Déterminer si l'ensemble suivant est un ouvert. Pour ce faire, on s'efforcera d'utiliser seulement la définition d'un ouvert dans un espace vectoriel normé - même si d'autres méthodes pourraient permettre de conclure.\[
A=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; y > 1 \} \text{ dans }(\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_2).
\]
Correction
Soit $(x_0,y_0) \in A$. Posons $r = \frac{y_0-1}{33}$. Comme $(x_0,y_0) \in A$, on a $y_0 > 1$ d'où $r > 0$ et $r < y_0-1$. Montrons que $B_f((x_0,y_0),r) \subset A$. Soit $(x,y) \in B_f((x_0,y_0),r)$. On cherche à montrer que $(x,y) \in A$ i.e. $y> 1$. On a : \[
y_0-y \leqslant |y-y_0|\leqslant \|(x,y)-(x_0,y_0)\|_2\leqslant r
\] donc \[
y \geqslant y_0-r > y_0-(y_0-1)=1.
\] Par suite, $(x,y) \in A$. Ainsi, $B_f((x_0,y_0),r) \subset A$. Il en résulte que $A$ est un ouvert de $(\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_2)$.
Déterminer si l'ensemble suivant est un ouvert. Pour ce faire, on s'efforcera d'utiliser seulement la définition d'un ouvert dans un espace vectoriel normé - même si d'autres méthodes pourraient permettre de conclure.\[
B=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; x^3\leqslant y \}\text{ dans }(\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_2).
\]
Correction
On considère le point $(0,0) \in B$. Soit $r > 0$. Alors le point $(0,-r)$ appartient à $B_f((0,0),r)$ car : \[
\|(0,0)-(0,-r)\|_2 = \|(0,r)\|_2=r \leqslant r.
\] Or on a $0^3=0 > -r$, donc $B_f((0,0),r)$ n'est pas inclus dans $B$ et ce, quelque soit $r > 0$. Par suite, $B$ n'est pas un ouvert de $(\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_2)$.
Déterminer si l'ensemble suivant est un ouvert. Pour ce faire, on s'efforcera d'utiliser seulement la définition d'un ouvert dans un espace vectoriel normé - même si d'autres méthodes pourraient permettre de conclure.\[
C=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; y < x\}\text{ dans }(\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_1).
\]
Correction
Soit $(x_0,y_0) \in C$. Posons $r = \frac{x_0-y_0}{33}$. Comme $(x_0,y_0) \in C$, on a $x_0 > y_0$ d'où $r > 0$ et $r < x_0-y_0$. Montrons que $B_f((x_0,y_0),r) \subset C$. Soit $(x,y) \in B_f((x_0,y_0),r)$. On cherche à montrer que $(x,y) \in C$ i.e. $y < x$. On a : \[
(y-x) +(x_0-y_0) = x_0-x+y-y_0 \leqslant |x-x_0|+|y-y_0| = \|(x,y)-(x_0,y_0)\|_1 \leqslant r
\] donc \[
x-y \geqslant (x_0-y_0) - r > 0.
\] Par suite, $(x,y) \in C$. Ainsi, $B_f((x_0,y_0),r) \subset C$. Il en résulte que $C$ est un ouvert de $(\mathbb{R}^2,\|\cdot\|_1)$.
On considère l'espace $E=C([0,1],\mathbb{R})$. L'ensemble :\[
F = \{f \in E \; | \; \int_0^{\frac{1}{2}}f(t) \,\text{d}t \leqslant 0\}
\]est-il un fermé de ...
$(E,\|\cdot\|_{\infty})$ ?
$(E,\|\cdot\|_1)$ ?
On s'efforcera d'utiliser la définition d'un fermé dans un espace vectoriel normé.
Déterminer si l'ensemble suivant est un ouvert. Pour ce faire, on s'efforcera d'utiliser seulement la définition d'un ouvert dans un espace vectoriel normé - même si d'autres méthodes pourraient permettre de conclure.\[
D = \{ f \in C([0,1],\mathbb{R}) \; | \; \forall\,x \in [0,1], \; f(x) > 0 \}\text{ dans }(C([0,1],\mathbb{R}),\|\cdot\|_{\infty}).
