Exercices de la catégorie Séries numériques
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Séries numériques : liste des exercices
Exercice #599
Énoncé
Montrer la convergence de la série associé à la somme : \[
\sum_{n=0}^{+\infty}n4^{-n}
\] puis la calculer à l'aide d'un produit de Cauchy.
Exercice #334
Énoncé
On considère la série : \[
\sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{n+\sqrt{n}}
\]
- Montrer que cette série est divergente et déterminer un équivalent simple (noté $v_n$ dans la suite) de sa somme partielle $S_n$.
- Montrer qu'il existe $\alpha \in \mathbb{R}$ tel que : \[ S_n-v_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}\alpha. \] On rappelle que $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} -\ln(n) \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} \gamma $ où $\gamma$ est la constante d'Euler.
Exercice #595
Énoncé
Montrer que la série $\displaystyle \sum \frac{1}{\ln(1+4^{-n})}$ diverge puis déterminer un équivalent simple de sa somme partielle $S_n$ d'ordre $n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
Exercice #598
Énoncé
Montrer que la série $\displaystyle \sum_{n\geqslant 1} \frac{\ln(n)}{n!}$ converge puis déterminer un équivalent simple de son reste $R_n$ d'ordre $n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
Exercice #596
Énoncé
On considère la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par : \[
\begin{cases}
u_0=1 &\\
u_{n+1}=u_n+\frac{1}{u_n}&\textrm{ pour }n\in\mathbb{N}
\end{cases}
\]
- Montrer que la suite est bien définie puis après avoir justifié son existence, déterminer sa limite.
- Déterminer un équivalent simple de $u_n$ quand $n$ tend vers l'infini.
Exercice #597
Énoncé
Montrer que la série $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} \frac{4^n}{n}$ diverge puis déterminer un équivalent simple de sa somme partielle $S_n$ d'ordre $n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
Exercice #562
Énoncé
Déterminer, en fonction du réel $\alpha$, la nature de la série $\sum_{n \geqslant 1} u_n$ de terme général :\[
u_n = \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\dots+ \sqrt{n}}{n^\alpha}.
\]Même question avec la série de terme général $(-1)^nu_n$.
Exercice #332
Énoncé
Déterminer la nature de la série : \[
\sum_{n \geqslant 1}\frac{1}{n^{(1+\frac{1}{n})}}
\]
Exercice #555
Énoncé
Déterminer la nature de la série $\sum_{n \geqslant 2} u_n$ de terme général :\[
u_n = \frac{1}{\sqrt{n^2-1}}-\frac{1}{\sqrt{n^2+1}}.
\]
Exercice #561
Énoncé
Montrer la convergence et calculer la somme de la série $\sum_{n \geqslant 1} u_n$ de terme général :\[
u_n = \frac{1}{n(n+1)(n+2)}.
\]
Exercice #560
Énoncé
Montrer la convergence et calculer la somme de la série $\sum u_n$ de terme général :\[
u_n = \frac{n^2-2}{n!}.
\]
Exercice #561
Énoncé
Montrer la convergence et calculer la somme de la série $\sum_{n \geqslant 1} u_n$ de terme général :\[
u_n = \frac{1}{n(n+1)(n+2)}.
\]
Exercice #559
Énoncé
Déterminer la nature de la série $\sum_{n \geqslant 2} u_n$ de terme général :\[
u_n = \ln\left(1+\frac{(-1)^n}{n}\right)
\]puis déterminer sa somme.
Exercice #558
Énoncé
Déterminer la nature de la série $\sum u_n$ de terme général :\[
u_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}.
\]
Exercice #559
Énoncé
Déterminer la nature de la série $\sum_{n \geqslant 2} u_n$ de terme général :\[
u_n = \ln\left(1+\frac{(-1)^n}{n}\right)
\]puis déterminer sa somme.
Exercice #331
Énoncé
Déterminer la nature de la série : \[
\sum_{n \geqslant 1}\frac{(-1)^n}{\sqrt[n]{n!}}
\]
Exercice #562
Énoncé
Déterminer, en fonction du réel $\alpha$, la nature de la série $\sum_{n \geqslant 1} u_n$ de terme général :\[
u_n = \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\dots+ \sqrt{n}}{n^\alpha}.
\]Même question avec la série de terme général $(-1)^nu_n$.
Exercice #563
Énoncé
On considère la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ à valeurs réelles telle que $u_0> 0$ et pour tout $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=1-e^{-u_n}$.
- Étudier la nature de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ et déterminer sa limite si elle existe.
- Étudier la nature de la série $\sum (-1)^nu_n$.
- Étudier la nature de la série $\sum u_n^2$.
- Étudier la nature de la série $\sum u_n$.
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