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Exercices de la catégorie Suites, séries
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Suites, séries : liste des exercices
Classement : MathématiquesSuites, séries
Exercice #343
Exercice de base
Détails de l'exercice #343
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
On considère la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}$ et $x \in \mathbb{R}_+$ : \[ f_n(x) = e^{-nx}\sin(nx). \]
  1. Montrer que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge simplement sur $\mathbb{R}_+$.
  2. Étudier la convergence uniforme de $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sur $[a,+\infty[$ avec $a> 0$ puis sur $\mathbb{R}_+$.
Exercice #344
Exercice de base
Détails de l'exercice #344
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Étudier les convergence simple et uniforme sur $[0,1]$ de la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $t \in [0,1]$ : \[ f_n(t) = \begin{cases} t^n\ln(t)&\text{ si }x> 0 \\ 0&\text{ si }x=0. \end{cases} \]
Exercice #345
Exercice de base
Détails de l'exercice #345
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
On considère la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}$ et $x \in \mathbb{R}_+$ : \[ f_n(x) = \frac{1}{(1+x^2)^n}. \]
  1. Montrer que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge simplement sur $\mathbb{R}_+$.
  2. Étudier la convergence uniforme de $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sur $[a,+\infty[$ avec $a> 0$ puis sur $\mathbb{R}_+^*$.
Exercice #346
Exercice de base
Détails de l'exercice #346
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Étudier les convergences simple, uniforme et normale sur $\mathbb{R}_+$ de la série de fonctions $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1}f_n$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $t \in \mathbb{R}_+$ : \[ f_n(t) = \frac{(-1)^n}{n+x}. \]
Exercice #348
Exercice de base
Détails de l'exercice #348
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
On considère la série de fonctions $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} f_n$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in \mathbb{R}_+$ : \[ f_n(x) = \frac{1}{n+n^2x}. \]
  1. Montrer que $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1}f_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}_+^*$. Est-ce toujours vrai sur $\mathbb{R}_+$ ?
  2. Étudier la convergence normale et uniforme de $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} f_n$ sur $[a,+\infty[$ avec $a> 0$ puis sur $\mathbb{R}_+^*$.
Exercice #347
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #347
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit $(\alpha_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite décroissante à valeurs dans $\mathbb{R}_+$. On considère la série de fonctions $\displaystyle \sum f_n$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}$ et $t \in [0,1]$ : \[ f_n(t) = \alpha_nt^n(1-t). \]
  1. Montrer que $\sum f_n$ converge simplement sur $[0,1]$.
  2. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que $\sum f_n$ converge normalement sur $[0,1]$.
  3. Montrer que $\sum f_n$ converge uniformément sur $[0,1]$ si, et seulement si, $(\alpha_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $0$.
Exercice #349
Exercice de base
Détails de l'exercice #349
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle f : t \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{\ln(nt)}$.
  1. Montrer que $f$ est définie et continue sur $]1,+\infty[$.
  2. Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $1$.
  3. Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $]1,+\infty[$.
  4. Dresser le tableau de variations de $f$.

Exercice #351
Exercice de base
Détails de l'exercice #351
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle f : x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(x+n).n!}$.
  1. Montrer que $f$ est définie et de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$.
  2. Dresser le tableau des variations de $f$ sur $]0,+\infty[$ en précisant les limites de $f$ aux bornes de cet intervalle.
  3. Montrer que, pour tout $x \in ]0,+\infty[$ : \[ xf(x)-f(x+1)=\frac{1}{e}, \]
  4. En déduire des équivalents simples de $f$ en $0^+$ et en $+\infty$.
Exercice #350
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #350
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle f : x \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n\sin(nx)}{n}$.
  1. Montrer que $f$ est définie et de classe $C^1$ sur $]-1,1[$.
  2. Montrer que, pour tout $x \in ]-1,1[$ : \[ f(x)=\text{arctan}\left(\frac{x\sin(x)}{1-x\cos(x)}\right). \]
Exercice #353
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #353
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle f : x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}e^{-x\sqrt{n}}$.
