$. Résoudre le système différentielle $X'=AX+B(t)$ où $X=\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}$ avec $x,y$ des fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.
Exercice #239
Énoncé
Résoudre l'équation différentielle suivante sur $\mathbb{R}$ :\[
y'+\frac{e^x}{1+e^x}y=1
\]
Exercice #234
Énoncé
Déterminer les fonctions $f$ de $\mathbb{R}$ dans lui-même, dérivable sur $\mathbb{R}$ qui vérifient, pour tout $x \in \mathbb{R}$ :\[
f'(x)+f(x)=f(0)+f(1).
\]
Exercice #236
Énoncé
Soit $\omega,\omega_0 \in \mathbb{R}_+^*$ tels que $\omega \neq \omega_0$. Résoudre sur $\mathbb{R}$ le problème de Cauchy :\[
\begin{cases}
\;y''+\omega^2y=\cos(\omega_0x) \\
\\
\;y(0)=1\text{ et }y'(0)=0
\end{cases}
\]
Exercice #452
Énoncé
Résoudre l'équation différentielle suivante sur $]0,+\infty[$ : \[
y''+\frac{1}{t^2}y'-\frac{1}{t^3}y = 0.
\] On pourra commencer par rechercher une solution polynomiale non nulle de cette équation.
Exercice #454
Énoncé
Résoudre l'équation différentielle suivante sur $]0,+\infty[$ : \[
ty''+3y'-4t^3y = 0.
\] On pourra commencer par rechercher une solution développable en série entière et non nulle de cette équation.
Exercice #237
Énoncé
Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle :\[
y''+2y'+y=e^x
\]
Exercice #262
Énoncé
Déterminer les fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ deux fois dérivables telles que :\[
y^{\prime \,2}+y^2=1.
\]
Exercice #99
Énoncé
Soit $x,y \in \mathbb{R}$. Montrer l'inégalité suivante :\[
|xy| \leqslant \frac{x^2+y^2}{2}.
\]
Exercice #98
Énoncé
Soit $x,y \in [0,1]$. Montrer l'inégalité suivante :\[
x^2+y^2-xy \leqslant 1.
\]
Exercice #100
Énoncé
Soit $x,y \in \mathbb{R}_+$. Montrer l'inégalité suivante :\[
\sqrt{1+x}\sqrt{1+y} \geqslant 1+\sqrt{xy}.
\]
Exercice #103
Énoncé
Soit $x \in \mathbb{R}$. Exprimer les quantités suivantes en fonction de $\lfloor x \rfloor$ :\[
\lfloor -x \rfloor \text{ et } \lfloor 2x \rfloor.
\]
Exercice #101
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in \mathbb{R}$. Montrer l'égalité suivante :\[
\left\lfloor \frac{\lfloor nx \rfloor}{n} \right\rfloor = \lfloor x \rfloor.
\]
Exercice #294
Énoncé
Soit $A$ une partie bornée et non vide de $\mathbb{R}$. On pose $B=\{ |x-y| \; | \; x,y \in A\}$. Montrer que $B$ admet un minimum et une borne supérieure; puis montrer que $\sup(B)=\sup(A)-\inf(A)$.
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