On considère la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}$ et $x \in \mathbb{R}_+$ : \[
f_n(x) = e^{-nx}\sin(nx).
\]
Montrer que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge simplement sur $\mathbb{R}_+$.
Étudier la convergence uniforme de $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sur $[a,+\infty[$ avec $a> 0$ puis sur $\mathbb{R}_+$.
Étudier les convergence simple et uniforme sur $[0,1]$ de la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $t \in [0,1]$ : \[
f_n(t) = \begin{cases}
t^n\ln(t)&\text{ si }x> 0 \\
0&\text{ si }x=0.
\end{cases}
\]
On considère la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}$ et $x \in \mathbb{R}_+$ : \[
f_n(x) = \frac{1}{(1+x^2)^n}.
\]
Montrer que $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge simplement sur $\mathbb{R}_+$.
Étudier la convergence uniforme de $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sur $[a,+\infty[$ avec $a> 0$ puis sur $\mathbb{R}_+^*$.
Étudier les convergences simple, uniforme et normale sur $\mathbb{R}_+$ de la série de fonctions $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1}f_n$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $t \in \mathbb{R}_+$ : \[
f_n(t) = \frac{(-1)^n}{n+x}.
\]
On considère la série de fonctions $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} f_n$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in \mathbb{R}_+$ : \[
f_n(x) = \frac{1}{n+n^2x}.
\]
Montrer que $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1}f_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}_+^*$. Est-ce toujours vrai sur $\mathbb{R}_+$ ?
Étudier la convergence normale et uniforme de $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} f_n$ sur $[a,+\infty[$ avec $a> 0$ puis sur $\mathbb{R}_+^*$.
Soit $(\alpha_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite décroissante à valeurs dans $\mathbb{R}_+$. On considère la série de fonctions $\displaystyle \sum f_n$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}$ et $t \in [0,1]$ : \[
f_n(t) = \alpha_nt^n(1-t).
\]
Montrer que $\sum f_n$ converge simplement sur $[0,1]$.
Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que $\sum f_n$ converge normalement sur $[0,1]$.
Montrer que $\sum f_n$ converge uniformément sur $[0,1]$ si, et seulement si, $(\alpha_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $0$.
Pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in \mathbb{R}$, on pose $\displaystyle f_n(x) = \frac{2x}{x^2 + n^2}$.
Justifier la convergence simple sur $\mathbb{R}$ de la série de fonctions $\displaystyle \sum_{n\geqslant 1}f_n$. On note $S$ la somme de cette série de fonctions sur $\mathbb{R}$ :\[
S:x \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty}f_n(x).
\]
Justifier la continuité de $S$ sur $\mathbb{R}$.
Montrer que $\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} S(x) = \pi$.
Indications
Déterminer un équivalent simple de $|f_n(x)|$ pour $x \neq 0$.
Étudier la convergence normale sur $[-a,a]$ pour tout $a> 0$.
Procéder par comparaison série/intégrale.
Correction
CVS sur $\mathbb{R}$ : Soit $x \in \mathbb{R}$. Étudions la nature de $\sum_{n \geqslant 1} f_n(x)$. Si $x = 0$, $f_n(0)=0$ est le terme général d'une série convergente. Si $x \neq 0$,\[
|f_n(x)| \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} \frac{2|x|}{n^2}
\]Or, $\frac{1}{n^2}$ est le terme général d'une série convergente, donc, $\frac{2|x|}{n^2}$ l'est aussi et ainsi, par comparaison, la série numérique $\sum_{n \geqslant 1} f_n(x)$ converge absolument et donc converge. Par suite, la série de fonctions $\sum_{n \geqslant 1} f_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}$. (Et ainsi, $S$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.)
Vérifions les hypothèses du théorème de continuité des sommes de séries de fonctions.
Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $f_n$ est continue sur $\mathbb{R}$ comme quotient de fonctions continue sur $\mathbb{R}$ (car polynomiale) dont le dénominateur ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$.