  1. Montrer que $f$ est définie et de classe $C^{\infty}$ sur $]0,+\infty[$.
  2. Dresser le tableau des variations de $f$ sur $]0,+\infty[$ en précisant la limite de $f$ en $+\infty$.
  3. Grâce à une comparaison série/intégrale, déterminer un équivalent de $f$ en $0^+$.
Exercice #354
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #354
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle f : x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{x(x+1)...(x+n)}$.
  1. Montrer que $f$ est définie et continue sur $]0,+\infty[$ puis déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
  2. Pour $x \in ]0,+\infty[$, déterminer une relation entre $f(x+1)$ et $f(x)$ puis en déduire des équivalents simples de $f$ en $+\infty$ et $0^+$.
Exercice #545 Oral concours CCinP
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #545
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Mots clés associés :
2023 CCinP Oral
Source : BEOS #7541 Oral CCinP 2023
Énoncé
Pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in \mathbb{R}$, on pose $\displaystyle f_n(x) = \frac{2x}{x^2 + n^2}$.
  1. Justifier la convergence simple sur $\mathbb{R}$ de la série de fonctions $\displaystyle \sum_{n\geqslant 1}f_n$.
    On note $S$ la somme de cette série de fonctions sur $\mathbb{R}$ :\[ S:x \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty}f_n(x). \]
  2. Justifier la continuité de $S$ sur $\mathbb{R}$.
  3. Montrer que $\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} S(x) = \pi$.
Indications
  1. Déterminer un équivalent simple de $|f_n(x)|$ pour $x \neq 0$.
  2. Étudier la convergence normale sur $[-a,a]$ pour tout $a> 0$.
  3. Procéder par comparaison série/intégrale.
Correction
  1. CVS sur $\mathbb{R}$ :
    Soit $x \in \mathbb{R}$. Étudions la nature de $\sum_{n \geqslant 1} f_n(x)$.
    Si $x = 0$, $f_n(0)=0$ est le terme général d'une série convergente.
    Si $x \neq 0$,\[ |f_n(x)| \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} \frac{2|x|}{n^2} \]Or, $\frac{1}{n^2}$ est le terme général d'une série convergente, donc, $\frac{2|x|}{n^2}$ l'est aussi et ainsi, par comparaison, la série numérique $\sum_{n \geqslant 1} f_n(x)$ converge absolument et donc converge.
    Par suite, la série de fonctions $\sum_{n \geqslant 1} f_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}$.
    (Et ainsi, $S$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.)
  2. Vérifions les hypothèses du théorème de continuité des sommes de séries de fonctions.
    • Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $f_n$ est continue sur $\mathbb{R}$ comme quotient de fonctions continue sur $\mathbb{R}$ (car polynomiale) dont le dénominateur ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$.
    • Montrons la convergence uniforme (au moins) sur tout segment de $\mathbb{R}$. Soit $a \in \mathbb{R}_+^*$.
      CVN sur $[-a,a]$ :
      Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Pour tout $x \in [-a,a]$, on a, comme $0\leqslant |x| \leqslant a$ : \[ |f_n(x)|=\frac{2|x|}{x^2+n^2}\leqslant \frac{2a}{n^2} \] Donc $f_n$ est bornée sur $[-a,a]$ et sur $[-a,a]$, $\|f_n\|_{\infty}\leqslant \frac{2a}{n^2}$ qui est le terme général d'une série convergente (comme dans la question 1).
      Ainsi, par comparaison, $\sum_{n \geqslant 1} \|f_n\|_{\infty}$ converge i.e. $\sum_{n \geqslant 1} f_n$ converge normalement sur $[-a,a]$, et ce, pour tout réel $a > 0$.
      Comme tout segment de $\mathbb{R}$ est inclus dans un intervalle de la forme $[-a,a]$ avec $a> 0$, la série de fonctions $\sum_{n \geqslant 1} f_n$ converge normalement sur tout segment de $\mathbb{R}$ et donc, la série de fonctions $\sum_{n \geqslant 1} f_n$ converge uniformément sur tout segment de $\mathbb{R}$ car "CVN implique CVU".
    Ainsi, les hypothèses étant vérifiées, d'après le théorème de continuité des sommes de séries de fonctions, la fonction $S$ est continue sur $\mathbb{R}$.

    Remarque : on aurait pu tenter la CVN sur $\mathbb{R}$ mais ça n'aurait pas fonctionné; en effet, on peut montrer que sur $\mathbb{R}$, $\|f_n\|_{\infty}=\frac{2}{n}$ (atteint en $x=n$) qui est le terme général d'une série divergente.
