On considère la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[ \begin{cases} u_0=1& \\ u_{n+1}= \sqrt{u_n+1}&\text{ pour }n \in \mathbb{N} \end{cases}\]

1. Montrer que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ est bien définie.
2. Déterminer la nature de $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$.

Déterminer une expression explicite du terme général de la suite récurrente double $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[\begin{cases}u_0=1,\; u_1=2& \\u_{n+2}=u_{n+1}-u_n& \forall\;n \in \mathbb{N}.\end{cases}\]

Déterminer une expression explicite du terme général de la suite récurrente double $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[\begin{cases}u_0=1,\; u_1=-1& \\2u_{n+2}=3u_{n+1}-u_n& \forall\;n \in \mathbb{N}.\end{cases}\]

Déterminer une expression explicite du terme général de la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par :\[\begin{cases}u_0=0 \\u_{n+1}=\frac{u_n+1}{2}& \forall\;n \in \mathbb{N}.\end{cases}\]