Montrons la convergence uniforme (au moins) sur tout segment de $\mathbb{R}$. Soit $a \in \mathbb{R}_+^*$. CVN sur $[-a,a]$ : Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Pour tout $x \in [-a,a]$, on a, comme $0\leqslant |x| \leqslant a$ : \[
|f_n(x)|=\frac{2|x|}{x^2+n^2}\leqslant \frac{2a}{n^2}
\] Donc $f_n$ est bornée sur $[-a,a]$ et sur $[-a,a]$, $\|f_n\|_{\infty}\leqslant \frac{2a}{n^2}$ qui est le terme général d'une série convergente (comme dans la question 1). Ainsi, par comparaison, $\sum_{n \geqslant 1} \|f_n\|_{\infty}$ converge i.e. $\sum_{n \geqslant 1} f_n$ converge normalement sur $[-a,a]$, et ce, pour tout réel $a > 0$. Comme tout segment de $\mathbb{R}$ est inclus dans un intervalle de la forme $[-a,a]$ avec $a> 0$, la série de fonctions $\sum_{n \geqslant 1} f_n$ converge normalement sur tout segment de $\mathbb{R}$ et donc, la série de fonctions $\sum_{n \geqslant 1} f_n$ converge uniformément sur tout segment de $\mathbb{R}$ car "CVN implique CVU".
Ainsi, les hypothèses étant vérifiées, d'après le théorème de continuité des sommes de séries de fonctions, la fonction $S$ est continue sur $\mathbb{R}$.
Remarque : on aurait pu tenter la CVN sur $\mathbb{R}$ mais ça n'aurait pas fonctionné; en effet, on peut montrer que sur $\mathbb{R}$, $\|f_n\|_{\infty}=\frac{2}{n}$ (atteint en $x=n$) qui est le terme général d'une série divergente. Et il n'y a pas CVU sur $\mathbb{R}$ non plus : en posant $x_n=n$, on vérifie que $\|R_n\|_{\infty}\geqslant R_n(x_n) \geqslant \frac{2}{5}$ (en restreignant la somme de $n+1$ à $2n$).
D'après la remarque précédente, on ne peut pas appliquer le théorème d'interversion limite/somme (théorème de double limite pour les séries de fonctions). Il faut trouver une autre façon de faire : par exemple, une comparaison série/intégrale (le terme général fait penser à quelque chose ressemblant à la dérivée de arctangente). Fixons un réel $x > 0$. On pose $g:t\mapsto \frac{2x}{x^2+t^2}$. Alors $g$ est positive, continue et décroissante sur $\mathbb{R}_+$ donc, par comparaison série/intégrale :
$\sum_{n \geqslant 1} f_n(x)$ et $\int_0^{+\infty}g(t) \text{d}t$ sont de même nature et donc convergentes car $\sum_{n \geqslant 1} f_n(x)$ converge (question 1).
Et de plus, on a : \[
\int_1^{+\infty}g(t) \text{d}t\leqslant S(x)=\sum_{n =1}^{+\infty} f_n(x) \leqslant \int_0^{+\infty}g(t) \text{d}t
\]
Or, on remarque que, pour $t \in \mathbb{R}_+$,\[
g(t)=\frac{2x}{x^2+t^2}=2\frac{\frac{1}{x}}{1+\left(\frac{t}{x}\right)^2} = \frac{\text{d}}{\text{d}t}2\textrm{arctan}\left(\frac{t}{x}\right),
\]donc :\[
\pi-2\textrm{arctan}\left(\frac{1}{x}\right)=\left[2\textrm{arctan}\left(\frac{t}{x}\right)\right]_1^{+\infty}\leqslant S(x) \leqslant \left[2\textrm{arctan}\left(\frac{t}{x}\right)\right]_0^{+\infty} = \pi
\]Et, ainsi, comme $\textrm{arctan}\left(\frac{1}{x}\right) \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{}0$, d'après le théorème des gendarmes, on obtient :\[
\lim_{x \rightarrow +\infty}S(x)=\pi.
\]Remarque : Avec ce qu'on vient de calculer, on obtient une nouvelle façon de prouver qu'il n'y a pas CVU sur $\mathbb{R}$; en effet, par l'absurde, si $\sum_{n \geqslant 1} f_n$ CVU sur $\mathbb{R}$, comme, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $f_n(x) \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{}0$, d'après le théorème d'interversion limite/somme, on a $\pi=\lim_{x \rightarrow +\infty}S(x)=0$. Contradiction !
Montrer que la fonction $\displaystyle \eta: s \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^s}$ est définie et de classe $C^{\infty}$ sur $]0,+\infty[$.
