Soit $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ tel que : \[ \begin{cases} a_0=1 \text{ et }a_1=0 \\ a_{n+2}=4a_{n+1}-4a_n\text{ pour }n \in \mathbb{N} \end{cases} \] Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum a_n z^n$ puis exprimer sa somme sur l'intervalle $]-R,R[$ à l'aide de fonctions usuelles.

On considère la série entière $\displaystyle \sum_{n\geqslant 1}\frac{\cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right)}{n}z^n$ de somme notée $S$.

1. Déterminer le rayon de convergence $R$ de cette série entière.
2. Exprimes $S$ à l'aide de fonctions usuelles sur $]-R,R[$.

Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose :\[ a_n=\text{Card}\left\lbrace (p,q) \in \mathbb{N}^2 \; | \; p+3q = n \right\rbrace.\] Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum a_n z^n$ puis exprimer sa somme sur l'intervalle $]-R,R[$ à l'aide de fonctions usuelles.

Soit $p \in \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathcal{M}_p(\mathbb{C})$. On considère la série entière $\sum \text{Tr}(A^n)z^n$.
Déterminer son rayon de convergence $R$ et exprimer sa somme $S$ sur le disque ouvert de convergence en fonction du polynôme caractéristique $\chi_A$ de $A$.