Déterminer un équivalent simple de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[ u_n=\frac{\ln(n+1)-\ln(n)}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}.\]

Déterminer un équivalent simple de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}$, par :\[ u_n=\frac{\ln(1+n^3)}{2n+\sqrt{n}+1}.\]

Déterminer un équivalent simple de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[ u_n=n^2\left(1+\sin\left(\frac{1}{n}\right)\right)^n.\]

On considère la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}$, par :\[ u_n = \sum_{k=0}^n k!.\]Montrer que $u_n\underset{n \rightarrow +\infty}{\sim}n!$.

Soit $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ une suite à valeurs dans $\mathbb{R}_+^*$ telle que :\[\frac{u_{n+1}}{u_n}\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}0\]Montrer que $(u_n)_{n\in \mathbb{N}}$ converge et déterminer sa limite.

Soit $(H_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ la suite définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\]

1. Montrer que, pour tout entier $n$ non nul, $H_{2n}-H_n \geqslant \frac{1}{2}$. En déduire que $H_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty$.
2. Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite à valeurs réelles. Montrer que si $n(u_{n+1}-u_n)\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty$, alors $u_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty$.

Déterminer la limite, si elle existe, de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}$, par :\[ u_n=\frac{n!}{n^n}\]

Déterminer la limite, si elle existe, de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[ u_n=\left(1+\frac{x}{n}\right)^n \text{ où }x \in \mathbb{R}\]

Déterminer la limite, si elle existe, de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}^*$, par :\[ u_n=\sqrt[n]{n}\]

Montrer que la suite $(\cos(n))_{n \in \mathbb{N}}$ diverge.

On considère la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[ \begin{cases} u_0=1& \\ u_{n+1}= \sqrt{u_n+1}&\text{ pour }n \in \mathbb{N} \end{cases}\]

1. Montrer que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est bien définie.
2. Déterminer la nature de $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$.

Déterminer une expression explicite du terme général de la suite récurrente double $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[\begin{cases}u_0=1,\; u_1=2& \\u_{n+2}=u_{n+1}-u_n& \forall\;n \in \mathbb{N}.\end{cases}\]

Déterminer une expression explicite du terme général de la suite récurrente double $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[\begin{cases}u_0=1,\; u_1=-1& \\2u_{n+2}=3u_{n+1}-u_n& \forall\;n \in \mathbb{N}.\end{cases}\]

Déterminer une expression explicite du terme général de la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[\begin{cases}u_0=0 \\u_{n+1}=\frac{u_n+1}{2}& \forall\;n \in \mathbb{N}.\end{cases}\]

Soit $\theta \in ]0,\pi/2[$. Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose :\[s_n=2^n\sin\left(\frac{\theta}{2^n}\right) \text{ et }t_n=2^n\tan\left(\frac{\theta}{2^n}\right)\]Montrer que les suites $(s_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(t_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sont adjacentes. En déduire qu'elles convergent et déterminer leurs limites.

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ les suites définies, pour $n \in \mathbb{N}$,par :\[u_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\text{ et }v_n=u_n+\frac{1}{n.n!}\]

1. Montrer que $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sont des suites adjacentes.
   On admettra dans la suite que leur limite commune est le nombre $e$.
2. Montrer par l'absurde que $e$ est irrationnel.