Soit $\displaystyle \sum a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence noté $R$. Déterminer la rayon de convergence de la série entière $\displaystyle \sum a_n^2 z^n$.
Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tel que : \[
\begin{cases}
a_0=1 \text{ et }a_1=0 \\
a_{n+2}=4a_{n+1}-4a_n\text{ pour }n \in \mathbb{N}
\end{cases}
\] Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum a_n z^n$ puis exprimer sa somme sur l'intervalle $]-R,R[$ à l'aide de fonctions usuelles.
Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose :\[
a_n=\text{Card}\left\lbrace (p,q) \in \mathbb{N}^2 \; | \; p+3q = n \right\rbrace.
\] Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum a_n z^n$ puis exprimer sa somme sur l'intervalle $]-R,R[$ à l'aide de fonctions usuelles.
Soit $p \in \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathcal{M}_p(\mathbb{C})$. On considère la série entière $\sum \text{Tr}(A^n)z^n$. Déterminer son rayon de convergence $R$ et exprimer sa somme $S$ sur le disque ouvert de convergence en fonction du polynôme caractéristique $\chi_A$ de $A$.
Montrer que la fonction $\displaystyle f: x \mapsto
\begin{cases}
\frac{1-\cos(2x)}{x^2}&\text{ si }x \in \mathbb{R}^* \\
2&\text{ si }x=0
\end{cases}$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$.
Montrer que la fonction $f$ suivante est développable en série entière et déterminer son développement : \[
f:x \mapsto \int_0^x \text{sh}(t^3)\text{d}t.
\]
On pose, pour $n \in \mathbb{N}$ :\[
I_n = \int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan^n(t)\text{d}t.
\]
Calculer la limite de la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$.
Pour $n \in \mathbb{N}$, établir une relation entre $I_n$ et $I_{n+2}$ puis en déduire une expression de $I_{2n}$ et de $I_{2n+1}$ sous forme de somme.
Application : justifier la convergence et calculer les sommes des séries suivantes \[
\sum \frac{(-1)^n}{2n+1} \text{ et }\sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n-1}}{n}.
\]
Soit $f:\mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue et bornée sur $\mathbb{R}_+$. Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose :\[
I_n = \int_0^{+\infty}\frac{nf(t)}{1+n^2t^2}\text{d}t.
\]
Montrer que l'intégrale $I_n$ est convergente pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Déterminer la limite de la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$.
Montrer que la famille $\displaystyle \left(\frac{1}{(n+m^2)(n+m^2+1)}\right)_{(n,m) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}^*}$ est sommable et déterminer sa somme.
Soit $\alpha \in \mathbb{R}$. On considère la famille $\displaystyle \left(\frac{1}{(n^2+m^2)^{\alpha}}\right)_{(n,m)\in (\mathbb{N}^*)^2}$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur la valeur de $\alpha$ pour que cette famille soit sommable.
Soit $p \in \mathbb{N}^*$ et $A \in M_p(\mathbb{R})$ telle que $A^2=A+I_p$. On note $\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Montrer que : \[
\text{exp}(A)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\varphi e^{-\frac{1}{\varphi}}+\frac{1}{\varphi} e^{\varphi}\right)I_p+\left(e^{\varphi}-e^{-\frac{1}{\varphi}}\right)A\right).
\]
On considère la série : \[
\sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{n+\sqrt{n}}
\]
Montrer que cette série est divergente et déterminer un équivalent simple (noté $v_n$ dans la suite) de sa somme partielle $S_n$.
Montrer qu'il existe $\alpha \in \mathbb{R}$ tel que : \[
S_n-v_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}\alpha.
\] On rappelle que $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} -\ln(n) \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} \gamma $ où $\gamma$ est la constante d'Euler.
Montrer que la série $\displaystyle \sum \frac{1}{\ln(1+4^{-n})}$ diverge puis déterminer un équivalent simple de sa somme partielle $S_n$ d'ordre $n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
Montrer que la série $\displaystyle \sum_{n\geqslant 1} \frac{\ln(n)}{n!}$ converge puis déterminer un équivalent simple de son reste $R_n$ d'ordre $n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
On considère la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par : \[
\begin{cases}
u_0=1 &\\
u_{n+1}=u_n+\frac{1}{u_n}&\textrm{ pour }n\in\mathbb{N}
\end{cases}
\]
Montrer que la suite est bien définie puis après avoir justifié son existence, déterminer sa limite.
