Soit $E$ un espace vectoriel normé, $F$ un fermé non vide de $E$ et $x \in E$. Montrer que $d(x,F)=0$ si, et seulement si, $x \in F$.

Soit $(E,\|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé et $d$ la distance associée à $\|\cdot\|$.
Soit $x_0,y_0 \in E$ et $r,s \in \mathbb{R}_+^*$. Montrer (ici $B(\cdot,\cdot)$ désigne une boule ouverte) :

1. $B(x_0,r)=B(y_0,s) \; \Leftrightarrow \; x_0=y_0 \text{ et } r=s$.
2. $B(x_0,r)+B(y_0,s) = B(x_0+y_0,r+s)$.
3. $B(x_0,r)\cap B(y_0,s) \neq \emptyset \; \Leftrightarrow \; d(x_0,y_0) < r+s$.