Exercices de la catégorie Analyse
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Analyse : liste des exercices
Exercice #85
Énoncé
On considère $E=\mathbb{K}[X]$ où $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Pour $P \in E$, on pose :\[\|P\| = \int_0^{+\infty}|P(t)|e^{-t}\text{d}t.\]
- Montrer que $\|\cdot\|$ est bien définie sur $E$ et qu'il s'agit d'une norme sur cet espace.
- Soit $n \in \mathbb{N}$. On note $P_n=X^n$. Calculer $\|P_n\|$.
Exercice #78
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Pour $A \in M_n(\mathbb{R})$, on note :\[ \|A\|=\sqrt{\text{Tr}\left({}^{t}\mkern-3mu AA\right)}.\]
- Montrer que l'application $\|\cdot\|$ est bien définie sur $M_n(\mathbb{R})$ et qu'il s'agit d'une norme sur cet espace.
- Montrer que $\|\cdot\|$ est de plus une norme d'algèbre sur $M_n(\mathbb{R})$ i.e. pour tout $A,B \in M_n(\mathbb{R})$ : \[ \|AB\|\leqslant \|A\|.\|B\| \]
Exercice #80
Énoncé
On considère l'application $N: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ définie, pour $(x,y) \in \mathbb{R}^2$, par :\[ N(x,y) = \max\left(\sqrt{x^2+y^2},|x-y|\right).\]
- Montrer que l'application $N$ est bien définie sur $\mathbb{R}^2$ et qu'il s'agit d'une norme sur cet espace.
- Dessiner la boule unité fermée de cette norme.
Exercice #81
Énoncé
On considère l'application $N: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ définie, pour $(x,y) \in \mathbb{R}^2$, par :\[ N(x,y) = \int_{0}^1\left|x+ty\right| \text{d}t.\]
- Montrer que l'application $N$ une norme sur $\mathbb{R}^2$.
- Pour $(x,y) \in \mathbb{R}^2$, remarquer que $N(x,y)=N(-x,-y)$ puis déterminer $N(x,y)$ une expression explicite (i.e. sans intégrale) de $N(x,y)$ en fonction de $x,y$.
Exercice #82 Norme matricielle subordonnée
Énoncé
On note $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Soit $n \in \mathbb{N}^*$ On munit $M_{n,1}(\mathbb{K})$ de la norme infinie $\|\cdot\|_{\infty}$ i.e. pour $X=\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix} \in M_{n,1}(\mathbb{K})$, $\displaystyle\|X\|_{\infty}= \max_{1\leqslant i \leqslant n}(|x_i|)$ et $S$ la sphère unité associée à cette norme.
On pose, pour $A \in M_n(\mathbb{K})$ :\[ N(A)=\sup_{X \in S}\left(\|AX\|\right).\]
On pose, pour $A \in M_n(\mathbb{K})$ :\[ N(A)=\sup_{X \in S}\left(\|AX\|\right).\]
- Montrer que l'application $N$ est bien définie sur $M_n(\mathbb{R})$ et que pour tout $Y \in M_{n,1}(\mathbb{K})$, $\|AY\|\leqslant N(A)\|Y\|$.
- Montrer que $N$ est une norme sur $M_n(\mathbb{K})$.
- Montrer que, pour tout $A \in M_n(\mathbb{K})$ : \[ N(A)= \sup_{1\leqslant i \leqslant n} \left(\sum_{j=1}^n |a_{ij}|\right). \]
Exercice #222
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé, $F$ un fermé non vide de $E$ et $x \in E$. Montrer que $d(x,F)=0$ si, et seulement si, $x \in F$.
Exercice #86
Énoncé
Soit $(E,\|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé et $d$ la distance associée à $\|\cdot\|$.
Soit $x_0,y_0 \in E$ et $r,s \in \mathbb{R}_+^*$. Montrer (ici $B(\cdot,\cdot)$ désigne une boule ouverte) :
Soit $x_0,y_0 \in E$ et $r,s \in \mathbb{R}_+^*$. Montrer (ici $B(\cdot,\cdot)$ désigne une boule ouverte) :
- $B(x_0,r)=B(y_0,s) \; \Leftrightarrow \; x_0=y_0 \text{ et } r=s$.
- $B(x_0,r)+B(y_0,s) = B(x_0+y_0,r+s)$.
- $B(x_0,r)\cap B(y_0,s) \neq \emptyset \; \Leftrightarrow \; d(x_0,y_0) < r+s$.
Indications
Faire des dessins dans $\mathbb{R}^2$ avec la norme euclidienne !
Exercice #113
Énoncé
On considère l'espace vectoriel $\ell^{\infty}$ des suites à valeurs réelles bornées muni de sa norme canonique $\|\cdot\|_{\infty}$. On considère l'application $N: \ell^{\infty} \rightarrow \mathbb{R}$ définie, pour $u=(u_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \ell^{\infty}$, par :\[ N(u)=\sup_{n \in \mathbb{N}}(|u_n|+|u_{2n}|).\]Montrer que $N$ est une norme sur $\ell^{\infty}$ et qu'elle est équivalente à $\|\cdot\|_{\infty}$.
Exercice #112
Énoncé
On considère les normes $\|\cdot\|_a$, $\|\cdot\|_b$ et $\|\cdot\|_c$ sur $\mathbb{R}[X]$ définies, pour $P=\sum_{k=0}^{+\infty}a_k X^k \in \mathbb{R}[X]$, par :\[ \|P\|_a=\sum_{k=0}^{+\infty}|a_k|,\;\|P\|_b= \sup_{k \in \mathbb{N}}(|a_k|) \text{ et } \|P\|_c=\sup_{t \in [-1,1]}(|P(t)|).\]Montrer que ces normes sont deux à deux non équivalentes.
Exercice #116
Énoncé
On considère l'espace vectoriel $\mathcal{F}_b([0,1],\mathbb{R})$ des fonctions bornées de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$ muni de sa norme canonique $\|\cdot\|_{\infty}$. On note $E=\{ f \in C^1([0,1],\mathbb{R}) \; | \; f(0)=0 \}$. On considère les applications $N,N':E\rightarrow \mathbb{R}$, définies, pour $f \in E$, par :\[ N(f)=\|f\|_{\infty}+\|f'\|_{\infty} \text{ et }N'(f)=\|f+f'\|_{\infty}.\]
- Montrer que $N$ et $N'$ sont bien définies sur $E$ et que ce sont des normes sur cet espace.
- Comparer les normes $N$ et $N'$.
Exercice #207
Énoncé
Déterminer si l'ensemble suivant est un ouvert. Pour ce faire, on s'efforcera d'utiliser seulement la définition d'un ouvert dans un espace vectoriel normé - même si d'autres méthodes pourraient permettre de conclure.\[ A=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; y > 1 \} \text{ dans }(\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_2).\]
Correction
Soit $(x_0,y_0) \in A$. Posons $r = \frac{y_0-1}{33}$. Comme $(x_0,y_0) \in A$, on a $y_0 > 1$ d'où $r > 0$ et $r < y_0-1$.
Montrons que $B_f((x_0,y_0),r) \subset A$. Soit $(x,y) \in B_f((x_0,y_0),r)$. On cherche à montrer que $(x,y) \in A$ i.e. $y>1$.
On a : \[ y_0-y \leqslant |y-y_0|\leqslant \|(x,y)-(x_0,y_0)\|_2\leqslant r \] donc \[ y \geqslant y_0-r > y_0-(y_0-1)=1. \] Par suite, $(x,y) \in A$. Ainsi, $B_f((x_0,y_0),r) \subset A$.
Il en résulte que $A$ est un ouvert de $(\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_2)$.
Montrons que $B_f((x_0,y_0),r) \subset A$. Soit $(x,y) \in B_f((x_0,y_0),r)$. On cherche à montrer que $(x,y) \in A$ i.e. $y>1$.
On a : \[ y_0-y \leqslant |y-y_0|\leqslant \|(x,y)-(x_0,y_0)\|_2\leqslant r \] donc \[ y \geqslant y_0-r > y_0-(y_0-1)=1. \] Par suite, $(x,y) \in A$. Ainsi, $B_f((x_0,y_0),r) \subset A$.
Il en résulte que $A$ est un ouvert de $(\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_2)$.
