Exercices de la catégorie Suites, séries
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Suites, séries : liste des exercices
Exercice #343
Énoncé
On considère la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}$ et $x \in \mathbb{R}_+$ : \[ f_n(x) = e^{-nx}\sin(nx). \]
- Montrer que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge simplement sur $\mathbb{R}_+$.
- Étudier la convergence uniforme de $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sur $[a,+\infty[$ avec $a>0$ puis sur $\mathbb{R}_+$.
Exercice #344
Énoncé
Étudier les convergence simple et uniforme sur $[0,1]$ de la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $t \in [0,1]$ : \[ f_n(t) = \begin{cases} t^n\ln(t)&\text{ si }x>0 \\ 0&\text{ si }x=0. \end{cases} \]
Exercice #345
Énoncé
On considère la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}$ et $x \in \mathbb{R}_+$ : \[ f_n(x) = \frac{1}{(1+x^2)^n}. \]
- Montrer que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge simplement sur $\mathbb{R}_+$.
- Étudier la convergence uniforme de $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sur $[a,+\infty[$ avec $a>0$ puis sur $\mathbb{R}_+$.
Exercice #346
Énoncé
Étudier les convergences simple, uniforme et normale sur $\mathbb{R}_+$ de la série de fonctions $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1}f_n$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $t \in \mathbb{R}_+$ : \[ f_n(t) = \frac{(-1)^n}{n+x}. \]
Exercice #348
Énoncé
On considère la série de fonctions $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} f_n$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in \mathbb{R}_+$ : \[ f_n(x) = \frac{1}{n+n^2x}. \]
- Montrer que $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1}f_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}_+^*$. Est-ce toujours vrai sur $\mathbb{R}_+$ ?
- Étudier la convergence normale et uniforme de $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} f_n$ sur $[a,+\infty[$ avec $a>0$ puis sur $\mathbb{R}_+^*$.
Exercice #347
Énoncé
Soit $(\alpha_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite décroissante à valeurs dans $\mathbb{R}_+$. On considère la série de fonctions $\displaystyle \sum f_n$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}$ et $t \in [0,1]$ : \[ f_n(t) = \alpha_nt^n(1-t). \]
- Montrer que $\sum f_n$ converge simplement sur $[0,1]$.
- Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que $\sum f_n$ converge normalement sur $[0,1]$.
- Montrer que $\sum f_n$ converge uniformément sur $[0,1]$ si, et seulement si, $(\alpha_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $0$.
Exercice #349
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle f : t \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{\ln(nt)}$.
- Montrer que $f$ est définie et continue sur $]1,+\infty[$.
- Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $1$.
- Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $]1,+\infty[$.
- Dresser le tableau de variations de $f$.
Exercice #351
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle f : x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(x+n).n!}$.
- Montrer que $f$ est définie et de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$.
- Dresser le tableau des variations de $f$ sur $]0,+\infty[$ en précisant les limites de $f$ aux bornes de cet intervalle.
- Montrer que, pour tout $x \in ]0,+\infty[$ : \[ xf(x)-f(x+1)=\frac{1}{e}, \]
- En déduire des équivalents simples de $f$ en $0^+$ et en $+\infty$.
Exercice #350
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle f : x \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n\sin(nx)}{n}$.
- Montrer que $f$ est définie et de classe $C^1$ sur $]-1,1[$.
- Montrer que, pour tout $x \in ]-1,1[$ : \[ f(x)=\text{arctan}\left(\frac{x\sin(x)}{1-x\cos(x)}\right). \]
Exercice #353
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle f : x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}e^{-x\sqrt{n}}$.
- Montrer que $f$ est définie et de classe $C^{\infty}$ sur $]0,+\infty[$.
- Dresser le tableau des variations de $f$ sur $]0,+\infty[$ en précisant la limite de $f$ en $+\infty$.
- Grâce à une comparaison série/intégrale, déterminer un équivalent de $f$ en $0^+$.
Exercice #354
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle f : x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{x(x+1)...(x+n)}$.
- Montrer que $f$ est définie et continue sur $]0,+\infty[$ puis déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
- Pour $x \in ]0,+\infty[$, déterminer une relation entre $f(x+1)$ et $f(x)$ puis en déduire des équivalents simples de $f$ en $+\infty$ et $0^+$.
Exercice #352
Énoncé
Montrer que la fonction $\displaystyle \eta: s \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^s}$ est définie et de classe $C^{\infty}$ sur $]0,+\infty[$.
Exercice #364
Énoncé
Déterminer le rayon de convergence de la série entière : \[ \sum_{n \geqslant 2} \frac{\sqrt{n}}{\ln(n)}z^{2n}. \]
Exercice #366
Énoncé
Déterminer le rayon de convergence de la série entière : \[ \sum e^{-\sqrt{n}}z^{n}. \]
Exercice #367
Énoncé
Déterminer le rayon de convergence de la série entière : \[ \sum \frac{8^n(n+\sqrt{n})}{n^2+4}z^{3n}. \]
Exercice #368
Énoncé
Déterminer le rayon de convergence de la série entière : \[ \sum \frac{\cos(n)}{n}z^{n}. \]
Exercice #365
Énoncé
Déterminer le rayon de convergence de la série entière : \[ \sum \ln(n!)^2z^{n}. \]
Exercice #369
Énoncé
Soit $\displaystyle \sum a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence noté $R$. Déterminer la rayon de convergence de la série entière $\displaystyle \sum a_n^2 z^n$.
