Soit $E$ un espace vectoriel normé et $A, B \subset E$. Montrer que si $A$ et $B$ sont des parties compactes de $E$, alors \[ A+B = \{a+b \; | \; a\in A,\; b \in B\} \] est une partie compacte de $E$.

L'ensemble suivant est-il une partie compacte de $\mathbb{R}^2$ ? \[ C = \left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; x^2-xy+y^2 \leqslant 4 \right\rbrace. \]

L'ensemble suivant est-il une partie compacte de $\mathbb{R}^2$ ? \[ C = \left\lbrace (x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; x^3+y^3 = 1 \right\rbrace. \]

Soit $E$ un espace vectoriel normé, $U$ une partie ouverte de $E$ et $C$ une partie compacte non vide de $E$. Montrer que si $C \subset U$, alors il existe $r>0$ tel que, pour tout $x \in C$ : \[ B(x,r)\subset U. \]