Exercice #208
Énoncé
Déterminer si l'ensemble suivant est un ouvert. Pour ce faire, on s'efforcera d'utiliser seulement la définition d'un ouvert dans un espace vectoriel normé - même si d'autres méthodes pourraient permettre de conclure.\[ B=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; x^3\leqslant y \}\text{ dans }(\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_2).\]
Correction
On considère le point $(0,0) \in B$. Soit $r >0$. Alors le point $(0,-r)$ appartient à $B_f((0,0),r)$ car : \[ \|(0,0)-(0,-r)\|_2 = \|(0,r)\|_2=r \leqslant r. \] Or on a $0^3=0 > -r$, donc $B_f((0,0),r)$ n'est pas inclus dans $B$ et ce, quelque soit $r > 0$.
Par suite, $B$ n'est pas un ouvert de $(\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_2)$.
Par suite, $B$ n'est pas un ouvert de $(\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_2)$.
Exercice #209
Énoncé
Déterminer si l'ensemble suivant est un ouvert. Pour ce faire, on s'efforcera d'utiliser seulement la définition d'un ouvert dans un espace vectoriel normé - même si d'autres méthodes pourraient permettre de conclure.\[ C=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; y < x\}\text{ dans }(\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_1).\]
Correction
Soit $(x_0,y_0) \in C$. Posons $r = \frac{x_0-y_0}{33}$. Comme $(x_0,y_0) \in C$, on a $x_0 > y_0$ d'où $r > 0$ et $r < x_0-y_0$.
Montrons que $B_f((x_0,y_0),r) \subset C$. Soit $(x,y) \in B_f((x_0,y_0),r)$. On cherche à montrer que $(x,y) \in C$ i.e. $y < x$.
On a : \[ (y-x) +(x_0-y_0) = x_0-x+y-y_0 \leqslant |x-x_0|+|y-y_0| = \|(x,y)-(x_0,y_0)\|_1 \leqslant r \] donc \[ x-y \geqslant (x_0-y_0) - r > 0. \] Par suite, $(x,y) \in C$. Ainsi, $B_f((x_0,y_0),r) \subset C$.
Il en résulte que $C$ est un ouvert de $(\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_1)$.
Montrons que $B_f((x_0,y_0),r) \subset C$. Soit $(x,y) \in B_f((x_0,y_0),r)$. On cherche à montrer que $(x,y) \in C$ i.e. $y < x$.
On a : \[ (y-x) +(x_0-y_0) = x_0-x+y-y_0 \leqslant |x-x_0|+|y-y_0| = \|(x,y)-(x_0,y_0)\|_1 \leqslant r \] donc \[ x-y \geqslant (x_0-y_0) - r > 0. \] Par suite, $(x,y) \in C$. Ainsi, $B_f((x_0,y_0),r) \subset C$.
Il en résulte que $C$ est un ouvert de $(\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_1)$.
Exercice #206
Énoncé
On considère l'espace $E=C([0,1],\mathbb{R})$. L'ensemble :\[ F = \{f \in E \; | \; \int_0^{\frac{1}{2}}f(t) \,\text{d}t \leqslant 0\}\]est-il un fermé de ...
- $(E,\|\cdot\|_{\infty})$ ?
- $(E,\|\cdot\|_1)$ ?
Exercice #210
Énoncé
Déterminer si l'ensemble suivant est un ouvert. Pour ce faire, on s'efforcera d'utiliser seulement la définition d'un ouvert dans un espace vectoriel normé - même si d'autres méthodes pourraient permettre de conclure.\[ D = \{ f \in C([0,1],\mathbb{R}) \; | \; \forall\,x \in [0,1], \; f(x) > 0 \}\text{ dans }(C([0,1],\mathbb{R}),\|\cdot\|_{\infty}).\]
Correction
Soit $f \in D$. La fonction $f$ est continue sur le segment $[0,1]$ donc elle y est bornée et y atteint ses bornes. Notons $m$ son minimum sur $[0,1]$.
Alors $B_f(f,\frac{m}{2}) \subset D$. En effet, si $g \in B_f(f,\frac{m}{2})$, alors, pour tout $x \in [0,1]$, \[ f(x)-g(x)\leqslant |g(x)-f(x)|\leqslant \|f-g\|_{\infty} \leqslant \frac{m}{2}. \] Ainsi, on a : \[ g(x) \geqslant f(x)-\frac{m}{2} > f(x)-m \geqslant 0 . \] Donc $g$ est strictement positive sur $[0,1]$.
Il en résulte que $D$ est un ouvert de $C([0,1],\mathbb{R})$ muni de la norme infinie.
Alors $B_f(f,\frac{m}{2}) \subset D$. En effet, si $g \in B_f(f,\frac{m}{2})$, alors, pour tout $x \in [0,1]$, \[ f(x)-g(x)\leqslant |g(x)-f(x)|\leqslant \|f-g\|_{\infty} \leqslant \frac{m}{2}. \] Ainsi, on a : \[ g(x) \geqslant f(x)-\frac{m}{2} > f(x)-m \geqslant 0 . \] Donc $g$ est strictement positive sur $[0,1]$.
Il en résulte que $D$ est un ouvert de $C([0,1],\mathbb{R})$ muni de la norme infinie.
Exercice #211
Énoncé
Déterminer si l'ensemble suivant est un ouvert. Pour ce faire, on s'efforcera d'utiliser seulement la définition d'un ouvert dans un espace vectoriel normé - même si d'autres méthodes pourraient permettre de conclure.\[ E = \{ f \in C(\mathbb{R},\mathbb{R}) \; | \; \forall\,x \in \mathbb{R}, \; f(x) > 0 \}\text{ dans }(C(\mathbb{R},\mathbb{R}),\|\cdot\|_{\infty}).\]
Correction
Considérons $f:t \mapsto e^{-t^2}$. Comme $f$ tend vers $0$ en $\pm\infty$, pour tout $r > 0$, on pourra trouver une fonction dans $B_f(f,r)$ dont le graphe passe en dessous de l'axe des abscisses pour $|t|$ assez grand; $E$ n'est donc pas un ouvert.
Plus précisément, étant donné $r > 0$, exhibons une fonction $g \in B_f(f,r)$ qui n'est pas dans $E$.
On note $M=\begin{cases} \sqrt{-\ln(r)}&\text{ si }r\leqslant 1
0&\text{ si }r > 1 \end{cases}$.
Alors, pour $|t| > M$, par stricte décroissance de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}_+$ : \[ f(t)-r=f(|t|)-r < f(M)-r= e^{-M^2}-r=\begin{cases} 0\leqslant 0&\text{ si }r\leqslant 1
1-r \leqslant 0&\text{ si }r > 1 \end{cases}. \] Donc la fonction $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, définie, pour $t \in \mathbb{R}$, par $g(t)=f(t)-r$ appartient à la boule $B_f(f,r)$ car $\|f-g\|_{\infty}=r$ et n'est pas strictement positive car, d'après ce qui précéde, pour tout $|t| > M$, $g(t) < 0$. D'où $g \notin E$.
Plus précisément, étant donné $r > 0$, exhibons une fonction $g \in B_f(f,r)$ qui n'est pas dans $E$.
On note $M=\begin{cases} \sqrt{-\ln(r)}&\text{ si }r\leqslant 1
0&\text{ si }r > 1 \end{cases}$.
Alors, pour $|t| > M$, par stricte décroissance de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}_+$ : \[ f(t)-r=f(|t|)-r < f(M)-r= e^{-M^2}-r=\begin{cases} 0\leqslant 0&\text{ si }r\leqslant 1
1-r \leqslant 0&\text{ si }r > 1 \end{cases}. \] Donc la fonction $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, définie, pour $t \in \mathbb{R}$, par $g(t)=f(t)-r$ appartient à la boule $B_f(f,r)$ car $\|f-g\|_{\infty}=r$ et n'est pas strictement positive car, d'après ce qui précéde, pour tout $|t| > M$, $g(t) < 0$. D'où $g \notin E$.
Exercice #212
Énoncé
Déterminer si l'ensemble suivant est un ouvert. Pour ce faire, on s'efforcera d'utiliser seulement la définition d'un ouvert dans un espace vectoriel normé - même si d'autres méthodes pourraient permettre de conclure.\[ F = \{ u \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \; | \; u \text{ converge vers }33 \}\text{ dans }(\ell^{\infty},\|\cdot\|_{\infty})\] où $\ell^{\infty}$ est l'ensemble des suites à valeurs réelles bornées.
Correction
La suite $c=(c_n)_{n \in \mathbb{N}}$ constante en $33$ appartient à $F$. Soit $r > 0$. On considère la suite $u=(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}$ par : \[ u_n = 33+(-1)^nr \] Alors :
- $\|u\|_{\infty}=33+r$ donc $u \in \ell^{\infty}$.
