Étudier les convergences simple, uniforme et normale sur $\mathbb{R}_+$ de la série de fonctions $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1}f_n$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $t \in \mathbb{R}_+$ : \[ f_n(t) = \frac{(-1)^n}{n+x}. \]

On considère la série de fonctions $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} f_n$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in \mathbb{R}_+$ : \[ f_n(x) = \frac{1}{n+n^2x}. \]

1. Montrer que $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1}f_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}_+^*$. Est-ce toujours vrai sur $\mathbb{R}_+$ ?
2. Étudier la convergence normale et uniforme de $\displaystyle \sum_{n \geqslant 1} f_n$ sur $[a,+\infty[$ avec $a>0$ puis sur $\mathbb{R}_+^*$.

Soit $(\alpha_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite décroissante à valeurs dans $\mathbb{R}_+$. On considère la série de fonctions $\displaystyle \sum f_n$ telle que, pour $n \in \mathbb{N}$ et $t \in [0,1]$ : \[ f_n(t) = \alpha_nt^n(1-t). \]

1. Montrer que $\sum f_n$ converge simplement sur $[0,1]$.
2. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que $\sum f_n$ converge normalement sur $[0,1]$.
3. Montrer que $\sum f_n$ converge uniformément sur $[0,1]$ si, et seulement si, $(\alpha_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge vers $0$.