Déterminer un équivalent simple de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[
u_n=\frac{\ln(n+1)-\ln(n)}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}.
\]
Déterminer un équivalent simple de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}$, par :\[
u_n=\frac{\ln(1+n^3)}{2n+\sqrt{n}+1}.
\]
Déterminer un équivalent simple de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[
u_n=n^2\left(1+\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right)^n.
\]
On considère la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}$, par :\[
u_n = \sum_{k=0}^n k!.
\]Montrer que $u_n\underset{n \rightarrow +\infty}{\sim}n!$.
Soit $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite à valeurs dans $\mathbb{R}_+^*$ telle que :\[
\frac{u_{n+1}}{u_n}\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0
\]Montrer que $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ converge et déterminer sa limite.
Soit $(H_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ la suite définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[
H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}
\]
Montrer que, pour tout entier $n$ non nul, $H_{2n}-H_n \geqslant \frac{1}{2}$. En déduire que $H_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty$.
Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite à valeurs réelles. Montrer que si $n(u_{n+1}-u_n)\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty$, alors $u_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty$.
Déterminer la limite, si elle existe, de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[
u_n=\left(1+\frac{x}{n}\right)^n \text{ où }x \in \mathbb{R}
\]
On considère la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[
\begin{cases}
u_0=1& \\
u_{n+1}= \sqrt{u_n+1}&\text{ pour }n \in \mathbb{N}
\end{cases}
\]
Montrer que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est bien définie.
Déterminer la nature de $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$.
On considère la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par : \[
\begin{cases}
u_0=1 &\\
u_{n+1}=u_n+\frac{1}{u_n}&\textrm{ pour }n\in\mathbb{N}
\end{cases}
\]
Montrer que la suite est bien définie puis après avoir justifié son existence, déterminer sa limite.
Déterminer un équivalent simple de $u_n$ quand $n$ tend vers l'infini.
Déterminer une expression explicite du terme général de la suite récurrente double $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[
\begin{cases}
u_0=1,\; u_1=2& \\
u_{n+2}=u_{n+1}-u_n& \forall\;n \in \mathbb{N}.
\end{cases}
\]
Déterminer une expression explicite du terme général de la suite récurrente double $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[
\begin{cases}
u_0=1,\; u_1=-1& \\
2u_{n+2}=3u_{n+1}-u_n& \forall\;n \in \mathbb{N}.
\end{cases}
\]
Déterminer une expression explicite du terme général de la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[
\begin{cases}
u_0=0 \\
u_{n+1}=\frac{u_n+1}{2}& \forall\;n \in \mathbb{N}.
\end{cases}
\]
Soit $\theta \in ]0,\pi/2[$. Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose :\[
s_n=2^n\sin\left(\frac{\theta}{2^n}\right) \text{ et }t_n=2^n\tan\left(\frac{\theta}{2^n}\right)
\]Montrer que les suites $(s_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(t_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sont adjacentes. En déduire qu'elles convergent et déterminer leurs limites.
Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ les suites définies, pour $n \in \mathbb{N}$,par :\[
u_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\text{ et }v_n=u_n+\frac{1}{n.n!}
\]
Montrer que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sont des suites adjacentes. On admettra dans la suite que leur limite commune est le nombre $e$.