- $\|u-c\|_{\infty}=r$ donc $u \in B_f(c,r)$.
- $u$ ne converge pas (elle possède $2$ valeurs d'adhérence distinctes $33-r$ et $33+r$) donc $u \notin F$.
Exercice #205
Énoncé
On considère l'espace $E=C([0,1],\mathbb{R})$. L'ensemble :\[ U = \{f \in E \; | \; f(0) > 0\}\]est-il un ouvert de ...
- $(E,\|\cdot\|_{\infty})$ ?
- $(E,\|\cdot\|_1)$ ?
Exercice #225
Énoncé
Déterminer si l'ensemble suivant est un ouvert / un fermé de $\mathbb{R}^2$ puis calculer son intérieur et son adhérence.\[ A=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; 2x+y > 1 \}.\]
Exercice #226
Énoncé
Déterminer si l'ensemble suivant est un ouvert / un fermé de $\mathbb{R}^3$ puis calculer son intérieur et son adhérence.\[ A=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \; | \; x^2+y^2+z^2 \leqslant 4 \}.\]
Exercice #228
Énoncé
Déterminer si l'ensemble suivant est un ouvert / un fermé de $\mathbb{R}^2$ puis calculer son intérieur et son adhérence.\[ A=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; |x-1|>0 \}.\]
Exercice #223
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$.
- On suppose que $F$ contient un ouvert non vide de $E$. Montrer que $F=E$.
- On suppose que $F \neq E$. Déterminer l'intérieur de $F$.
Exercice #227
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé et $A$ une partie convexe de $E$. Montrer que l'adhérence et l'intérieur de $A$ sont des parties convexes de $E$.
Exercice #229
Énoncé
Soit $E=C([0,1],\mathbb{R})$. On pose, pour $f \in E$,\[ \varphi(f)=f(1)-f(0)\]
- Montrer que $\varphi$ est continue de $(E,\|\cdot\|_{\infty})$ dans $(\mathbb{R},|\cdot|)$ mais pas de $(E,\|\cdot\|_{1})$ dans $(\mathbb{R},|\cdot|)$.
- Déterminer la norme subordonnée (d'opérateur) de $\varphi$ induite par $\|\|_{\infty}$ sur $E$ et $|\cdot|$ sur $\mathbb{R}$.
- Montrer que $F=\{f \in E \; | \; f(0)=f(1)\}$ est-il un fermé de $(E,\|\cdot\|_{\infty})$ ? de $(E,\|\cdot\|_{1})$ ?
Exercice #230
Énoncé
On considère l'espace vectoriel $\ell^{\infty}$ des suites à valeurs réelles bornées muni de sa norme canonique $\|\cdot\|_{\infty}$. On pose, pour $u=(u_{n})_{n \in \mathbb{N}} \in \ell^{\infty}$, $\varphi(u)=(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ où, pour tout $n \in \mathbb{N}$ :\[ v_n=u_{n+1}-u_n.\]
- Montrer que l'application $\varphi$ est continue de $(\ell^{\infty},\|\cdot\|_{\infty})$ dans lui-même.
- Déterminer la norme subordonnée (d'opérateur) de $\varphi$ induite par $\|\cdot\|_{\infty}$ au départ et à l'arrivée.
Exercice #231
Énoncé
Soit $E=C([0,1],\mathbb{R})$ muni de la norme $\|\cdot\|_1$ i.e. pour $f \in E$, $\|f\|_1=\int_0^1 |f(t)| \text{d}t$. Pour $f \in E$, on pose $\varphi(f)=F$ où $F$ est l'unique primitive de $f$ qui s'annule en $0$.
- Montrer que $\varphi$ est continue de $(E,\|\cdot\|_{1})$ dans lui-même.
- Déterminer la norme subordonnée (d'opérateur) de $\varphi$ induite par $\|\cdot\|_{1}$ sur $E$ au départ et à l'arrivée.
Exercice #251
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé et $A, B \subset E$. Montrer que si $A$ et $B$ sont des parties compactes de $E$, alors \[ A+B = \{a+b \; | \; a\in A,\; b \in B\} \] est une partie compacte de $E$.
Exercice #254
Énoncé
L'ensemble suivant est-il une partie compacte de $\mathbb{R}^2$ ? \[ C = \left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; x^2-xy+y^2 \leqslant 4 \right\rbrace. \]
Exercice #255
Énoncé
L'ensemble suivant est-il une partie compacte de $\mathbb{R}^2$ ? \[ C = \left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; x^3+y^3 = 1 \right\rbrace. \]
Exercice #253
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé, $U$ une partie ouverte de $E$ et $C$ une partie compacte non vide de $E$. Montrer que si $C \subset U$, alors il existe $r>0$ tel que, pour tout $x \in C$ : \[ B(x,r)\subset U. \]
Exercice #260
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé de dimension $n \in \mathbb{N}^*$ et $f \in \mathcal{L}(E)$. Montrer qu'il existe $x_0 \in E$ unitaire tel que : \[ {\left\vert\kern-0.25ex\left\vert\kern-0.25ex\left\vert f \right\vert\kern-0.25ex\right\vert\kern-0.25ex\right\vert} = \|f(x_0)\| \] où ${\left\vert\kern-0.25ex\left\vert\kern-0.25ex\left\vert \cdot \right\vert\kern-0.25ex\right\vert\kern-0.25ex\right\vert}$ est la norme subordonnée associé à $\|\cdot\|$ au départ et à l'arrivée.
Exercice #252
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé, $C\subset E$ un compact non vide et $f$ une application de $C$ dans $C$ telle que, pour tous $x,y \in C$ avec $x \neq y$ : \[ \|f(x)-f(y)\|< \|x-y\|. \]
- Montrer que $f$ admet un unique point fixe i.e. $\exists !\, x_0 \in C$, $f(x_0)=x_0$.
- Soit $x \in C$. Montrer que la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que $u_0=x$ et, pour $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=f(u_n)$ converge et déterminer sa limite.
Exercice #261
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $E=\mathbb{R}_n[X]$. Montrer qu'il existe $C \in \mathbb{R}_+^*$ tel que, pour tout $P \in E$ : \[ \int_0^{+\infty}|P(t)|e^{-t}\text{d}t \leqslant c\, .\max_{0 \leqslant k \leqslant n}\left(|P^{(k)}(1)|\right). \]
Exercice #256
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé et $A,B$ des parties connexes par arcs de $E$.
- Montrer que $A\times B$ est connexe par arcs dans $E\times E$ muni de la norme produit.
- Montrer que $A+B=\{a+b \; | \; a \in A,\, b \in B\}$ est connexe par arcs.
Exercice #257
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel normé, $n\geqslant 2$ un entier et $A_1,...,A_n$ des parties connexes par arcs de $E$ telles que, pour tout $i \in \;[\!\!\![\; 1,n-1 \;]\!\!\!]\;$, $A_i \cap A_{i+1} \neq \emptyset$.
Montrer que $\displaystyle A=\bigcup_{i=1}^n A_i$ est connexe par arcs.
Montrer que $\displaystyle A=\bigcup_{i=1}^n A_i$ est connexe par arcs.
Exercice #259
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $\mathcal{N}=\{M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \; | \; \exists\,p \in \mathbb{N}, \; M^p= 0_n\}$ l'ensemble des matrices nilpotentes de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
Montrer que $\mathcal{N}$ est une partie connexe par arcs de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
Montrer que $\mathcal{N}$ est une partie connexe par arcs de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
Exercice #258 $\text{GL}_n(\mathbb{C})$ est connexe par arcs
Énoncé
- Soit $k \in \mathbb{N}^*$ et $z_1,...,z_k \in \mathbb{C}$. Montrer que $\mathbb{C}\smallsetminus\{z_1,...,z_k\}$ est connexe par arcs.
- En s'appuyant sur l'application $t\mapsto\text{det}((1-t)M+tN)$ avec $M,N \in \text{GL}_n(\mathbb{C})$, en déduire que $\text{GL}_n(\mathbb{C})$ est connexe par arcs.
Exercice #343
Énoncé
On considère la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}$ et $x \in \mathbb{R}_+$ : \[ f_n(x) = e^{-nx}\sin(nx). \]
- Montrer que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge simplement sur $\mathbb{R}_+$.
- Étudier la convergence uniforme de $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sur $[a,+\infty[$ avec $a>0$ puis sur $\mathbb{R}_+$.
