Soit $\displaystyle \sum a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence noté $R$. Déterminer la rayon de convergence de la série entière $\displaystyle \sum a_n^2 z^n$.
Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tel que : \[
\begin{cases}
a_0=1 \text{ et }a_1=0 \\
a_{n+2}=4a_{n+1}-4a_n\text{ pour }n \in \mathbb{N}
\end{cases}
\] Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum a_n z^n$ puis exprimer sa somme sur l'intervalle $]-R,R[$ à l'aide de fonctions usuelles.
Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose :\[
a_n=\text{Card}\left\lbrace (p,q) \in \mathbb{N}^2 \; | \; p+3q = n \right\rbrace.
\] Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum a_n z^n$ puis exprimer sa somme sur l'intervalle $]-R,R[$ à l'aide de fonctions usuelles.
Soit $p \in \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathcal{M}_p(\mathbb{C})$. On considère la série entière $\sum \text{Tr}(A^n)z^n$. Déterminer son rayon de convergence $R$ et exprimer sa somme $S$ sur le disque ouvert de convergence en fonction du polynôme caractéristique $\chi_A$ de $A$.
Montrer que la fonction $\displaystyle f: x \mapsto
\begin{cases}
\frac{1-\cos(2x)}{x^2}&\text{ si }x \in \mathbb{R}^* \\
2&\text{ si }x=0
\end{cases}$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$.
Montrer que la fonction $f$ suivante est développable en série entière et déterminer son développement : \[
f:x \mapsto \int_0^x \text{sh}(t^3)\text{d}t.
\]