Déterminer un équivalent simple de $u_n$ quand $n$ tend vers l'infini.
Montrer que la série $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} \frac{4^n}{n}$ diverge puis déterminer un équivalent simple de sa somme partielle $S_n$ d'ordre $n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
Déterminer, en fonction du réel $\alpha$, la nature de la série $\sum_{n \geqslant 1} u_n$ de terme général :\[
u_n = \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\dots+ \sqrt{n}}{n^\alpha}.
\]Même question avec la série de terme général $(-1)^nu_n$.
Déterminer, en fonction du réel $\alpha$, la nature de la série $\sum_{n \geqslant 1} u_n$ de terme général :\[
u_n = \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\dots+ \sqrt{n}}{n^\alpha}.
\]Même question avec la série de terme général $(-1)^nu_n$.
On considère la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ à valeurs réelles telle que $u_0> 0$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=1-e^{-u_n}$.
Étudier la nature de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et déterminer sa limite si elle existe.
Déterminer un équivalent simple de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[
u_n=\frac{\ln(n+1)-\ln(n)}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}.
\]
Déterminer un équivalent simple de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}$, par :\[
u_n=\frac{\ln(1+n^3)}{2n+\sqrt{n}+1}.
\]
Déterminer un équivalent simple de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[
u_n=n^2\left(1+\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right)^n.
\]
On considère la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}$, par :\[
u_n = \sum_{k=0}^n k!.
\]Montrer que $u_n\underset{n \rightarrow +\infty}{\sim}n!$.
Soit $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite à valeurs dans $\mathbb{R}_+^*$ telle que :\[
\frac{u_{n+1}}{u_n}\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0
\]Montrer que $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ converge et déterminer sa limite.
Soit $(H_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ la suite définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[
H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}
\]
Montrer que, pour tout entier $n$ non nul, $H_{2n}-H_n \geqslant \frac{1}{2}$. En déduire que $H_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty$.
Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite à valeurs réelles. Montrer que si $n(u_{n+1}-u_n)\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty$, alors $u_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty$.
Déterminer la limite, si elle existe, de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[
u_n=\left(1+\frac{x}{n}\right)^n \text{ où }x \in \mathbb{R}
\]
On considère la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[
\begin{cases}
u_0=1& \\
u_{n+1}= \sqrt{u_n+1}&\text{ pour }n \in \mathbb{N}
\end{cases}
\]
Montrer que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est bien définie.
Déterminer la nature de $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$.
On considère la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par : \[
\begin{cases}
u_0=1 &\\
u_{n+1}=u_n+\frac{1}{u_n}&\textrm{ pour }n\in\mathbb{N}
\end{cases}
\]
Montrer que la suite est bien définie puis après avoir justifié son existence, déterminer sa limite.
Déterminer un équivalent simple de $u_n$ quand $n$ tend vers l'infini.
Déterminer une expression explicite du terme général de la suite récurrente double $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[
\begin{cases}
u_0=1,\; u_1=2& \\
u_{n+2}=u_{n+1}-u_n& \forall\;n \in \mathbb{N}.
\end{cases}
\]
Déterminer une expression explicite du terme général de la suite récurrente double $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[
\begin{cases}
u_0=1,\; u_1=-1& \\
2u_{n+2}=3u_{n+1}-u_n& \forall\;n \in \mathbb{N}.
\end{cases}
\]
Déterminer une expression explicite du terme général de la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[
\begin{cases}
u_0=0 \\
u_{n+1}=\frac{u_n+1}{2}& \forall\;n \in \mathbb{N}.
\end{cases}
\]
Soit $\theta \in ]0,\pi/2[$. Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose :\[
s_n=2^n\sin\left(\frac{\theta}{2^n}\right) \text{ et }t_n=2^n\tan\left(\frac{\theta}{2^n}\right)
\]Montrer que les suites $(s_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(t_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sont adjacentes. En déduire qu'elles convergent et déterminer leurs limites.
Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ les suites définies, pour $n \in \mathbb{N}$,par :\[
u_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\text{ et }v_n=u_n+\frac{1}{n.n!}
\]
Montrer que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sont des suites adjacentes. On admettra dans la suite que leur limite commune est le nombre $e$.