Soit $\theta \in ]0,\pi/2[$. Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose :\[
s_n=2^n\sin\left(\frac{\theta}{2^n}\right) \text{ et }t_n=2^n\tan\left(\frac{\theta}{2^n}\right)
\]Montrer que les suites $(s_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(t_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sont adjacentes. En déduire qu'elles convergent et déterminer leurs limites.
Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ les suites définies, pour $n \in \mathbb{N}$,par :\[
u_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\text{ et }v_n=u_n+\frac{1}{n.n!}
\]
Montrer que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sont des suites adjacentes. On admettra dans la suite que leur limite commune est le nombre $e$.