Déterminer le rayon de convergence de la série entière : \[ \sum_{n \geqslant 2} \frac{\sqrt{n}}{\ln(n)}z^{2n}. \]

Déterminer le rayon de convergence de la série entière : \[ \sum e^{-\sqrt{n}}z^{n}. \]

Déterminer le rayon de convergence de la série entière : \[ \sum \frac{8^n(n+\sqrt{n})}{n^2+4}z^{3n}. \]

Déterminer le rayon de convergence de la série entière : \[ \sum \frac{\cos(n)}{n}z^{n}. \]

Déterminer le rayon de convergence de la série entière : \[ \sum \ln(n!)^2z^{n}. \]

Soit $\displaystyle \sum a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence noté $R$. Déterminer la rayon de convergence de la série entière $\displaystyle \sum a_n^2 z^n$.

On considère la série entière $\displaystyle \sum_{n\geqslant 1}\frac{1}{\sqrt{n}}z^n$ de somme notée $S$.

1. Déterminer le rayon de convergence $R$ de cette série entière.
2. Étudier les continuité/limites de $S$ aux bornes de l'intervalle $]-R,R[$.

Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tel que : \[ \begin{cases} a_0=1 \text{ et }a_1=0 \\ a_{n+2}=4a_{n+1}-4a_n\text{ pour }n \in \mathbb{N} \end{cases} \] Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum a_n z^n$ puis exprimer sa somme sur l'intervalle $]-R,R[$ à l'aide de fonctions usuelles.

On considère la série entière $\displaystyle \sum_{n\geqslant 1}\frac{\cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right)}{n}z^n$ de somme notée $S$.

1. Déterminer le rayon de convergence $R$ de cette série entière.
2. Exprimes $S$ à l'aide de fonctions usuelles sur $]-R,R[$.

Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose :\[ a_n=\text{Card}\left\lbrace (p,q) \in \mathbb{N}^2 \; | \; p+3q = n \right\rbrace.\] Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum a_n z^n$ puis exprimer sa somme sur l'intervalle $]-R,R[$ à l'aide de fonctions usuelles.

Soit $p \in \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathcal{M}_p(\mathbb{C})$. On considère la série entière $\sum \text{Tr}(A^n)z^n$.
Déterminer son rayon de convergence $R$ et exprimer sa somme $S$ sur le disque ouvert de convergence en fonction du polynôme caractéristique $\chi_A$ de $A$.

Montrer que la fonction $\displaystyle f: x \mapsto \begin{cases} \frac{1-\cos(2x)}{x^2}&\text{ si }x \in \mathbb{R}^* \\ 2&\text{ si }x=0 \end{cases}$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$.

Montrer que la fonction $f$ suivante est développable en série entière et déterminer son développement : \[ f:x \mapsto \ln(x^2-6x+8) \]

Montrer que la fonction $f$ suivante est développable en série entière et déterminer son développement : \[ f:x \mapsto \int_0^x \text{sh}(t^3)\text{d}t. \]

On considère la fonction $f:x \mapsto \text{arcsin}(x)^2$.

1. Déterminer une relation reliant $f''$ et $f'$ sur $]-1,1[$.
2. En déduire le développement en série entière de $f$.