On considère $E=\mathbb{K}[X]$ où $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Pour $P \in E$, on pose :\[
\|P\| = \int_0^{+\infty}|P(t)|e^{-t}\text{d}t.
\]
Montrer que $\|\cdot\|$ est bien définie sur $E$ et qu'il s'agit d'une norme sur cet espace.
Soit $n \in \mathbb{N}$. On note $P_n=X^n$. Calculer $\|P_n\|$.
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Pour $A \in M_n(\mathbb{R})$, on note :\[
\|A\|=\sqrt{\text{Tr}\left({}^{t}\mkern-3mu AA\right)}.
\]
Montrer que l'application $\|\cdot\|$ est bien définie sur $M_n(\mathbb{R})$ et qu'il s'agit d'une norme sur cet espace.
Montrer que $\|\cdot\|$ est de plus une norme d'algèbre sur $M_n(\mathbb{R})$ i.e. pour tout $A,B \in M_n(\mathbb{R})$ : \[
\|AB\|\leqslant \|A\|.\|B\|
\]
On considère l'application $N: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ définie, pour $(x,y) \in \mathbb{R}^2$, par :\[
N(x,y) = \int_{0}^1\left|x+ty\right| \text{d}t.
\]
Montrer que l'application $N$ une norme sur $\mathbb{R}^2$.
Pour $(x,y) \in \mathbb{R}^2$, remarquer que $N(x,y)=N(-x,-y)$ puis déterminer $N(x,y)$ une expression explicite (i.e. sans intégrale) de $N(x,y)$ en fonction de $x,y$.
On note $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Soit $n \in \mathbb{N}^*$ On munit $M_{n,1}(\mathbb{K})$ de la norme infinie $\|\cdot\|_{\infty}$ i.e. pour $X=\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix} \in M_{n,1}(\mathbb{K})$, $\displaystyle\|X\|_{\infty}= \max_{1\leqslant i \leqslant n}(|x_i|)$ et $S$ la sphère unité associée à cette norme. On pose, pour $A \in M_n(\mathbb{K})$ :\[
N(A)=\sup_{X \in S}\left(\|AX\|\right).
\]
Montrer que l'application $N$ est bien définie sur $M_n(\mathbb{R})$ et que pour tout $Y \in M_{n,1}(\mathbb{K})$, $\|AY\|\leqslant N(A)\|Y\|$.
Montrer que $N$ est une norme sur $M_n(\mathbb{K})$.
Montrer que, pour tout $A \in M_n(\mathbb{K})$ : \[
N(A)= \sup_{1\leqslant i \leqslant n} \left(\sum_{j=1}^n |a_{ij}|\right).
\]