Exercice #374
Énoncé
On considère la série entière $\displaystyle \sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{\sqrt{n}}z^n$ de somme notée $S$.
- Déterminer le rayon de convergence $R$ de cette série entière.
- Étudier les continuité/limites de $S$ aux bornes de l'intervalle $]-R,R[$.
Exercice #370
Énoncé
Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tel que : \[ \begin{cases} a_0=1 \text{ et }a_1=0 \\ a_{n+2}=4a_{n+1}-4a_n\text{ pour }n \in \mathbb{N} \end{cases} \] Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum a_n z^n$ puis exprimer sa somme sur l'intervalle $]-R,R[$ à l'aide de fonctions usuelles.
Exercice #372
Énoncé
On considère la série entière $\displaystyle \sum_{n\geqslant 1}\frac{\cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right)}{n}z^n$ de somme notée $S$.
- Déterminer le rayon de convergence $R$ de cette série entière.
- Exprimes $S$ à l'aide de fonctions usuelles sur $]-R,R[$.
Exercice #371
Énoncé
Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose :\[ a_n=\text{Card}\left\lbrace (p,q) \in \mathbb{N}^2 \; | \; p+3q = n \right\rbrace.\] Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum a_n z^n$ puis exprimer sa somme sur l'intervalle $]-R,R[$ à l'aide de fonctions usuelles.
Exercice #373
Énoncé
Soit $p \in \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathcal{M}_p(\mathbb{C})$. On considère la série entière $\sum \text{Tr}(A^n)z^n$.
Déterminer son rayon de convergence $R$ et exprimer sa somme $S$ sur le disque ouvert de convergence en fonction du polynôme caractéristique $\chi_A$ de $A$.
Déterminer son rayon de convergence $R$ et exprimer sa somme $S$ sur le disque ouvert de convergence en fonction du polynôme caractéristique $\chi_A$ de $A$.
Exercice #376
Énoncé
Montrer que la fonction $\displaystyle f: x \mapsto \begin{cases} \frac{1-\cos(2x)}{x^2}&\text{ si }x \in \mathbb{R}^* \\ 2&\text{ si }x=0 \end{cases}$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$.
Exercice #378
Énoncé
Montrer que la fonction $f$ suivante est développable en série entière et déterminer son développement : \[ f:x \mapsto \ln(x^2-6x+8) \]
Exercice #379
Énoncé
Montrer que la fonction $f$ suivante est développable en série entière et déterminer son développement : \[ f:x \mapsto \int_0^x \text{sh}(t^3)\text{d}t. \]
Exercice #380
Énoncé
On considère la fonction $f:x \mapsto \text{arcsin}(x)^2$.
- Déterminer une relation reliant $f''$ et $f'$ sur $]-1,1[$.
- En déduire le développement en série entière de $f$.
Exercice #400
Énoncé
On pose, pour $n \in \mathbb{N}$ :\[ I_n = \int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan^n(t)\text{d}t.\]
- Calculer la limite de la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$.
- Pour $n \in \mathbb{N}$, établir une relation entre $I_n$ et $I_{n+2}$ puis en déduire une expression de $I_{2n}$ et de $I_{2n+1}$ sous forme de somme.
- Application : justifier la convergence et calculer les sommes des séries suivantes \[ \sum \frac{(-1)^n}{2n+1} \text{ et }\sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n-1}}{n}. \]
Exercice #401
Énoncé
Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose :\[ I_n = \int_0^{+\infty}\frac{1}{1+t^2(1+t^n)}\text{d}t.\]
- Montrer que l'intégrale $I_n$ est convergente pour tout $n \in \mathbb{N}$.
- Déterminer la limite de la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$.
Exercice #402
Énoncé
Soit $f:\mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue et bornée sur $\mathbb{R}_+$. Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose :\[ I_n = \int_0^{+\infty}\frac{nf(t)}{1+n^2t^2}\text{d}t.\]
- Montrer que l'intégrale $I_n$ est convergente pour tout $n \in \mathbb{N}$.
- Déterminer la limite de la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$.
Exercice #407
Énoncé
Montrer l'égalité :\[ \int_0^1 \frac{\ln(t)^2}{1+t^2}\text{d}t = 2\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^3}.\]
Exercice #408
Énoncé
Montrer l'égalité :\[ \int_0^1 \frac{1}{t^t}\text{d}t = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^n}.\]
Exercice #421
Énoncé
Montrer que la famille $\displaystyle \left(\frac{1}{(n+m^2)(n+m^2+1)}\right)_{(n,m) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}^*}$ est sommable et déterminer sa somme.
