On pose, pour $n \in \mathbb{N}$ :\[ I_n = \int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan^n(t)\text{d}t.\]

1. Calculer la limite de la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$.
2. Pour $n \in \mathbb{N}$, établir une relation entre $I_n$ et $I_{n+2}$ puis en déduire une expression de $I_{2n}$ et de $I_{2n+1}$ sous forme de somme.
3. Application : justifier la convergence et calculer les sommes des séries suivantes \[ \sum \frac{(-1)^n}{2n+1} \text{ et }\sum_{n \geqslant 1} \frac{(-1)^{n-1}}{n}. \]

Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose :\[ I_n = \int_0^{+\infty}\frac{1}{1+t^2(1+t^n)}\text{d}t.\]

1. Montrer que l'intégrale $I_n$ est convergente pour tout $n \in \mathbb{N}$.
2. Déterminer la limite de la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$.

Soit $f:\mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue et bornée sur $\mathbb{R}_+$. Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose :\[ I_n = \int_0^{+\infty}\frac{nf(t)}{1+n^2t^2}\text{d}t.\]

1. Montrer que l'intégrale $I_n$ est convergente pour tout $n \in \mathbb{N}$.
2. Déterminer la limite de la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$.

Montrer l'égalité :\[ \int_0^1 \frac{\ln(t)^2}{1+t^2}\text{d}t = 2\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^3}.\]

Montrer l'égalité :\[ \int_0^1 \frac{1}{t^t}\text{d}t = \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^n}.\]