Exercice #344
Énoncé
Étudier les convergence simple et uniforme sur $[0,1]$ de la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $t \in [0,1]$ : \[ f_n(t) = \begin{cases} t^n\ln(t)&\text{ si }x>0 \\ 0&\text{ si }x=0. \end{cases} \]
Exercice #345
Énoncé
On considère la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}$ et $x \in \mathbb{R}_+$ : \[ f_n(x) = \frac{1}{(1+x^2)^n}. \]
- Montrer que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge simplement sur $\mathbb{R}_+$.
- Étudier la convergence uniforme de $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sur $[a,+\infty[$ avec $a>0$ puis sur $\mathbb{R}_+$.
Exercice #346
Énoncé
Étudier les convergences simple, uniforme et normale sur $\mathbb{R}_+$ de la série de fonctions $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1}f_n$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $t \in \mathbb{R}_+$ : \[ f_n(t) = \frac{(-1)^n}{n+x}. \]
Exercice #348
Énoncé
On considère la série de fonctions $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} f_n$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in \mathbb{R}_+$ : \[ f_n(x) = \frac{1}{n+n^2x}. \]
- Montrer que $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1}f_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}_+^*$. Est-ce toujours vrai sur $\mathbb{R}_+$ ?
- Étudier la convergence normale et uniforme de $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} f_n$ sur $[a,+\infty[$ avec $a>0$ puis sur $\mathbb{R}_+^*$.
Exercice #347
Énoncé
Soit $(\alpha_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite décroissante à valeurs dans $\mathbb{R}_+$. On considère la série de fonctions $\displaystyle \sum f_n$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}$ et $t \in [0,1]$ : \[ f_n(t) = \alpha_nt^n(1-t). \]
- Montrer que $\sum f_n$ converge simplement sur $[0,1]$.
- Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que $\sum f_n$ converge normalement sur $[0,1]$.
- Montrer que $\sum f_n$ converge uniformément sur $[0,1]$ si, et seulement si, $(\alpha_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $0$.
Exercice #349
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle f : t \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{\ln(nt)}$.
- Montrer que $f$ est définie et continue sur $]1,+\infty[$.
- Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $1$.
- Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $]1,+\infty[$.
- Dresser le tableau de variations de $f$.
Exercice #351
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle f : x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(x+n).n!}$.
- Montrer que $f$ est définie et de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$.
- Dresser le tableau des variations de $f$ sur $]0,+\infty[$ en précisant les limites de $f$ aux bornes de cet intervalle.
- Montrer que, pour tout $x \in ]0,+\infty[$ : \[ xf(x)-f(x+1)=\frac{1}{e}, \]
- En déduire des équivalents simples de $f$ en $0^+$ et en $+\infty$.
Exercice #350
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle f : x \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n\sin(nx)}{n}$.
- Montrer que $f$ est définie et de classe $C^1$ sur $]-1,1[$.
- Montrer que, pour tout $x \in ]-1,1[$ : \[ f(x)=\text{arctan}\left(\frac{x\sin(x)}{1-x\cos(x)}\right). \]
Exercice #353
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle f : x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}e^{-x\sqrt{n}}$.
- Montrer que $f$ est définie et de classe $C^{\infty}$ sur $]0,+\infty[$.
- Dresser le tableau des variations de $f$ sur $]0,+\infty[$ en précisant la limite de $f$ en $+\infty$.
- Grâce à une comparaison série/intégrale, déterminer un équivalent de $f$ en $0^+$.
Exercice #354
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle f : x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{x(x+1)...(x+n)}$.
- Montrer que $f$ est définie et continue sur $]0,+\infty[$ puis déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
- Pour $x \in ]0,+\infty[$, déterminer une relation entre $f(x+1)$ et $f(x)$ puis en déduire des équivalents simples de $f$ en $+\infty$ et $0^+$.
Exercice #352
Énoncé
Montrer que la fonction $\displaystyle \eta: s \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^s}$ est définie et de classe $C^{\infty}$ sur $]0,+\infty[$.
Exercice #364
Énoncé
Déterminer le rayon de convergence de la série entière : \[ \sum_{n \geqslant 2} \frac{\sqrt{n}}{\ln(n)}z^{2n}. \]
Exercice #366
Énoncé
Déterminer le rayon de convergence de la série entière : \[ \sum e^{-\sqrt{n}}z^{n}. \]
Exercice #367
Énoncé
Déterminer le rayon de convergence de la série entière : \[ \sum \frac{8^n(n+\sqrt{n})}{n^2+4}z^{3n}. \]
Exercice #368
Énoncé
Déterminer le rayon de convergence de la série entière : \[ \sum \frac{\cos(n)}{n}z^{n}. \]
Exercice #365
Énoncé
Déterminer le rayon de convergence de la série entière : \[ \sum \ln(n!)^2z^{n}. \]
Exercice #369
Énoncé
Soit $\displaystyle \sum a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence noté $R$. Déterminer la rayon de convergence de la série entière $\displaystyle \sum a_n^2 z^n$.
Exercice #374
Énoncé
On considère la série entière $\displaystyle \sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{\sqrt{n}}z^n$ de somme notée $S$.
- Déterminer le rayon de convergence $R$ de cette série entière.
- Étudier les continuité/limites de $S$ aux bornes de l'intervalle $]-R,R[$.
Exercice #370
Énoncé
Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tel que : \[ \begin{cases} a_0=1 \text{ et }a_1=0 \\ a_{n+2}=4a_{n+1}-4a_n\text{ pour }n \in \mathbb{N} \end{cases} \] Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum a_n z^n$ puis exprimer sa somme sur l'intervalle $]-R,R[$ à l'aide de fonctions usuelles.
Exercice #372
Énoncé
On considère la série entière $\displaystyle \sum_{n\geqslant 1}\frac{\cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right)}{n}z^n$ de somme notée $S$.
- Déterminer le rayon de convergence $R$ de cette série entière.
- Exprimes $S$ à l'aide de fonctions usuelles sur $]-R,R[$.
Exercice #371
Énoncé
Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose :\[ a_n=\text{Card}\left\lbrace (p,q) \in \mathbb{N}^2 \; | \; p+3q = n \right\rbrace.\] Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum a_n z^n$ puis exprimer sa somme sur l'intervalle $]-R,R[$ à l'aide de fonctions usuelles.
Exercice #373
Énoncé
Soit $p \in \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathcal{M}_p(\mathbb{C})$. On considère la série entière $\sum \text{Tr}(A^n)z^n$.
Déterminer son rayon de convergence $R$ et exprimer sa somme $S$ sur le disque ouvert de convergence en fonction du polynôme caractéristique $\chi_A$ de $A$.
Déterminer son rayon de convergence $R$ et exprimer sa somme $S$ sur le disque ouvert de convergence en fonction du polynôme caractéristique $\chi_A$ de $A$.
Exercice #376
Énoncé
Montrer que la fonction $\displaystyle f: x \mapsto \begin{cases} \frac{1-\cos(2x)}{x^2}&\text{ si }x \in \mathbb{R}^* \\ 2&\text{ si }x=0 \end{cases}$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$.
Exercice #378
Énoncé
Montrer que la fonction $f$ suivante est développable en série entière et déterminer son développement : \[ f:x \mapsto \ln(x^2-6x+8) \]
Exercice #379
Énoncé
Montrer que la fonction $f$ suivante est développable en série entière et déterminer son développement : \[ f:x \mapsto \int_0^x \text{sh}(t^3)\text{d}t. \]
Exercice #380
Énoncé
On considère la fonction $f:x \mapsto \text{arcsin}(x)^2$.
- Déterminer une relation reliant $f''$ et $f'$ sur $]-1,1[$.
- En déduire le développement en série entière de $f$.
Exercice #400
Énoncé
On pose, pour $n \in \mathbb{N}$ :\[ I_n = \int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan^n(t)\text{d}t.\]
- Calculer la limite de la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$.
- Pour $n \in \mathbb{N}$, établir une relation entre $I_n$ et $I_{n+2}$ puis en déduire une expression de $I_{2n}$ et de $I_{2n+1}$ sous forme de somme.
- Application : justifier la convergence et calculer les sommes des séries suivantes \[ \sum \frac{(-1)^n}{2n+1} \text{ et }\sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n-1}}{n}. \]
Exercice #401
Énoncé
Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose :\[ I_n = \int_0^{+\infty}\frac{1}{1+t^2(1+t^n)}\text{d}t.\]
- Montrer que l'intégrale $I_n$ est convergente pour tout $n \in \mathbb{N}$.
- Déterminer la limite de la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$.
