On considère la fonction $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ définie, pour $(x,y) \in \mathbb{R}^2$, par : \[ f(x,y)=\begin{cases} \frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}&\text{ si }(x,y)\neq (0,0) \\ 0&\text{ si }(x,y)=(0,0) \end{cases} \]

1. Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^2$ et que $f$ admet des dérivées partielles dans la base canonique en tout point de $\mathbb{R}^2$.
2. Montrer que $f$ est différentiable sur $\mathbb{R}^2 \smallsetminus \{(0,0)\}$ et exprimer sa différentielle en tout point de $\mathbb{R}^2 \smallsetminus \{(0,0)\}$.
3. La fonction $f$ est-elle de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}^2$ ?

Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}$. On pose, pour $(x,y,z) \in \mathbb{R}^2$ : \[ \varphi(x,y,z)=f(x-y,y-z,z-x). \] Montrer que $\varphi$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}^3$ et que, pour tout $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$, $\nabla \varphi(x,y,z)$ est orthogonal au vecteur $(1,1,1)$.

Déterminer, si elle existe, une fonction $f:U \rightarrow \mathbb{R}$ de classe $C^2$ sur un ouvert $U\subset \mathbb{R}^2$ tel que $\nabla f = V_i$ où, pour $(x,y) \in U$ : \[ V_1(x,y)=\left(\frac{x}{y},\frac{y}{x}\right) \quad \text{ et }\quad V_2(x,y)=\left(\frac{y^2}{(x+y)^2},\frac{x^2}{(x+y)^2}\right). \]

Justifier que la surface $\mathcal{S}$ d'équation $z^2=6+2x^2+3y^2$ admet un plan tangent en chacun de ses points, puis déterminer l'équation du plan tangent au point de coordonnées $(3,2,6)$.