\]
Correction
Soit $f \in D$. La fonction $f$ est continue sur le segment $[0,1]$ donc elle y est bornée et y atteint ses bornes. Notons $m$ son minimum sur $[0,1]$.
Alors $B_f(f,\frac{m}{2}) \subset D$. En effet, si $g \in B_f(f,\frac{m}{2})$, alors, pour tout $x \in [0,1]$, \[
f(x)-g(x)\leqslant |g(x)-f(x)|\leqslant \|f-g\|_{\infty} \leqslant \frac{m}{2}.
\] Ainsi, on a : \[
g(x) \geqslant f(x)-\frac{m}{2} > f(x)-m \geqslant 0 .
\] Donc $g$ est strictement positive sur $[0,1]$.
Il en résulte que $D$ est un ouvert de $C([0,1],\mathbb{R})$ muni de la norme infinie.
Déterminer si l'ensemble suivant est un ouvert. Pour ce faire, on s'efforcera d'utiliser seulement la définition d'un ouvert dans un espace vectoriel normé - même si d'autres méthodes pourraient permettre de conclure.\[
E = \{ f \in C(\mathbb{R},\mathbb{R}) \; | \; \forall\,x \in \mathbb{R}, \; f(x) > 0 \}\text{ dans }(C(\mathbb{R},\mathbb{R}),\|\cdot\|_{\infty}).
\]
Correction
Considérons $f:t \mapsto e^{-t^2}$. Comme $f$ tend vers $0$ en $\pm\infty$, pour tout $r > 0$, on pourra trouver une fonction dans $B_f(f,r)$ dont le graphe passe en dessous de l'axe des abscisses pour $|t|$ assez grand; $E$ n'est donc pas un ouvert.
Plus précisément, étant donné $r > 0$, exhibons une fonction $g \in B_f(f,r)$ qui n'est pas dans $E$. On note $M=\begin{cases}
\sqrt{-\ln(r)}&\text{ si }r\leqslant 1 \\
0&\text{ si }r > 1
\end{cases}$.
Alors, pour $|t| > M$, par stricte décroissance de la fonction $f$ sur $\mathbb{R}_+$ : \[
f(t)-r=f(|t|)-r < f(M)-r= e^{-M^2}-r=\begin{cases}
0\leqslant 0&\text{ si }r\leqslant 1 \\
1-r \leqslant 0&\text{ si }r > 1
\end{cases}.
\] Donc la fonction $g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, définie, pour $t \in \mathbb{R}$, par $g(t)=f(t)-r$ appartient à la boule $B_f(f,r)$ car $\|f-g\|_{\infty}=r$ et n'est pas strictement positive car, d'après ce qui précéde, pour tout $|t| > M$, $g(t) < 0$. D'où $g \notin E$.
Déterminer si l'ensemble suivant est un ouvert. Pour ce faire, on s'efforcera d'utiliser seulement la définition d'un ouvert dans un espace vectoriel normé - même si d'autres méthodes pourraient permettre de conclure.\[
F = \{ u \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \; | \; u \text{ converge vers }33 \}\text{ dans }(\ell^{\infty},\|\cdot\|_{\infty})
\] où $\ell^{\infty}$ est l'ensemble des suites à valeurs réelles bornées.
Correction
La suite $c=(c_n)_{n \in \mathbb{N}}$ constante en $33$ appartient à $F$. Soit $r > 0$. On considère la suite $u=(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie, pour $n \in \mathbb{N}$ par : \[
u_n = 33+(-1)^nr
\] Alors :
$\|u\|_{\infty}=33+r$ donc $u \in \ell^{\infty}$.
$\|u-c\|_{\infty}=r$ donc $u \in B_f(c,r)$.
$u$ ne converge pas (elle possède $2$ valeurs d'adhérence distinctes $33-r$ et $33+r$) donc $u \notin F$.
Par suite, $F$ n'est pas un ouvert de $\ell^{\infty}$.