Déterminer si l'ensemble suivant est un ouvert / un fermé de $\mathbb{R}^2$ puis calculer son intérieur et son adhérence.\[ A=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; 2x+y > 1 \}.\]

Déterminer si l'ensemble suivant est un ouvert / un fermé de $\mathbb{R}^3$ puis calculer son intérieur et son adhérence.\[ A=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \; | \; x^2+y^2+z^2 \leqslant 4 \}.\]

Déterminer si l'ensemble suivant est un ouvert / un fermé de $\mathbb{R}^2$ puis calculer son intérieur et son adhérence.\[ A=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \; | \; |x-1|>0 \}.\]

Soit $E$ un espace vectoriel normé et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$.

1. On suppose que $F$ contient un ouvert non vide de $E$. Montrer que $F=E$.
2. On suppose que $F \neq E$. Déterminer l'intérieur de $F$.

Soit $E$ un espace vectoriel normé et $A$ une partie convexe de $E$. Montrer que l'adhérence et l'intérieur de $A$ sont des parties convexes de $E$.