Exercice #422
Énoncé
Montrer que la famille $\displaystyle \left(\frac{n+m}{3^{n+m}}\right)_{(n,m) \in \mathbb{N}^2}$ est sommable et déterminer sa somme.
Exercice #420
Énoncé
Soit $\alpha \in \mathbb{R}$. On considère la famille $\displaystyle \left(\frac{1}{(n^2+m^2)^{\alpha}}\right)_{(n,m)\in (\mathbb{N}^*)^2}$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur la valeur de $\alpha$ pour que cette famille soit sommable.
Exercice #334
Énoncé
On considère la série : \[ \sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{n+\sqrt{n}} \]
- Montrer que cette série est divergente et déterminer un équivalent simple (noté $v_n$ dans la suite) de sa somme partielle $S_n$.
- Montrer qu'il existe $\alpha \in \mathbb{R}$ tel que : \[ S_n-v_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}\alpha. \] On rappelle que $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} -\ln(n) \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} \gamma $ où $\gamma$ est la constante d'Euler.
Exercice #332
Énoncé
Déterminer la nature de la série : \[ \sum_{n \geqslant 1}\frac{1}{n^{(1+\frac{1}{n})}} \]
Exercice #331
Énoncé
Déterminer la nature de la série : \[ \sum_{n \geqslant 1}\frac{(-1)^n}{\sqrt[n]{n!}} \]
Exercice #415
Énoncé
Déterminer un équivalent simple de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[ u_n=\frac{\ln(n+1)-\ln(n)}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}.\]
Exercice #416
Énoncé
Déterminer un équivalent simple de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}$, par :\[ u_n=\frac{\ln(1+n^3)}{2n+\sqrt{n}+1}.\]
Exercice #418
Énoncé
Déterminer un équivalent simple de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[ u_n=n^2\left(1+\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right)^n.\]
Exercice #414
Énoncé
On considère la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}$, par :\[ u_n = \sum_{k=0}^n k!.\]Montrer que $u_n\underset{n \rightarrow +\infty}{\sim}n!$.
Exercice #292
Énoncé
Soit $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite à valeurs dans $\mathbb{R}_+^*$ telle que :\[\frac{u_{n+1}}{u_n}\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\]Montrer que $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ converge et déterminer sa limite.
Exercice #290
Énoncé
Soit $(H_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ la suite définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\]
- Montrer que, pour tout entier $n$ non nul, $H_{2n}-H_n \geqslant \frac{1}{2}$. En déduire que $H_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty$.
- Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite à valeurs réelles. Montrer que si $n(u_{n+1}-u_n)\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty$, alors $u_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty$.
Exercice #274
Énoncé
Déterminer la limite, si elle existe, de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}$, par :\[ u_n=\frac{n!}{n^n}\]
Exercice #276
Énoncé
Déterminer la limite, si elle existe, de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[ u_n=\left(1+\frac{x}{n}\right)^n \text{ où }x \in \mathbb{R}\]
Exercice #277
Énoncé
Déterminer la limite, si elle existe, de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[ u_n=\sqrt[n]{n}\]
Exercice #278
Énoncé
Montrer que la suite $(\cos(n))_{n \in \mathbb{N}}$ diverge.
Exercice #306
Énoncé
On considère la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[ \begin{cases} u_0=1& \\ u_{n+1}= \sqrt{u_n+1}&\text{ pour }n \in \mathbb{N} \end{cases}\]
- Montrer que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est bien définie.
- Déterminer la nature de $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$.
Exercice #287
Énoncé
Déterminer une expression explicite du terme général de la suite récurrente double $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[\begin{cases}u_0=1,\; u_1=2& \\u_{n+2}=u_{n+1}-u_n& \forall\;n \in \mathbb{N}.\end{cases}\]
Exercice #288
Énoncé
Déterminer une expression explicite du terme général de la suite récurrente double $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[\begin{cases}u_0=1,\; u_1=-1& \\2u_{n+2}=3u_{n+1}-u_n& \forall\;n \in \mathbb{N}.\end{cases}\]
Exercice #284
Énoncé
Déterminer une expression explicite du terme général de la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[\begin{cases}u_0=0 \\u_{n+1}=\frac{u_n+1}{2}& \forall\;n \in \mathbb{N}.\end{cases}\]
Exercice #280
Énoncé
Soit $\theta \in ]0,\pi/2[$. Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose :\[s_n=2^n\sin\left(\frac{\theta}{2^n}\right) \text{ et }t_n=2^n\tan\left(\frac{\theta}{2^n}\right)\]Montrer que les suites $(s_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(t_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sont adjacentes. En déduire qu'elles convergent et déterminer leurs limites.
Exercice #281
Énoncé
Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ les suites définies, pour $n \in \mathbb{N}$,par :\[u_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\text{ et }v_n=u_n+\frac{1}{n.n!}\]
- Montrer que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sont des suites adjacentes.
On admettra dans la suite que leur limite commune est le nombre $e$. - Montrer par l'absurde que $e$ est irrationnel.
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