Exercices de la catégorie Boules et sphères
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Boules et sphères : liste des exercices
Exercice #86
Énoncé
Soit $(E,\|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé et $d$ la distance associée à $\|\cdot\|$.
Soit $x_0,y_0 \in E$ et $r,s \in \mathbb{R}_+^*$. Montrer (ici $B(\cdot,\cdot)$ désigne une boule ouverte) :
Soit $x_0,y_0 \in E$ et $r,s \in \mathbb{R}_+^*$. Montrer (ici $B(\cdot,\cdot)$ désigne une boule ouverte) :
- $B(x_0,r)=B(y_0,s) \; \Leftrightarrow \; x_0=y_0 \text{ et } r=s$.
- $B(x_0,r)+B(y_0,s) = B(x_0+y_0,r+s)$.
- $B(x_0,r)\cap B(y_0,s) \neq \emptyset \; \Leftrightarrow \; d(x_0,y_0) < r+s$.
Indications
Faire des dessins dans $\mathbb{R}^2$ avec la norme euclidienne !
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