Pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in \mathbb{R}$, on pose $\displaystyle f_n(x) = \frac{2x}{x^2 + n^2}$.
Justifier la convergence simple sur $\mathbb{R}$ de la série de fonctions $\displaystyle \sum_{n\geqslant 1}f_n$. On note $S$ la somme de cette série de fonctions sur $\mathbb{R}$ :\[
S:x \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty}f_n(x).
\]
Justifier la continuité de $S$ sur $\mathbb{R}$.
Montrer que $\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} S(x) = \pi$.
Indications
Déterminer un équivalent simple de $|f_n(x)|$ pour $x \neq 0$.
Étudier la convergence normale sur $[-a,a]$ pour tout $a> 0$.
Procéder par comparaison série/intégrale.
Correction
CVS sur $\mathbb{R}$ : Soit $x \in \mathbb{R}$. Étudions la nature de $\sum_{n \geqslant 1} f_n(x)$. Si $x = 0$, $f_n(0)=0$ est le terme général d'une série convergente. Si $x \neq 0$,\[
|f_n(x)| \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} \frac{2|x|}{n^2}
\]Or, $\frac{1}{n^2}$ est le terme général d'une série convergente, donc, $\frac{2|x|}{n^2}$ l'est aussi et ainsi, par comparaison, la série numérique $\sum_{n \geqslant 1} f_n(x)$ converge absolument et donc converge. Par suite, la série de fonctions $\sum_{n \geqslant 1} f_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}$. (Et ainsi, $S$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.)
Vérifions les hypothèses du théorème de continuité des sommes de séries de fonctions.
Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $f_n$ est continue sur $\mathbb{R}$ comme quotient de fonctions continue sur $\mathbb{R}$ (car polynomiale) dont le dénominateur ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$.
Montrons la convergence uniforme (au moins) sur tout segment de $\mathbb{R}$. Soit $a \in \mathbb{R}_+^*$. CVN sur $[-a,a]$ : Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Pour tout $x \in [-a,a]$, on a, comme $0\leqslant |x| \leqslant a$ : \[
|f_n(x)|=\frac{2|x|}{x^2+n^2}\leqslant \frac{2a}{n^2}
\] Donc $f_n$ est bornée sur $[-a,a]$ et sur $[-a,a]$, $\|f_n\|_{\infty}\leqslant \frac{2a}{n^2}$ qui est le terme général d'une série convergente (comme dans la question 1). Ainsi, par comparaison, $\sum_{n \geqslant 1} \|f_n\|_{\infty}$ converge i.e. $\sum_{n \geqslant 1} f_n$ converge normalement sur $[-a,a]$, et ce, pour tout réel $a > 0$. Comme tout segment de $\mathbb{R}$ est inclus dans un intervalle de la forme $[-a,a]$ avec $a> 0$, la série de fonctions $\sum_{n \geqslant 1} f_n$ converge normalement sur tout segment de $\mathbb{R}$ et donc, la série de fonctions $\sum_{n \geqslant 1} f_n$ converge uniformément sur tout segment de $\mathbb{R}$ car "CVN implique CVU".
Ainsi, les hypothèses étant vérifiées, d'après le théorème de continuité des sommes de séries de fonctions, la fonction $S$ est continue sur $\mathbb{R}$.
Remarque : on aurait pu tenter la CVN sur $\mathbb{R}$ mais ça n'aurait pas fonctionné; en effet, on peut montrer que sur $\mathbb{R}$, $\|f_n\|_{\infty}=\frac{2}{n}$ (atteint en $x=n$) qui est le terme général d'une série divergente. Et il n'y a pas CVU sur $\mathbb{R}$ non plus : en posant $x_n=n$, on vérifie que $\|R_n\|_{\infty}\geqslant R_n(x_n) \geqslant \frac{2}{5}$ (en restreignant la somme de $n+1$ à $2n$).
D'après la remarque précédente, on ne peut pas appliquer le théorème d'interversion limite/somme (théorème de double limite pour les séries de fonctions). Il faut trouver une autre façon de faire : par exemple, une comparaison série/intégrale (le terme général fait penser à quelque chose ressemblant à la dérivée de arctangente). Fixons un réel $x > 0$. On pose $g:t\mapsto \frac{2x}{x^2+t^2}$. Alors $g$ est positive, continue et décroissante sur $\mathbb{R}_+$ donc, par comparaison série/intégrale :
$\sum_{n \geqslant 1} f_n(x)$ et $\int_0^{+\infty}g(t) \text{d}t$ sont de même nature et donc convergentes car $\sum_{n \geqslant 1} f_n(x)$ converge (question 1).
Et de plus, on a : \[
\int_1^{+\infty}g(t) \text{d}t\leqslant S(x)=\sum_{n =1}^{+\infty} f_n(x) \leqslant \int_0^{+\infty}g(t) \text{d}t
\]
Or, on remarque que, pour $t \in \mathbb{R}_+$,\[
g(t)=\frac{2x}{x^2+t^2}=2\frac{\frac{1}{x}}{1+\left(\frac{t}{x}\right)^2} = \frac{\text{d}}{\text{d}t}2\textrm{arctan}\left(\frac{t}{x}\right),
\]donc :\[
\pi-2\textrm{arctan}\left(\frac{1}{x}\right)=\left[2\textrm{arctan}\left(\frac{t}{x}\right)\right]_1^{+\infty}\leqslant S(x) \leqslant \left[2\textrm{arctan}\left(\frac{t}{x}\right)\right]_0^{+\infty} = \pi
\]Et, ainsi, comme $\textrm{arctan}\left(\frac{1}{x}\right) \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{}0$, d'après le théorème des gendarmes, on obtient :\[
\lim_{x \rightarrow +\infty}S(x)=\pi.
\]Remarque : Avec ce qu'on vient de calculer, on obtient une nouvelle façon de prouver qu'il n'y a pas CVU sur $\mathbb{R}$; en effet, par l'absurde, si $\sum_{n \geqslant 1} f_n$ CVU sur $\mathbb{R}$, comme, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $f_n(x) \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{}0$, d'après le théorème d'interversion limite/somme, on a $\pi=\lim_{x \rightarrow +\infty}S(x)=0$. Contradiction !
Montrer que la fonction $\displaystyle \eta: s \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^s}$ est définie et de classe $C^{\infty}$ sur $]0,+\infty[$.