Exercice #402
Énoncé
Soit $f:\mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue et bornée sur $\mathbb{R}_+$. Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose :\[ I_n = \int_0^{+\infty}\frac{nf(t)}{1+n^2t^2}\text{d}t.\]
- Montrer que l'intégrale $I_n$ est convergente pour tout $n \in \mathbb{N}$.
- Déterminer la limite de la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$.
Exercice #407
Énoncé
Montrer l'égalité :\[ \int_0^1 \frac{\ln(t)^2}{1+t^2}\text{d}t = 2\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^3}.\]
Exercice #408
Énoncé
Montrer l'égalité :\[ \int_0^1 \frac{1}{t^t}\text{d}t = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^n}.\]
Exercice #421
Énoncé
Montrer que la famille $\displaystyle \left(\frac{1}{(n+m^2)(n+m^2+1)}\right)_{(n,m) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}^*}$ est sommable et déterminer sa somme.
Exercice #422
Énoncé
Montrer que la famille $\displaystyle \left(\frac{n+m}{3^{n+m}}\right)_{(n,m) \in \mathbb{N}^2}$ est sommable et déterminer sa somme.
Exercice #420
Énoncé
Soit $\alpha \in \mathbb{R}$. On considère la famille $\displaystyle \left(\frac{1}{(n^2+m^2)^{\alpha}}\right)_{(n,m)\in (\mathbb{N}^*)^2}$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur la valeur de $\alpha$ pour que cette famille soit sommable.
Exercice #334
Énoncé
On considère la série : \[ \sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{n+\sqrt{n}} \]
- Montrer que cette série est divergente et déterminer un équivalent simple (noté $v_n$ dans la suite) de sa somme partielle $S_n$.
- Montrer qu'il existe $\alpha \in \mathbb{R}$ tel que : \[ S_n-v_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}\alpha. \] On rappelle que $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} -\ln(n) \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} \gamma $ où $\gamma$ est la constante d'Euler.
Exercice #332
Énoncé
Déterminer la nature de la série : \[ \sum_{n \geqslant 1}\frac{1}{n^{(1+\frac{1}{n})}} \]
Exercice #331
Énoncé
Déterminer la nature de la série : \[ \sum_{n \geqslant 1}\frac{(-1)^n}{\sqrt[n]{n!}} \]
Exercice #415
Énoncé
Déterminer un équivalent simple de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[ u_n=\frac{\ln(n+1)-\ln(n)}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}.\]
Exercice #416
Énoncé
Déterminer un équivalent simple de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}$, par :\[ u_n=\frac{\ln(1+n^3)}{2n+\sqrt{n}+1}.\]
Exercice #418
Énoncé
Déterminer un équivalent simple de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[ u_n=n^2\left(1+\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right)^n.\]
Exercice #414
Énoncé
On considère la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}$, par :\[ u_n = \sum_{k=0}^n k!.\]Montrer que $u_n\underset{n \rightarrow +\infty}{\sim}n!$.
Exercice #292
Énoncé
Soit $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite à valeurs dans $\mathbb{R}_+^*$ telle que :\[\frac{u_{n+1}}{u_n}\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\]Montrer que $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ converge et déterminer sa limite.
Exercice #290
Énoncé
Soit $(H_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ la suite définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\]
- Montrer que, pour tout entier $n$ non nul, $H_{2n}-H_n \geqslant \frac{1}{2}$. En déduire que $H_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty$.
- Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite à valeurs réelles. Montrer que si $n(u_{n+1}-u_n)\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty$, alors $u_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty$.
Exercice #274
Énoncé
Déterminer la limite, si elle existe, de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}$, par :\[ u_n=\frac{n!}{n^n}\]
Exercice #276
Énoncé
Déterminer la limite, si elle existe, de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[ u_n=\left(1+\frac{x}{n}\right)^n \text{ où }x \in \mathbb{R}\]
Exercice #277
Énoncé
Déterminer la limite, si elle existe, de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[ u_n=\sqrt[n]{n}\]
Exercice #278
Énoncé
Montrer que la suite $(\cos(n))_{n \in \mathbb{N}}$ diverge.
Exercice #306
Énoncé
On considère la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[ \begin{cases} u_0=1& \\ u_{n+1}= \sqrt{u_n+1}&\text{ pour }n \in \mathbb{N} \end{cases}\]
- Montrer que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est bien définie.
- Déterminer la nature de $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$.
Exercice #287
Énoncé
Déterminer une expression explicite du terme général de la suite récurrente double $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[\begin{cases}u_0=1,\; u_1=2& \\u_{n+2}=u_{n+1}-u_n& \forall\;n \in \mathbb{N}.\end{cases}\]
Exercice #288
Énoncé
Déterminer une expression explicite du terme général de la suite récurrente double $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[\begin{cases}u_0=1,\; u_1=-1& \\2u_{n+2}=3u_{n+1}-u_n& \forall\;n \in \mathbb{N}.\end{cases}\]
Exercice #284
Énoncé
Déterminer une expression explicite du terme général de la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[\begin{cases}u_0=0 \\u_{n+1}=\frac{u_n+1}{2}& \forall\;n \in \mathbb{N}.\end{cases}\]
Exercice #280
Énoncé
Soit $\theta \in ]0,\pi/2[$. Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose :\[s_n=2^n\sin\left(\frac{\theta}{2^n}\right) \text{ et }t_n=2^n\tan\left(\frac{\theta}{2^n}\right)\]Montrer que les suites $(s_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(t_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sont adjacentes. En déduire qu'elles convergent et déterminer leurs limites.
Exercice #281
Énoncé
Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ les suites définies, pour $n \in \mathbb{N}$,par :\[u_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\text{ et }v_n=u_n+\frac{1}{n.n!}\]
- Montrer que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sont des suites adjacentes.
On admettra dans la suite que leur limite commune est le nombre $e$. - Montrer par l'absurde que $e$ est irrationnel.
Exercice #5
Énoncé
- Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}_+$, on a $\sin(x)\leqslant x$.
- Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\cos(x)\geqslant 1-\frac{x^2}{2}$.
Exercice #7
Énoncé
- Soit $p,q$ des réels. Écrire, lorsque l'expression est définie, $\dfrac{\cos(q)-\cos(p)}{\sin(p)+\sin(q)}$ sous la forme $\tan(?)$ avec $?$ à déterminer.
- En déduire $\tan(\frac{\pi}{24})$.
Exercice #10
Énoncé
Résoudre les équations suivantes d'inconnues $x \in \mathbb{R}$ :
- $3\cos(x)-\sqrt{3}\sin(x)=\sqrt{6}$.
- $\cos^4(x)+\sin^4(x)=1$.
Exercice #9
Énoncé
On considère la fonction $f:x \mapsto \cos^3(x)+\sin^3(x)$
- Étudier $f$ sur $\mathbb{R}$
- Résoudre l'équation $f(x)=1$.
Exercice #213
Énoncé
Déterminer pour quelles valeurs de l'inconnue $x \in \mathbb{R}$ l'équation suivante est valable puis la résoudre :\[\text{arccos}(x)=\text{arcsin}(2x).\]
Exercice #217
Énoncé
Simplifier, pour $x \in ]-1,1[$ :\[\cos(2\text{arcsin}(x))\]
Exercice #221
Énoncé
- Montrer que la fonction de la variable réelle $\displaystyle x \mapsto \text{arccos}\left(\frac{1}{\text{ch}(x)}\right)$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.
- Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, \[ |\text{arctan}(\text{sh}(x))|=\text{arccos}\left(\frac{1}{\text{ch}(x)}\right). \]
Exercice #214
Énoncé
Soit $x \in \mathbb{R}$. Simplifier :\[\cos(2\text{arctan}(x))\]
Exercice #221
Énoncé
- Montrer que la fonction de la variable réelle $\displaystyle x \mapsto \text{arccos}\left(\frac{1}{\text{ch}(x)}\right)$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.
- Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, \[ |\text{arctan}(\text{sh}(x))|=\text{arccos}\left(\frac{1}{\text{ch}(x)}\right). \]
Exercice #220
Énoncé
- Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}_+$, $\text{sh}(x)\geqslant x$
- Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\text{ch}(x)\geqslant 1+\frac{x^2}{2}$
Exercice #185
Énoncé
Étudier la fonction suivante sur son domaine de définition :\[f: x \mapsto \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\]On pensera à étudier la parité de la fonction.
