On pose, pour $n \in \mathbb{N}$ :\[
I_n = \int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan^n(t)\text{d}t.
\]
Calculer la limite de la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$.
Pour $n \in \mathbb{N}$, établir une relation entre $I_n$ et $I_{n+2}$ puis en déduire une expression de $I_{2n}$ et de $I_{2n+1}$ sous forme de somme.
Application : justifier la convergence et calculer les sommes des séries suivantes \[
\sum \frac{(-1)^n}{2n+1} \text{ et }\sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n-1}}{n}.
\]
Soit $f:\mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue et bornée sur $\mathbb{R}_+$. Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose :\[
I_n = \int_0^{+\infty}\frac{nf(t)}{1+n^2t^2}\text{d}t.
\]
Montrer que l'intégrale $I_n$ est convergente pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Déterminer la limite de la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$.