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Exercice #85

Détails de l'exercice #85

Exercice enregistré par M. Arnt

Matière : Mathématiques

Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.

Catégories :
En Mathématiques :
Analyse ⇐ Topologie ⇐ Espaces vectoriels normés ⇐ Étude de normes

Mots clés associés :
intégrale généralisée norme

Énoncé

On considère $E=\mathbb{K}[X]$ où $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Pour $P \in E$, on pose :
\[ \|P\| = \int_0^{+\infty}|P(t)|e^{-t}\text{d}t. \]

Montrer que $\|\cdot\|$ est bien définie sur $E$ et qu'il s'agit d'une norme sur cet espace.
Soit $n \in \mathbb{N}$. On note $P_n=X^n$. Calculer $\|P_n\|$.