Exercice #196
Énoncé
Étudier la fonction $f$ puis tracer l'allure de son graphe sur son domaine de définition où :\[ f:x \mapsto \sqrt{4x^2+9}.\]Lors de cette étude, on mettra en évidence des asymptotes obliques en $\pm \infty$.
Exercice #197
Énoncé
Étudier la fonction $f$ puis tracer l'allure de son graphe sur son domaine de définition :\[ f:x \mapsto \frac{x^2+1}{x+1}.\]Lors de cette étude, on mettra en évidence des asymptotes verticales et obliques.
Exercice #198
Énoncé
Étudier la fonction $f$ puis tracer l'allure de son graphe sur son domaine de définition :\[ f:x \mapsto \ln(e^{2x}-1).\]Lors de cette étude, on mettra en évidence des asymptotes verticales et obliques.
Exercice #187
Énoncé
Montrer que pour tout entier $n \geqslant 2$ :\[ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \leqslant e \leqslant \left(1-\frac{1}{n}\right)^{-n}\]
Exercice #188
Énoncé
Montrer que pour tout $x \in ]0,1[$ :\[x^x(1-x)^{1-x}\geqslant \frac{1}{2}\]
Exercice #193
Énoncé
Soit $f,g$ des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Montrer l'implication suivante :
Si $f$ et $g$ sont bornées sur $\mathbb{R}$ alors $f+g$ est bornée sur $\mathbb{R}$.
Que dire de l'implication réciproque ?
Si $f$ et $g$ sont bornées sur $\mathbb{R}$ alors $f+g$ est bornée sur $\mathbb{R}$.
Que dire de l'implication réciproque ?
Exercice #194
Énoncé
Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ et $a,b \in \mathbb{N}^*$ premiers entre eux. Montrer que si $f$ est $a$-périodique sur $\mathbb{R}$ et $b$-périodique alors $f$ est $1$-périodique.
Exercice #195
Énoncé
Soit $f$ une fonction bijective de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Montrer que si $f$ est impaire, alors sa réciproque $f^{-1}$ l'est aussi.
Exercice #202
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle f:x \mapsto \frac{\ln(1+x^2)}{x^2}$. Déterminer le domaine de dérivabilité de $f$, calculer $f'$ sur ce domaine puis déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ en $1$.
Exercice #203
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle f:x \mapsto e^{\frac{1}{x+1}+x^2-\cos(\sin(x))}$. Déterminer le domaine de dérivabilité de $f$, calculer $f'$ sur ce domaine puis déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ en $0$.
Exercice #204
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle f:x \mapsto \tan\left(\frac{x^2+\frac{\pi}{6}}{x^2+1}\right)$. Déterminer le domaine de dérivabilité de $f$, calculer $f'$ sur ce domaine puis déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ en $0$.
Exercice #190
Énoncé
Déterminer, pour $n \in \mathbb{N}$, la dérivée $n$-ième de la fonction :\[f: x \mapsto (x^2+1)e^x.\]après avoir justifié le caractère $C^{\infty}$ de $f$ sur son domaine de définition.
Exercice #192
Énoncé
Déterminer, pour $n \in \mathbb{N}$, la dérivée $n$-ième de la fonction :\[f: x \mapsto \frac{1}{1-x^2}.\]après avoir justifié le caractère $C^{\infty}$ de $f$ sur son domaine de définition.
Exercice #358
Énoncé
Soit $f :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ telle que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pm \infty}f(x)=+\infty$. Montrer qu'il existe $c \in \mathbb{R}$ tel que $f'(c)=0$.
Exercice #362
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}$ et $p: \rightarrow \mathbb{R}$ telle que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $p(x)=(x^2-1)^n$.
- Justifier que $p$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$. Dans la suite, on pose : \[ f=p^{(n)}. \]
- Montrer que $f$ est une fonction polynomiale de degré $n$ puis calculer les valeurs $f(\pm 1)$.
- Montrer que $f$ possède exactement $n$ racines distinctes qui sont toutes dans $]-1,1[$.
Exercice #360
Énoncé
Soit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$. Montrer :
$f$ est lipschitzienne sur $\mathbb{R}$ si, et seulement si, $f'$ est bornée sur $\mathbb{R}$.
Exercice #361
Énoncé
Montrer que $\cos$ est lipschitzienne sur $\mathbb{R}$.
Exercice #189
Énoncé
Montrer que la fonction $f:\mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}$ telle que, pour tout $x \in \mathbb{R}_+$ :\[f(x)=\begin{cases} x^2\ln(x)&\text{ si }x>0 \\ 0 & \text{ si }x=0 \end{cases}\]est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$.
Exercice #11
Énoncé
Montrer que pour tout $x \in [0,\frac{\pi}{2}]$ ;\[ \frac{2}{\pi}x\leqslant \sin(x) \leqslant x\]
Exercice #13
Énoncé
Soit $p,q \in ]1,+\infty[$ tels que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Montrer que, pour tous $x,y \in \mathbb{R}_+$ :\[ xy\leqslant \frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}.\]
Exercice #14
Énoncé
Montrer que pour tous $x,y,a,b \in \mathbb{R}_+^*$, on a l'inégalité suivante :\[(x+y)\ln\left(\frac{x+y}{a+b}\right)\leqslant x\ln\left(\frac{x}{a}\right)+y\ln\left(\frac{y}{b}\right)\]
Exercice #12
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que pour tous $x_1,...,x_n \in \mathbb{R}$ :\[ \left(\sum_{k=1}^n x_k\right)^2\leqslant n \sum_{k=1}^n x_k^2.\]
Exercice #410
Énoncé
Déterminer un équivalent simple de $f$ en $+\infty$ où :\[ f: x \mapsto \sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}.\]
Exercice #411
Énoncé
Déterminer un équivalent simple de $f$ en $+\infty$ où :\[f:x \mapsto \frac{\ln(x+1)}{\ln(x)}-1.\]
Exercice #412
Énoncé
Déterminer un équivalent simple de $f$ en $0$ où :\[ f:x \mapsto \sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}.\]
Exercice #413
Énoncé
Soit $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ une fonction décroissante telle que :\[f(x)+f(x+1)\underset{x \rightarrow +\infty}{\sim}\frac{1}{x}.\]Étudier la limite en $+\infty$ de $f$ puis déterminer un équivalent simple de $f$ en $+\infty$.
Exercice #430
Énoncé
Déterminer un développement limité de $f$ en $0$ à l'ordre $n$ où :\[f(x)= \frac{\ln(1+x)}{(1+x^2)}\text{ avec }n=3.\]
Exercice #431
Énoncé
Déterminer un développement limité de $f$ en $0$ à l'ordre $n$ où :\[f(x)= (1+x)^{\frac{1}{x}}\text{ avec }n=3.\]
Exercice #432
Énoncé
Déterminer un développement limité de $f$ en $0$ à l'ordre $n$ où :\[f(x)= e^{3x}\sin(2x)\text{ avec }n=4.\]
Exercice #439
Énoncé
Déterminer un développement limité de $f$ en $0$ à l'ordre $n$ où :\[f(x)= \ln(1+\sin(x))\text{ avec }n=3.\]
Exercice #433
Énoncé
- Montrer que $f$ la fonction de $\mathbb{R}$ dans lui-même définie par :\[f(x)=\begin{cases} 0&\text{ si }x=0 \\ x^4\sin\left(\frac{1}{x}\right)&\text{ si }x\neq 0 \end{cases}\]est dérivable deux fois en $0$ mais pas de classe $C^2$ en $0$.
- Une fonction qui admet un développement limité à un ordre $n$ en $0$ est-elle de classe $C^n$ en $0$ ?
Exercice #434
Énoncé
Soit $a \in \mathbb{R}$ et $f_a:x \mapsto \text{arctan}\left(\frac{x+a}{1-ax}\right)$.
- Montrer que $f$ est de classe $C^{\infty}$ sur son domaine de définition et déterminer $f_a'$.
- Pour $n \in \mathbb{N}$, déterminer un développement limité de $f_a'$ à l'ordre $2n-1$ en $0$ puis de $f_a$ à l'ordre $2n$ en $0$.
- Pour $k \in \mathbb{N}$, déterminer $f_a^{(k)}(0)$.
Exercice #437
Énoncé
Soit $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ définie, pour $x \in \mathbb{R}$, par $f(x)=xe^{x^2}$. Montrer que $f$ est bijective, que $f^{-1}$ admet un développement limité à l'ordre $n \in \mathbb{N}$ en $0$ puis en déterminer un pour $n=5$.
