Étudier les convergences simple, uniforme et normale sur $\mathbb{R}_+$ de la série de fonctions $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1}f_n$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $t \in \mathbb{R}_+$ : \[ f_n(t) = \frac{(-1)^n}{n+x}. \]

On considère la série de fonctions $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} f_n$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in \mathbb{R}_+$ : \[ f_n(x) = \frac{1}{n+n^2x}. \]

1. Montrer que $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1}f_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}_+^*$. Est-ce toujours vrai sur $\mathbb{R}_+$ ?
2. Étudier la convergence normale et uniforme de $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} f_n$ sur $[a,+\infty[$ avec $a>0$ puis sur $\mathbb{R}_+^*$.

Soit $(\alpha_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite décroissante à valeurs dans $\mathbb{R}_+$. On considère la série de fonctions $\displaystyle \sum f_n$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}$ et $t \in [0,1]$ : \[ f_n(t) = \alpha_nt^n(1-t). \]

1. Montrer que $\sum f_n$ converge simplement sur $[0,1]$.
2. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que $\sum f_n$ converge normalement sur $[0,1]$.
3. Montrer que $\sum f_n$ converge uniformément sur $[0,1]$ si, et seulement si, $(\alpha_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $0$.

On considère la fonction $\displaystyle f : t \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{\ln(nt)}$.

1. Montrer que $f$ est définie et continue sur $]1,+\infty[$.
2. Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$ et en $1$.
3. Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $]1,+\infty[$.
4. Dresser le tableau de variations de $f$.

On considère la fonction $\displaystyle f : x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(x+n).n!}$.

1. Montrer que $f$ est définie et de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$.
2. Dresser le tableau des variations de $f$ sur $]0,+\infty[$ en précisant les limites de $f$ aux bornes de cet intervalle.
3. Montrer que, pour tout $x \in ]0,+\infty[$ : \[ xf(x)-f(x+1)=\frac{1}{e}, \]
4. En déduire des équivalents simples de $f$ en $0^+$ et en $+\infty$.

On considère la fonction $\displaystyle f : x \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x^n\sin(nx)}{n}$.

1. Montrer que $f$ est définie et de classe $C^1$ sur $]-1,1[$.
2. Montrer que, pour tout $x \in ]-1,1[$ : \[ f(x)=\text{arctan}\left(\frac{x\sin(x)}{1-x\cos(x)}\right). \]

On considère la fonction $\displaystyle f : x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}e^{-x\sqrt{n}}$.

1. Montrer que $f$ est définie et de classe $C^{\infty}$ sur $]0,+\infty[$.
2. Dresser le tableau des variations de $f$ sur $]0,+\infty[$ en précisant la limite de $f$ en $+\infty$.
3. Grâce à une comparaison série/intégrale, déterminer un équivalent de $f$ en $0^+$.

On considère la fonction $\displaystyle f : x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{x(x+1)...(x+n)}$.

1. Montrer que $f$ est définie et continue sur $]0,+\infty[$ puis déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
2. Pour $x \in ]0,+\infty[$, déterminer une relation entre $f(x+1)$ et $f(x)$ puis en déduire des équivalents simples de $f$ en $+\infty$ et $0^+$.

Montrer que la fonction $\displaystyle \eta: s \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^s}$ est définie et de classe $C^{\infty}$ sur $]0,+\infty[$.