    Et il n'y a pas CVU sur $\mathbb{R}$ non plus : en posant $x_n=n$, on vérifie que $\|R_n\|_{\infty}\geqslant R_n(x_n) \geqslant \frac{2}{5}$ (en restreignant la somme de $n+1$ à $2n$).
  3. D'après la remarque précédente, on ne peut pas appliquer le théorème d'interversion limite/somme (théorème de double limite pour les séries de fonctions).
    Il faut trouver une autre façon de faire : par exemple, une comparaison série/intégrale (le terme général fait penser à quelque chose ressemblant à la dérivée de arctangente).
    Fixons un réel $x > 0$. On pose $g:t\mapsto \frac{2x}{x^2+t^2}$. Alors $g$ est positive, continue et décroissante sur $\mathbb{R}_+$ donc, par comparaison série/intégrale :
    • $\sum_{n \geqslant 1} f_n(x)$ et $\int_0^{+\infty}g(t) \text{d}t$ sont de même nature et donc convergentes car $\sum_{n \geqslant 1} f_n(x)$ converge (question 1).
    • Et de plus, on a : \[ \int_1^{+\infty}g(t) \text{d}t\leqslant S(x)=\sum_{n =1}^{+\infty} f_n(x) \leqslant \int_0^{+\infty}g(t) \text{d}t \]
    Or, on remarque que, pour $t \in \mathbb{R}_+$,\[ g(t)=\frac{2x}{x^2+t^2}=2\frac{\frac{1}{x}}{1+\left(\frac{t}{x}\right)^2} = \frac{\text{d}}{\text{d}t}2\textrm{arctan}\left(\frac{t}{x}\right), \]donc :\[ \pi-2\textrm{arctan}\left(\frac{1}{x}\right)=\left[2\textrm{arctan}\left(\frac{t}{x}\right)\right]_1^{+\infty}\leqslant S(x) \leqslant \left[2\textrm{arctan}\left(\frac{t}{x}\right)\right]_0^{+\infty} = \pi \]Et, ainsi, comme $\textrm{arctan}\left(\frac{1}{x}\right) \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{}0$, d'après le théorème des gendarmes, on obtient :\[ \lim_{x \rightarrow +\infty}S(x)=\pi. \]Remarque : Avec ce qu'on vient de calculer, on obtient une nouvelle façon de prouver qu'il n'y a pas CVU sur $\mathbb{R}$; en effet, par l'absurde, si $\sum_{n \geqslant 1} f_n$ CVU sur $\mathbb{R}$, comme, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $f_n(x) \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{}0$, d'après le théorème d'interversion limite/somme, on a $\pi=\lim_{x \rightarrow +\infty}S(x)=0$. Contradiction !
Exercice #352
Difficulté de niveau 2
Détails de l'exercice #352
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Montrer que la fonction $\displaystyle \eta: s \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^s}$ est définie et de classe $C^{\infty}$ sur $]0,+\infty[$.
Classement : MathématiquesSuites, séries
Exercice #364
Exercice de base
Détails de l'exercice #364
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Déterminer le rayon de convergence de la série entière : \[ \sum_{n \geqslant 2} \frac{\sqrt{n}}{\ln(n)}z^{2n}. \]
Exercice #366
Exercice de base
Détails de l'exercice #366
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Déterminer le rayon de convergence de la série entière : \[ \sum e^{-\sqrt{n}}z^{n}. \]
Exercice #367
Exercice de base
Détails de l'exercice #367
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Déterminer le rayon de convergence de la série entière : \[ \sum \frac{8^n(n+\sqrt{n})}{n^2+4}z^{3n}. \]
Exercice #368
Exercice de base
Détails de l'exercice #368
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Déterminer le rayon de convergence de la série entière : \[ \sum \frac{\cos(n)}{n}z^{n}. \]
Exercice #365
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #365
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Déterminer le rayon de convergence de la série entière : \[ \sum \ln(n!)^2z^{n}. \]
Exercice #369
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #369
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit $\displaystyle \sum a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence noté $R$. Déterminer la rayon de convergence de la série entière $\displaystyle \sum a_n^2 z^n$.