Exercice #435
Énoncé
Soit $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la fonction :\[f:x \mapsto \begin{cases} 0&\text{ si }x=0 \\ e^{-\frac{1}{x^2}}&\text{ si }x \neq 0 \end{cases}\]
- Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ puis déterminer la limite $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^n}$ pour $n \in \mathbb{N}$.
- En déduire un développement limité de $f$ en $0$ à l'ordre $n \in \mathbb{N}$. Justifier qu'une fonction qui admet un développement limité nul (i.e. la partie polynomiale du DL est nulle) en $0$ à tout ordre n'est pas nécessairement la fonction nulle.
- Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, il existe un polynôme $P_n$ tel quepour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$, $f^{(n)}(x)=P_n\left(\frac{1}{x}\right)f(x)$.
En déduire que $f$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$.
Exercice #436
Énoncé
- Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}^*$, $\text{arctan}(x)=\frac{\pi}{2}-\text{arctan}\left(\frac{1}{x}\right)$.
- En déduire un développement asymptotique de $f=\text{arctan}$ en $+\infty$ avec une précision en $\frac{1}{x^3}$.
Exercice #438
Énoncé
Déterminer un développement limité en $1$ à l'ordre $4$ de $f$ où :\[f:x\mapsto \sin(x^2(x - 1)).\]
Exercice #335
Énoncé
Soit $f:\mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue qui admet une limite finie en $+\infty$. Montrer que $f$ est bornée sur $\mathbb{R}_+$.
Exercice #338
Énoncé
Soit $T>0$ et $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction $T$-périodique telle que $f$ admet une limite finie en $+\infty$.
Montrer que $f$ est une fonction constante.
Montrer que $f$ est une fonction constante.
Exercice #339
Énoncé
Déterminer la limite suivante, si elle existe :\[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}\]
Exercice #341
Énoncé
Déterminer la limite suivante, si elle existe :\[\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{x+\text{arctan}(x)}{x}\]
Exercice #342
Énoncé
Déterminer la limite suivante, si elle existe :\[\lim_{x \rightarrow 0}x\sin\left(\frac{1}{x}\right)\]
Exercice #355
Énoncé
Montrer que la fonction $t \mapsto \cos(\sin(t) )$ n'admet pas de limite en $+\infty$.
Exercice #356
Énoncé
Déterminer toutes les fonctions $f$ de $]0,+\infty[\rightarrow \mathbb{R}$ telles que, pour tous $a,b \in ]0,+\infty[$ :\[ |f(a)-f(b)|\leqslant \frac{a}{b}.\]
Exercice #357
Énoncé
Soit $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction périodique et non constante. Montrer que $f$ n'admet pas de limite en $+\infty$.
Exercice #455
Énoncé
Étudier la continuité sur $\mathbb{R}^2$ de la fonction suivante :\[ f:(x,y) \mapsto \begin{cases} \displaystyle\frac{3x^2y}{x^2+y^2}&\text{ si }(x,y) \in \mathbb{R}^2 \smallsetminus\{(0,0)\} \\ 0&\text{ si }(x,y)=(0,0). \end{cases}\]
Exercice #456
Énoncé
Étudier la continuité sur $\mathbb{R}^2$ de la fonction suivante :\[ f:(x,y) \mapsto \begin{cases} \displaystyle\frac{x^2}{x^2+y^2}&\text{ si }(x,y) \in \mathbb{R}^2 \smallsetminus\{(0,0)\} \\ 0&\text{ si }(x,y)=(0,0). \end{cases}\]
Exercice #457
Énoncé
Étudier la continuité sur $\mathbb{R}^2$ de la fonction suivante :\[ f:(x,y) \mapsto \begin{cases} \displaystyle\frac{-x^3+6xy^2}{2x^2+y^2}&\text{ si }(x,y) \in \mathbb{R}^2 \smallsetminus\{(0,0)\} \\ 0&\text{ si }(x,y)=(0,0). \end{cases}\]
Exercice #491
Énoncé
Soit $E$ un espace euclidien muni d'un produit scalaire $(\cdot|\cdot)$ et $f : E \rightarrow E$ une application différentiable sur $E$. On pose, pour $x \in E$ : \[ \varphi(x)=(f(x)|f(x)). \] Montrer que $\varphi$ est différentiable sur $E$ et déterminer sa différentielle en tout point de $E$.
Exercice #488
Énoncé
Déterminer les extrema sur $\mathbb{R}^2$, s'il en existe, de la fonction \[ f:(x,y) \mapsto 2(y-x)^2-(x^4+y^4). \]
Exercice #486
Énoncé
On considère la fonction $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ définie, pour $(x,y) \in \mathbb{R}^2$, par : \[ f(x,y)=\begin{cases} \frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}&\text{ si }(x,y)\neq (0,0) \\ 0&\text{ si }(x,y)=(0,0) \end{cases} \]
- Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^2$ et que $f$ admet des dérivées partielles dans la base canonique en tout point de $\mathbb{R}^2$.
- Montrer que $f$ est différentiable sur $\mathbb{R}^2 \smallsetminus \{(0,0)\}$ et exprimer sa différentielle en tout point de $\mathbb{R}^2 \smallsetminus \{(0,0)\}$.
- La fonction $f$ est-elle de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}^2$ ?
Exercice #490
Énoncé
Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}$. On pose, pour $(x,y,z) \in \mathbb{R}^2$ : \[ \varphi(x,y,z)=f(x-y,y-z,z-x). \] Montrer que $\varphi$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}^3$ et que, pour tout $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$, $\nabla \varphi(x,y,z)$ est orthogonal au vecteur $(1,1,1)$.
Exercice #485
Énoncé
Déterminer, si elle existe, une fonction $f:U \rightarrow \mathbb{R}$ de classe $C^2$ sur un ouvert $U\subset \mathbb{R}^2$ tel que $\nabla f = V_i$ où, pour $(x,y) \in U$ : \[ V_1(x,y)=\left(\frac{x}{y},\frac{y}{x}\right) \quad \text{ et }\quad V_2(x,y)=\left(\frac{y^2}{(x+y)^2},\frac{x^2}{(x+y)^2}\right). \]
Exercice #487
Énoncé
Justifier que la surface $\mathcal{S}$ d'équation $z^2=6+2x^2+3y^2$ admet un plan tangent en chacun de ses points, puis déterminer l'équation du plan tangent au point de coordonnées $(3,2,6)$.
Exercice #40
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante :\[ \int_0^1 \frac{\ln(1+t)}{t^{\frac{3}{2}}}\text{d}t\]
Exercice #44
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante :\[ \int_a^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t^2}\text{d}t\]pour $a=1$ puis pour $a=0$.
Exercice #45
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante :\[ \int_0^{1} \cos(\ln(t))\text{d}t\]
Exercice #46
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante :\[ \int_0^{+\infty} \sin(x)\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)\text{d}x\]
Exercice #47
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante :\[ \int_0^{+\infty} \left(t+1-\sqrt{t^2+2t+1,1}\right)\text{d}t\]
Exercice #48
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante :\[ \int_1^{+\infty} \frac{\ln(1+\frac{1}{t})}{\sqrt{t-1}}\text{d}t\]
Exercice #50
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante en fonction de $\alpha \in \mathbb{R}$ :\[ \int_0^{+\infty} \frac{\ln(1+t)}{t^{\alpha}}\text{d}t\]
Exercice #51
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante en fonction de $\alpha \in \mathbb{R}$ :\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \tan^{\alpha}(\theta)\text{d}\theta\]
Exercice #52
Énoncé
Montrer la convergence puis calculer l'intégrale suivante :\[ \int_0^{+\infty} \frac{1}{1+t^3}\text{d}t\]
Exercice #88
Énoncé
Justifier la convergence de l'intégrale :\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\tan(t)} \text{d}t\]puis la calculer.
Exercice #87
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}$. Justifier la convergence de l'intégrale :\[ I_n= \int_0^1 (t\ln(t))^n \text{d}t\]puis la calculer.
Exercice #90
Énoncé
Soit $f: [1,+\infty[ \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue. Montrer l'implication :\[ \int_1^{+\infty} f(t) \text{d}t \text{ converge } \;\Rightarrow \; \int_1^{+\infty} \frac{f(t)}{t} \text{d}t \text{ converge.}\]
Exercice #403
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle F:x \mapsto \int_0^1 e^{-\frac{x}{t}}\text{d}t$.
- Montrer que $F$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}_+^*$.
- Donner une expression explicite de $F''$.
Exercice #405
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle F:x \mapsto \int_0^{+\infty}\frac{\sin(xt)e^{-t}}{t}\text{d}t$.
