Soit $E$ un espace vectoriel normé et $A, B \subset E$. Montrer que si $A$ et $B$ sont des parties compactes de $E$, alors \[ A+B = \{a+b \; | \; a\in A,\; b \in B\} \] est une partie compacte de $E$.

L'ensemble suivant est-il une partie compacte de $\mathbb{R}^2$ ? \[ C = \left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; x^2-xy+y^2 \leqslant 4 \right\rbrace. \]

L'ensemble suivant est-il une partie compacte de $\mathbb{R}^2$ ? \[ C = \left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; x^3+y^3 = 1 \right\rbrace. \]

Soit $E$ un espace vectoriel normé, $U$ une partie ouverte de $E$ et $C$ une partie compacte non vide de $E$. Montrer que si $C \subset U$, alors il existe $r>0$ tel que, pour tout $x \in C$ : \[ B(x,r)\subset U. \]

Soit $E$ un espace vectoriel normé de dimension $n \in \mathbb{N}^*$ et $f \in \mathcal{L}(E)$. Montrer qu'il existe $x_0 \in E$ unitaire tel que : \[ {\left\vert\kern-0.25ex\left\vert\kern-0.25ex\left\vert f \right\vert\kern-0.25ex\right\vert\kern-0.25ex\right\vert} = \|f(x_0)\| \] où ${\left\vert\kern-0.25ex\left\vert\kern-0.25ex\left\vert \cdot \right\vert\kern-0.25ex\right\vert\kern-0.25ex\right\vert}$ est la norme subordonnée associé à $\|\cdot\|$ au départ et à l'arrivée.

Soit $E$ un espace vectoriel normé, $C\subset E$ un compact non vide et $f$ une application de $C$ dans $C$ telle que, pour tous $x,y \in C$ avec $x \neq y$ : \[ \|f(x)-f(y)\|< \|x-y\|. \]

1. Montrer que $f$ admet un unique point fixe i.e. $\exists !\, x_0 \in C$, $f(x_0)=x_0$.
2. Soit $x \in C$. Montrer que la suite récurrente $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ telle que $u_0=x$ et, pour $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1}=f(u_n)$ converge et déterminer sa limite.