Exercice #374
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #374
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
On considère la série entière $\displaystyle \sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{\sqrt{n}}z^n$ de somme notée $S$.
  1. Déterminer le rayon de convergence $R$ de cette série entière.
  2. Étudier les continuité/limites de $S$ aux bornes de l'intervalle $]-R,R[$.
Exercice #370
Exercice de base
Détails de l'exercice #370
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tel que : \[ \begin{cases} a_0=1 \text{ et }a_1=0 \\ a_{n+2}=4a_{n+1}-4a_n\text{ pour }n \in \mathbb{N} \end{cases} \] Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum a_n z^n$ puis exprimer sa somme sur l'intervalle $]-R,R[$ à l'aide de fonctions usuelles.
Exercice #372
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #372
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
On considère la série entière $\displaystyle \sum_{n\geqslant 1}\frac{\cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right)}{n}z^n$ de somme notée $S$.
  1. Déterminer le rayon de convergence $R$ de cette série entière.
  2. Exprimes $S$ à l'aide de fonctions usuelles sur $]-R,R[$.
Exercice #371
Difficulté de niveau 2
Détails de l'exercice #371
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose :\[ a_n=\text{Card}\left\lbrace (p,q) \in \mathbb{N}^2 \; | \; p+3q = n \right\rbrace. \] Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum a_n z^n$ puis exprimer sa somme sur l'intervalle $]-R,R[$ à l'aide de fonctions usuelles.
Exercice #373
Difficulté de niveau 2
Détails de l'exercice #373
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit $p \in \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathcal{M}_p(\mathbb{C})$. On considère la série entière $\sum \text{Tr}(A^n)z^n$.
Déterminer son rayon de convergence $R$ et exprimer sa somme $S$ sur le disque ouvert de convergence en fonction du polynôme caractéristique $\chi_A$ de $A$.
Exercice #376
Exercice de base
Détails de l'exercice #376
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Montrer que la fonction $\displaystyle f: x \mapsto \begin{cases} \frac{1-\cos(2x)}{x^2}&\text{ si }x \in \mathbb{R}^* \\ 2&\text{ si }x=0 \end{cases}$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$.
Exercice #378
Exercice de base
Détails de l'exercice #378
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Montrer que la fonction $f$ suivante est développable en série entière et déterminer son développement : \[ f:x \mapsto \ln(x^2-6x+8) \]
Exercice #379
Exercice de base
Détails de l'exercice #379
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Montrer que la fonction $f$ suivante est développable en série entière et déterminer son développement : \[ f:x \mapsto \int_0^x \text{sh}(t^3)\text{d}t. \]
Exercice #380
Difficulté de niveau 2
Détails de l'exercice #380
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
On considère la fonction $f:x \mapsto \text{arcsin}(x)^2$.
  1. Déterminer une relation reliant $f''$ et $f'$ sur $]-1,1[$.
  2. En déduire le développement en série entière de $f$.
Classement : MathématiquesSuites, séries
Exercice #400
Exercice de base
Détails de l'exercice #400
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
On pose, pour $n \in \mathbb{N}$ :\[ I_n = \int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan^n(t)\text{d}t. \]
  1. Calculer la limite de la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$.
  2. Pour $n \in \mathbb{N}$, établir une relation entre $I_n$ et $I_{n+2}$ puis en déduire une expression de $I_{2n}$ et de $I_{2n+1}$ sous forme de somme.
  3. Application : justifier la convergence et calculer les sommes des séries suivantes \[ \sum \frac{(-1)^n}{2n+1} \text{ et }\sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n-1}}{n}. \]

Exercice #401
Exercice de base
Détails de l'exercice #401
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose :\[ I_n = \int_0^{+\infty}\frac{1}{1+t^2(1+t^n)}\text{d}t. \]
  1. Montrer que l'intégrale $I_n$ est convergente pour tout $n \in \mathbb{N}$.
  2. Déterminer la limite de la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$.
Exercice #402
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #402
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit $f:\mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue et bornée sur $\mathbb{R}_+$. Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose :\[ I_n = \int_0^{+\infty}\frac{nf(t)}{1+n^2t^2}\text{d}t. \]