- Déterminer le domaine de définition de $F$.
- Montrer que $F$ est de classe $C^1$ sur son domaine.
- Déterminer $F'$ puis en déduire une expression simple de $F$.
Exercice #404
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle F:x \mapsto \int_0^{+\infty}\frac{e^{-xt}}{1+t^2}\text{d}t$.
- Déterminer le domaine de définition de $F$.
- Montrer que $F$ admet une limite en $+\infty$ et la calculer.
- Montrer que $F$ est de classe $C^2$ sur $\mathbb{R}_+^*$ puis montrer que $F$ est solution d'une équation différentielle linéaire d'ordre $2$ à coefficients constants.
Exercice #16
Énoncé
Déterminer la limite de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ telle que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :\[u_n=\sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^2}\]
Exercice #17
Énoncé
Déterminer la limite de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ telle que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :\[u_n=\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+k^2}\]
Exercice #20
Énoncé
Soit $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue telle que $\displaystyle \int_0^1 f(t)\text{d}t=\frac{1}{2}$. Montrer que $f$ admet un point fixe.
Exercice #21
Énoncé
Soit $a,b \in \mathbb{R}$ avec $a< b$ et $f,g$ des fonctions continues de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$ avec $g$ positive sur $[a,b]$. Montrer qu'il existe $c \in [a,b]$ tel que :\[ \int_a^b f(t)g(t)\text{d}t=f(c)\int_a^b g(t) \text{d}t.\]
Exercice #22
Énoncé
Soit $a,b \in \mathbb{R}$ avec $a< b$ et $f,g$ des fonctions de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$. On suppose que $f$ est de classe $C^1$, positive et décroissante sur $[a,b]$ et que $g$ est continue sur $[a,b]$.
On note $G$ la primitive de $g$ qui s'annule en $a$.
On note $G$ la primitive de $g$ qui s'annule en $a$.
- Montrer que $\int_a^b f(t)g(t)\text{d}t = f(b)G(b)-\int_a^b f'(t)G(t)\text{d}t$.
- Expliquer pourquoi $G$ atteint des minimum et maximum notés respectivement $m$ et $M$ sur $[a,b]$
- Montrer qu'il existe $c \in [a,b]$ tel que :\[\int_a^b f(t)g(t)\text{d}t=f(a)\int_a^cg(t)\text{d}t.\]
Exercice #29
Énoncé
Calculer l'intégrale suivante grâce à un changement de variable bien choisi :\[\int_1^2 \frac{\ln(t)}{\sqrt{t}}dt.\]
Exercice #249
Énoncé
Calculer l'intégrale suivante : \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(t)}{\sin(t)+\cos(t)}\text{d}t. \]
Exercice #28
Énoncé
Calculer l'intégrale suivante grâce à une intégration par partie :\[\int_0^1 \ln(1+t^2)dt.\]
Exercice #250
Énoncé
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $[-1,1]$ où :\[ f: t \mapsto \text{arcsin}(t).\]
Exercice #27
Énoncé
Déterminer une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction suivante :\[f:t\mapsto \frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\]
Exercice #240
Énoncé
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur un intervalle de son domaine de définition où :\[ f: t \mapsto -te^{6t^2}.\]
Exercice #241
Énoncé
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur un intervalle de son domaine de définition où :\[ f: t \mapsto \frac{1}{t\left(\ln(t)\right)^3}.\]
Exercice #242
Énoncé
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur un intervalle de son domaine de définition où :\[ f: t \mapsto \frac{1}{(t-1)^4}.\]
Exercice #244
Énoncé
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur un intervalle de son domaine de définition où :\[ f: t \mapsto \sqrt{t^2+t^4}.\]
Exercice #245
Énoncé
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $]-1,+\infty[$ où :\[ f: t \mapsto \frac{1}{1+t^3}.\]
Exercice #250
Énoncé
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $[-1,1]$ où :\[ f: t \mapsto \text{arcsin}(t).\]
Exercice #23
Énoncé
Soit $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue. Montrer que $f$ possède une unique primitive $F$ sur $[0,1]$ telle que :\[\int_0^1F(t) dt =0.\]
Exercice #26
Énoncé
Pour tout $p,q \in \mathbb{N}$, calculer\[I_{p,q}=\int_0^1 t^p(1-t)^q dt\]
Exercice #25 Intégrales de Wallis
Énoncé
Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose $\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n(t) dt$.
- Montrer que $I_n >0$ et que $I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n(t) dt$.
- Établir une relation entre $I_{n+2}$ et $I_n$ puis en déduire une expression de $I_n$ à l'aide de factorielles en distinguant les cas $n$ pair et impair.
- Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ :\[ (n+1)I_nI_{n+1}=\frac{\pi}{2}\quad \text{et}\quad I_{n+2}\leqslant I_{n+1}\leqslant I_n.\]
- En déduire que $\frac{I_{n+1}}{I_n}$ tend vers $1$ puis déterminer une suite $(u_n)$ simple telle que $\frac{I_n}{u_n}$ vers $1$.
Exercice #449
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} -3&1&3 \\ 1&-3&3 \\ -5&5&1 \end{pmatrix}$ et $B:t \mapsto \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ e^{t} \end{pmatrix}$. Résoudre le système différentielle $X'=AX+B(t)$ où $X=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ avec $x,y,z$ des fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.
Exercice #450
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} 3&-1 \\ 1&1 \end{pmatrix}$ et $B:t \mapsto 2e^{2t}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$. Résoudre le système différentielle $X'=AX+B(t)$ où $X=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ avec $x,y$ des fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.
Exercice #239
Énoncé
Résoudre l'équation différentielle suivante sur $\mathbb{R}$ :\[y'+\frac{e^x}{1+e^x}y=1\]
Exercice #234
Énoncé
Déterminer les fonctions $f$ de $\mathbb{R}$ dans lui-même, dérivable sur $\mathbb{R}$ qui vérifient, pour tout $x \in \mathbb{R}$ :\[f'(x)+f(x)=f(0)+f(1).\]
Exercice #236
Énoncé
Soit $\omega,\omega_0 \in \mathbb{R}_+^*$ tels que $\omega \neq \omega_0$. Résoudre sur $\mathbb{R}$ le problème de Cauchy :\[\begin{cases}\;y''+\omega^2y=\cos(\omega_0x) \\\\\;y(0)=1\text{ et }y'(0)=0\end{cases}\]
Exercice #452
Énoncé
Résoudre l'équation différentielle suivante sur $]0,+\infty[$ : \[ y''+\frac{1}{t^2}y'-\frac{1}{t^3}y = 0. \] On pourra commencer par rechercher une solution polynomiale non nulle de cette équation.
Exercice #454
Énoncé
Résoudre l'équation différentielle suivante sur $]0,+\infty[$ : \[ ty''+3y'-4t^3y = 0. \] On pourra commencer par rechercher une solution développable en série entière et non nulle de cette équation.
Exercice #237
Énoncé
Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle :\[y''+2y'+y=e^x\]
Exercice #262
Énoncé
Déterminer les fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ deux fois dérivables telles que :\[y^{\prime \,2}+y^2=1.\]
Exercice #99
Énoncé
Soit $x,y \in \mathbb{R}$. Montrer l'inégalité suivante :\[ |xy| \leqslant \frac{x^2+y^2}{2}.\]
Exercice #98
Énoncé
Soit $x,y \in [0,1]$. Montrer l'inégalité suivante :\[ x^2+y^2-xy \leqslant 1.\]
Exercice #100
Énoncé
Soit $x,y \in \mathbb{R}_+$. Montrer l'inégalité suivante :\[ \sqrt{1+x}\sqrt{1+y} \geqslant 1+\sqrt{xy}.\]
Exercice #103
Énoncé
Soit $x \in \mathbb{R}$. Exprimer les quantités suivantes en fonction de $\lfloor x \rfloor$ :\[ \lfloor -x \rfloor \text{ et } \lfloor 2x \rfloor.\]
Exercice #101
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in \mathbb{R}$. Montrer l'égalité suivante :\[ \left\lfloor \frac{\lfloor nx \rfloor}{n} \right\rfloor = \lfloor x \rfloor.\]
Exercice #294
Énoncé
Soit $A$ une partie bornée et non vide de $\mathbb{R}$. On pose $B=\{ |x-y| \; | \; x,y \in A\}$. Montrer que $B$ admet un minimum et une borne supérieure; puis montrer que $\sup(B)=\sup(A)-\inf(A)$.
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