Soit $(x_0,y_0) \in A$. Posons $r = \frac{y_0-1}{33}$. Comme $(x_0,y_0) \in A$, on a $y_0 > 1$ d'où $r > 0$ et $r < y_0-1$.
Montrons que $B_f((x_0,y_0),r) \subset A$. Soit $(x,y) \in B_f((x_0,y_0),r)$. On cherche à montrer que $(x,y) \in A$ i.e. $y>1$.
On a : \[ y_0-y \leqslant |y-y_0|\leqslant \|(x,y)-(x_0,y_0)\|_2\leqslant r \] donc \[ y \geqslant y_0-r > y_0-(y_0-1)=1. \] Par suite, $(x,y) \in A$. Ainsi, $B_f((x_0,y_0),r) \subset A$.
Il en résulte que $A$ est un ouvert de $(\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_2)$.

On considère le point $(0,0) \in B$. Soit $r >0$. Alors le point $(0,-r)$ appartient à $B_f((0,0),r)$ car : \[ \|(0,0)-(0,-r)\|_2 = \|(0,r)\|_2=r \leqslant r. \] Or on a $0^3=0 > -r$, donc $B_f((0,0),r)$ n'est pas inclus dans $B$ et ce, quelque soit $r > 0$.
Par suite, $B$ n'est pas un ouvert de $(\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_2)$.

Soit $(x_0,y_0) \in C$. Posons $r = \frac{x_0-y_0}{33}$. Comme $(x_0,y_0) \in C$, on a $x_0 > y_0$ d'où $r > 0$ et $r < x_0-y_0$.
Montrons que $B_f((x_0,y_0),r) \subset C$. Soit $(x,y) \in B_f((x_0,y_0),r)$. On cherche à montrer que $(x,y) \in C$ i.e. $y < x$.
On a : \[ (y-x) +(x_0-y_0) = x_0-x+y-y_0 \leqslant |x-x_0|+|y-y_0| = \|(x,y)-(x_0,y_0)\|_1 \leqslant r \] donc \[ x-y \geqslant (x_0-y_0) - r > 0. \] Par suite, $(x,y) \in C$. Ainsi, $B_f((x_0,y_0),r) \subset C$.
Il en résulte que $C$ est un ouvert de $(\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_1)$.

Soit $f \in D$. La fonction $f$ est continue sur le segment $[0,1]$ donc elle y est bornée et y atteint ses bornes. Notons $m$ son minimum sur $[0,1]$.

Alors $B_f(f,\frac{m}{2}) \subset D$. En effet, si $g \in B_f(f,\frac{m}{2})$, alors, pour tout $x \in [0,1]$, \[ f(x)-g(x)\leqslant |g(x)-f(x)|\leqslant \|f-g\|_{\infty} \leqslant \frac{m}{2}. \] Ainsi, on a : \[ g(x) \geqslant f(x)-\frac{m}{2} > f(x)-m \geqslant 0 . \] Donc $g$ est strictement positive sur $[0,1]$.

Il en résulte que $D$ est un ouvert de $C([0,1],\mathbb{R})$ muni de la norme infinie.

Considérons $f:t \mapsto e^{-t^2}$. Comme $f$ tend vers $0$ en $\pm\infty$, pour tout $r > 0$, on pourra trouver une fonction dans $B_f(f,r)$ dont le graphe passe en dessous de l'axe des abscisses pour $|t|$ assez grand; $E$ n'est donc pas un ouvert.

Plus précisément, étant donné $r > 0$, exhibons une fonction $g \in B_f(f,r)$ qui n'est pas dans $E$.
On note $M=\begin{cases} \sqrt{-\ln(r)}&\text{ si }r\leqslant 1
0&\text{ si }r > 1 \end{cases}$.

Alors, pour $|t| > M$, par stricte décroissance de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}_+$ : \[ f(t)-r=f(|t|)-r < f(M)-r= e^{-M^2}-r=\begin{cases} 0\leqslant 0&\text{ si }r\leqslant 1
1-r \leqslant 0&\text{ si }r > 1 \end{cases}. \] Donc la fonction $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, définie, pour $t \in \mathbb{R}$, par $g(t)=f(t)-r$ appartient à la boule $B_f(f,r)$ car $\|f-g\|_{\infty}=r$ et n'est pas strictement positive car, d'après ce qui précéde, pour tout $|t| > M$, $g(t) < 0$. D'où $g \notin E$.

La suite $c=(c_n)_{n \in \mathbb{N}}$ constante en $33$ appartient à $F$. Soit $r > 0$. On considère la suite $u=(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}$ par : \[ u_n = 33+(-1)^nr \] Alors :

• $\|u\|_{\infty}=33+r$ donc $u \in \ell^{\infty}$.
• $\|u-c\|_{\infty}=r$ donc $u \in B_f(c,r)$.
• $u$ ne converge pas (elle possède $2$ valeurs d'adhérence distinctes $33-r$ et $33+r$) donc $u \notin F$.

Par suite, $F$ n'est pas un ouvert de $\ell^{\infty}$.