  1. Montrer que l'intégrale $I_n$ est convergente pour tout $n \in \mathbb{N}$.
  2. Déterminer la limite de la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$.
Exercice #407
Exercice de base
Détails de l'exercice #407
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Montrer l'égalité :\[ \int_0^1 \frac{\ln(t)^2}{1+t^2}\text{d}t = 2\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^3}. \]
Exercice #408
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #408
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Montrer l'égalité :\[ \int_0^1 \frac{1}{t^t}\text{d}t = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^n}. \]
Classement : MathématiquesSuites, séries
Exercice #421
Exercice de base
Détails de l'exercice #421
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Montrer que la famille $\displaystyle \left(\frac{1}{(n+m^2)(n+m^2+1)}\right)_{(n,m) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}^*}$ est sommable et déterminer sa somme.
Exercice #422
Exercice de base
Détails de l'exercice #422
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Montrer que la famille $\displaystyle \left(\frac{n+m}{3^{n+m}}\right)_{(n,m) \in \mathbb{N}^2}$ est sommable et déterminer sa somme.
Exercice #420
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #420
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit $\alpha \in \mathbb{R}$. On considère la famille $\displaystyle \left(\frac{1}{(n^2+m^2)^{\alpha}}\right)_{(n,m)\in (\mathbb{N}^*)^2}$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur la valeur de $\alpha$ pour que cette famille soit sommable.
Classement : MathématiquesSuites, séries
Exercice #328
Exercice de base
Détails de l'exercice #328
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Déterminer l'exponentielle de la matrice $A=\begin{pmatrix} -3&1&3 \\ 1&-3&3 \\ -5&5&1 \end{pmatrix}$.
Exercice #330
Exercice de base
Détails de l'exercice #330
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Déterminer l'exponentielle de la matrice $A=\begin{pmatrix} 0&-1&1 \\ 6&-5&2 \\ -3&1&-4 \end{pmatrix}$.
Exercice #329
Exercice de base
Détails de l'exercice #329
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Déterminer l'exponentielle de la matrice $A=\begin{pmatrix} 4&-1&-3 \\ 1&2&-3 \\ -1&1&6 \end{pmatrix}$.
Exercice #590
Exercice de base
Détails de l'exercice #590
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $p$ un projecteur de $E$. Calculer $\text{exp}(p)$.
Exercice #593
Exercice de base
Détails de l'exercice #593
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit $p \in \mathbb{N}^*$ et $A \in M_p(\mathbb{R})$ telle que $A^2=-A$. Calculer $\text{exp}(A)$.
Exercice #591
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #591
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $s$ une symétrie de $E$. Calculer $\text{exp}(s)$.
Exercice #594
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #594
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Soit $p \in \mathbb{N}^*$ et $A \in M_p(\mathbb{R})$ telle que $A^2=A+I_p$. On note $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Montrer que : \[ \text{exp}(A)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\varphi e^{-\frac{1}{\varphi}}+\frac{1}{\varphi} e^{\varphi}\right)I_p+\left(e^{\varphi}-e^{-\frac{1}{\varphi}}\right)A\right). \]
Classement : MathématiquesSuites, séries
Exercice #599
Exercice de base
Détails de l'exercice #599
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Montrer la convergence de la série associé à la somme : \[ \sum_{n=0}^{+\infty}n4^{-n} \] puis la calculer à l'aide d'un produit de Cauchy.
Exercice #334
Exercice de base
Détails de l'exercice #334
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
On considère la série : \[ \sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{n+\sqrt{n}} \]
  1. Montrer que cette série est divergente et déterminer un équivalent simple (noté $v_n$ dans la suite) de sa somme partielle $S_n$.
  2. Montrer qu'il existe $\alpha \in \mathbb{R}$ tel que : \[ S_n-v_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}\alpha. \] On rappelle que $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} -\ln(n) \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} \gamma $ où $\gamma$ est la constante d'Euler.
