On considère la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}$ et $x \in \mathbb{R}_+$ : \[ f_n(x) = e^{-nx}\sin(nx). \]

1. Montrer que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge simplement sur $\mathbb{R}_+$.
2. Étudier la convergence uniforme de $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sur $[a,+\infty[$ avec $a>0$ puis sur $\mathbb{R}_+$.

Étudier les convergence simple et uniforme sur $[0,1]$ de la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $t \in [0,1]$ : \[ f_n(t) = \begin{cases} t^n\ln(t)&\text{ si }x>0 \\ 0&\text{ si }x=0. \end{cases} \]

On considère la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}$ et $x \in \mathbb{R}_+$ : \[ f_n(x) = \frac{1}{(1+x^2)^n}. \]

1. Montrer que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge simplement sur $\mathbb{R}_+$.
2. Étudier la convergence uniforme de $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sur $[a,+\infty[$ avec $a>0$ puis sur $\mathbb{R}_+$.