Montrer que la fonction $\displaystyle f: x \mapsto \begin{cases} \frac{1-\cos(2x)}{x^2}&\text{ si }x \in \mathbb{R}^* \\ 2&\text{ si }x=0 \end{cases}$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$.

Montrer que la fonction $f$ suivante est développable en série entière et déterminer son développement : \[ f:x \mapsto \ln(x^2-6x+8) \]

Montrer que la fonction $f$ suivante est développable en série entière et déterminer son développement : \[ f:x \mapsto \int_0^x \text{sh}(t^3)\text{d}t. \]

On considère la fonction $f:x \mapsto \text{arcsin}(x)^2$.

1. Déterminer une relation reliant $f''$ et $f'$ sur $]-1,1[$.
2. En déduire le développement en série entière de $f$.