On considère l'espace vectoriel $\ell^{\infty}$ des suites à valeurs réelles bornées muni de sa norme canonique $\|\cdot\|_{\infty}$. On considère l'application $N: \ell^{\infty} \rightarrow \mathbb{R}$ définie, pour $u=(u_n)_{n\in \mathbb{N}} \in \ell^{\infty}$, par :\[ N(u)=\sup_{n \in \mathbb{N}}(|u_n|+|u_{2n}|).\]Montrer que $N$ est une norme sur $\ell^{\infty}$ et qu'elle est équivalente à $\|\cdot\|_{\infty}$.

On considère les normes $\|\cdot\|_a$, $\|\cdot\|_b$ et $\|\cdot\|_c$ sur $\mathbb{R}[X]$ définies, pour $P=\sum_{k=0}^{+\infty}a_k X^k \in \mathbb{R}[X]$, par :\[ \|P\|_a=\sum_{k=0}^{+\infty}|a_k|,\;\|P\|_b= \sup_{k \in \mathbb{N}}(|a_k|) \text{ et } \|P\|_c=\sup_{t \in [-1,1]}(|P(t)|).\]Montrer que ces normes sont deux à deux non équivalentes.

On considère l'espace vectoriel $\mathcal{F}_b([0,1],\mathbb{R})$ des fonctions bornées de $[0,1]$ dans $\mathbb{R}$ muni de sa norme canonique $\|\cdot\|_{\infty}$. On note $E=\{ f \in C^1([0,1],\mathbb{R}) \; | \; f(0)=0 \}$. On considère les applications $N,N':E\rightarrow \mathbb{R}$, définies, pour $f \in E$, par :\[ N(f)=\|f\|_{\infty}+\|f'\|_{\infty} \text{ et }N'(f)=\|f+f'\|_{\infty}.\]

1. Montrer que $N$ et $N'$ sont bien définies sur $E$ et que ce sont des normes sur cet espace.
2. Comparer les normes $N$ et $N'$.