Soit $E=C([0,1],\mathbb{R})$. On pose, pour $f \in E$,\[ \varphi(f)=f(1)-f(0)\]

1. Montrer que $\varphi$ est continue de $(E,\|\cdot\|_{\infty})$ dans $(\mathbb{R},|\cdot|)$ mais pas de $(E,\|\cdot\|_{1})$ dans $(\mathbb{R},|\cdot|)$.
2. Déterminer la norme subordonnée (d'opérateur) de $\varphi$ induite par $\|\|_{\infty}$ sur $E$ et $|\cdot|$ sur $\mathbb{R}$.
3. Montrer que $F=\{f \in E \; | \; f(0)=f(1)\}$ est-il un fermé de $(E,\|\cdot\|_{\infty})$ ? de $(E,\|\cdot\|_{1})$ ?

On considère l'espace vectoriel $\ell^{\infty}$ des suites à valeurs réelles bornées muni de sa norme canonique $\|\cdot\|_{\infty}$. On pose, pour $u=(u_{n})_{n \in \mathbb{N}} \in \ell^{\infty}$, $\varphi(u)=(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ où, pour tout $n \in \mathbb{N}$ :\[ v_n=u_{n+1}-u_n.\]

1. Montrer que l'application $\varphi$ est continue de $(\ell^{\infty},\|\cdot\|_{\infty})$ dans lui-même.
2. Déterminer la norme subordonnée (d'opérateur) de $\varphi$ induite par $\|\cdot\|_{\infty}$ au départ et à l'arrivée.

Soit $E=C([0,1],\mathbb{R})$ muni de la norme $\|\cdot\|_1$ i.e. pour $f \in E$, $\|f\|_1=\int_0^1 |f(t)| \text{d}t$. Pour $f \in E$, on pose $\varphi(f)=F$ où $F$ est l'unique primitive de $f$ qui s'annule en $0$.

1. Montrer que $\varphi$ est continue de $(E,\|\cdot\|_{1})$ dans lui-même.
2. Déterminer la norme subordonnée (d'opérateur) de $\varphi$ induite par $\|\cdot\|_{1}$ sur $E$ au départ et à l'arrivée.