On considère $E=\mathbb{K}[X]$ où $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Pour $P \in E$, on pose :\[\|P\| = \int_0^{+\infty}|P(t)|e^{-t}\text{d}t.\]

1. Montrer que $\|\cdot\|$ est bien définie sur $E$ et qu'il s'agit d'une norme sur cet espace.
2. Soit $n \in \mathbb{N}$. On note $P_n=X^n$. Calculer $\|P_n\|$.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Pour $A \in M_n(\mathbb{R})$, on note :\[ \|A\|=\sqrt{\text{Tr}\left({}^{t}\mkern-3mu AA\right)}.\]

1. Montrer que l'application $\|\cdot\|$ est bien définie sur $M_n(\mathbb{R})$ et qu'il s'agit d'une norme sur cet espace.
2. Montrer que $\|\cdot\|$ est de plus une norme d'algèbre sur $M_n(\mathbb{R})$ i.e. pour tout $A,B \in M_n(\mathbb{R})$ : \[ \|AB\|\leqslant \|A\|.\|B\| \]

On considère l'application $N: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ définie, pour $(x,y) \in \mathbb{R}^2$, par :\[ N(x,y) = \max\left(\sqrt{x^2+y^2},|x-y|\right).\]

1. Montrer que l'application $N$ est bien définie sur $\mathbb{R}^2$ et qu'il s'agit d'une norme sur cet espace.
2. Dessiner la boule unité fermée de cette norme.

On considère l'application $N: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ définie, pour $(x,y) \in \mathbb{R}^2$, par :\[ N(x,y) = \int_{0}^1\left|x+ty\right| \text{d}t.\]

1. Montrer que l'application $N$ une norme sur $\mathbb{R}^2$.
2. Pour $(x,y) \in \mathbb{R}^2$, remarquer que $N(x,y)=N(-x,-y)$ puis déterminer $N(x,y)$ une expression explicite (i.e. sans intégrale) de $N(x,y)$ en fonction de $x,y$.

On note $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Soit $n \in \mathbb{N}^*$ On munit $M_{n,1}(\mathbb{K})$ de la norme infinie $\|\cdot\|_{\infty}$ i.e. pour $X=\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix} \in M_{n,1}(\mathbb{K})$, $\displaystyle\|X\|_{\infty}= \max_{1\leqslant i \leqslant n}(|x_i|)$ et $S$ la sphère unité associée à cette norme.
On pose, pour $A \in M_n(\mathbb{K})$ :\[ N(A)=\sup_{X \in S}\left(\|AX\|\right).\]

1. Montrer que l'application $N$ est bien définie sur $M_n(\mathbb{R})$ et que pour tout $Y \in M_{n,1}(\mathbb{K})$, $\|AY\|\leqslant N(A)\|Y\|$.
2. Montrer que $N$ est une norme sur $M_n(\mathbb{K})$.
3. Montrer que, pour tout $A \in M_n(\mathbb{K})$ : \[ N(A)= \sup_{1\leqslant i \leqslant n} \left(\sum_{j=1}^n |a_{ij}|\right). \]