Exercice #595
Exercice de base
Détails de l'exercice #595
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Montrer que la série $\displaystyle \sum \frac{1}{\ln(1+4^{-n})}$ diverge puis déterminer un équivalent simple de sa somme partielle $S_n$ d'ordre $n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
Exercice #598
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #598
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Montrer que la série $\displaystyle \sum_{n\geqslant 1} \frac{\ln(n)}{n!}$ converge puis déterminer un équivalent simple de son reste $R_n$ d'ordre $n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
Exercice #596
Difficulté de niveau 2
Détails de l'exercice #596
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
On considère la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par : \[ \begin{cases} u_0=1 &\\ u_{n+1}=u_n+\frac{1}{u_n}&\textrm{ pour }n\in\mathbb{N} \end{cases} \]
  1. Montrer que la suite est bien définie puis après avoir justifié son existence, déterminer sa limite.
  2. Déterminer un équivalent simple de $u_n$ quand $n$ tend vers l'infini.

Exercice #597
Difficulté de niveau 2
Détails de l'exercice #597
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Montrer que la série $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} \frac{4^n}{n}$ diverge puis déterminer un équivalent simple de sa somme partielle $S_n$ d'ordre $n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
Exercice #562
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #562
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Déterminer, en fonction du réel $\alpha$, la nature de la série $\sum_{n \geqslant 1} u_n$ de terme général :\[ u_n = \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\dots+ \sqrt{n}}{n^\alpha}. \]Même question avec la série de terme général $(-1)^nu_n$.
Exercice #332
Exercice de base
Détails de l'exercice #332
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Déterminer la nature de la série : \[ \sum_{n \geqslant 1}\frac{1}{n^{(1+\frac{1}{n})}} \]
Exercice #555
Exercice de base
Détails de l'exercice #555
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Déterminer la nature de la série $\sum_{n \geqslant 2} u_n$ de terme général :\[ u_n = \frac{1}{\sqrt{n^2-1}}-\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}. \]
Exercice #561
Exercice de base
Détails de l'exercice #561
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Montrer la convergence et calculer la somme de la série $\sum_{n \geqslant 1} u_n$ de terme général :\[ u_n = \frac{1}{n(n+1)(n+2)}. \]
Exercice #560
Exercice de base
Détails de l'exercice #560
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Montrer la convergence et calculer la somme de la série $\sum u_n$ de terme général :\[ u_n = \frac{n^2-2}{n!}. \]
Exercice #561
Exercice de base
Détails de l'exercice #561
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Montrer la convergence et calculer la somme de la série $\sum_{n \geqslant 1} u_n$ de terme général :\[ u_n = \frac{1}{n(n+1)(n+2)}. \]
Exercice #559
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #559
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Déterminer la nature de la série $\sum_{n \geqslant 2} u_n$ de terme général :\[ u_n = \ln\left(1+\frac{(-1)^n}{n}\right) \]puis déterminer sa somme.
Exercice #558
Exercice de base
Détails de l'exercice #558
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Déterminer la nature de la série $\sum u_n$ de terme général :\[ u_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}. \]
Exercice #559
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #559
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Déterminer la nature de la série $\sum_{n \geqslant 2} u_n$ de terme général :\[ u_n = \ln\left(1+\frac{(-1)^n}{n}\right) \]puis déterminer sa somme.
Exercice #331
Difficulté de niveau 2
Détails de l'exercice #331
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
Déterminer la nature de la série : \[ \sum_{n \geqslant 1}\frac{(-1)^n}{\sqrt[n]{n!}} \]
Exercice #562
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #562
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Déterminer, en fonction du réel $\alpha$, la nature de la série $\sum_{n \geqslant 1} u_n$ de terme général :\[ u_n = \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\dots+ \sqrt{n}}{n^\alpha}. \]Même question avec la série de terme général $(-1)^nu_n$.
Exercice #563
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #563
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
On considère la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ à valeurs réelles telle que $u_0> 0$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=1-e^{-u_n}$.
  1. Étudier la nature de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et déterminer sa limite si elle existe.
  2. Étudier la nature de la série $\sum (-1)^nu_n$.
  3. Étudier la nature de la série $\sum u_n^2$.
  4. Étudier la nature de la série $\sum u_n$.
Classement : MathématiquesSuites, séries
Exercice #415
Exercice de base
Détails de l'exercice #415
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Déterminer un équivalent simple de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[ u_n=\frac{\ln(n+1)-\ln(n)}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}. \]
Exercice #416
Exercice de base
Détails de l'exercice #416
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Déterminer un équivalent simple de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}$, par :\[ u_n=\frac{\ln(1+n^3)}{2n+\sqrt{n}+1}. \]
Exercice #418
Exercice de base
Détails de l'exercice #418
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Déterminer un équivalent simple de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[ u_n=n^2\left(1+\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right)^n. \]
Exercice #414
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #414
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
On considère la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}$, par :\[ u_n = \sum_{k=0}^n k!. \]Montrer que $u_n\underset{n \rightarrow +\infty}{\sim}n!$.
Exercice #292
Exercice de base
Détails de l'exercice #292
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite à valeurs dans $\mathbb{R}_+^*$ telle que :\[ \frac{u_{n+1}}{u_n}\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0 \]Montrer que $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ converge et déterminer sa limite.
Exercice #290
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #290
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $(H_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ la suite définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[ H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \]
  1. Montrer que, pour tout entier $n$ non nul, $H_{2n}-H_n \geqslant \frac{1}{2}$. En déduire que $H_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty$.
  2. Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite à valeurs réelles. Montrer que si $n(u_{n+1}-u_n)\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty$, alors $u_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty$.
Exercice #274
Exercice de base
Détails de l'exercice #274
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Déterminer la limite, si elle existe, de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}$, par :\[ u_n=\frac{n!}{n^n} \]
Exercice #276
Exercice de base
Détails de l'exercice #276
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Déterminer la limite, si elle existe, de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[ u_n=\left(1+\frac{x}{n}\right)^n \text{ où }x \in \mathbb{R} \]
Exercice #277
Exercice de base
Détails de l'exercice #277
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Déterminer la limite, si elle existe, de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[ u_n=\sqrt[n]{n} \]
Exercice #278
Difficulté de niveau 2
Détails de l'exercice #278
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Montrer que la suite $(\cos(n))_{n \in \mathbb{N}}$ diverge.
Exercice #306
Exercice de base
Détails de l'exercice #306
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
On considère la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[ \begin{cases} u_0=1& \\ u_{n+1}= \sqrt{u_n+1}&\text{ pour }n \in \mathbb{N} \end{cases} \]
  1. Montrer que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est bien définie.
  2. Déterminer la nature de $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$.

Exercice #596
Difficulté de niveau 2
Détails de l'exercice #596
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
Énoncé
On considère la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par : \[ \begin{cases} u_0=1 &\\ u_{n+1}=u_n+\frac{1}{u_n}&\textrm{ pour }n\in\mathbb{N} \end{cases} \]
  1. Montrer que la suite est bien définie puis après avoir justifié son existence, déterminer sa limite.
  2. Déterminer un équivalent simple de $u_n$ quand $n$ tend vers l'infini.

Exercice #287
Exercice de base
Détails de l'exercice #287
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Déterminer une expression explicite du terme général de la suite récurrente double $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[ \begin{cases} u_0=1,\; u_1=2& \\ u_{n+2}=u_{n+1}-u_n& \forall\;n \in \mathbb{N}. \end{cases} \]
Exercice #288
Exercice de base
Détails de l'exercice #288
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Déterminer une expression explicite du terme général de la suite récurrente double $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[ \begin{cases} u_0=1,\; u_1=-1& \\ 2u_{n+2}=3u_{n+1}-u_n& \forall\;n \in \mathbb{N}. \end{cases} \]
Exercice #284
Exercice de base
Détails de l'exercice #284
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Déterminer une expression explicite du terme général de la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[ \begin{cases} u_0=0 \\ u_{n+1}=\frac{u_n+1}{2}& \forall\;n \in \mathbb{N}. \end{cases} \]
Exercice #280
Exercice de base
Détails de l'exercice #280
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $\theta \in ]0,\pi/2[$. Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose :\[ s_n=2^n\sin\left(\frac{\theta}{2^n}\right) \text{ et }t_n=2^n\tan\left(\frac{\theta}{2^n}\right) \]Montrer que les suites $(s_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(t_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sont adjacentes. En déduire qu'elles convergent et déterminer leurs limites.
Exercice #281
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #281
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
Énoncé
Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ les suites définies, pour $n \in \mathbb{N}$,par :\[ u_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\text{ et }v_n=u_n+\frac{1}{n.n!} \]
  1. Montrer que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sont des suites adjacentes.
    On admettra dans la suite que leur limite commune est le nombre $e$.
  2. Montrer par l'absurde que $e$ est irrationnel.
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