Étudier la continuité sur $\mathbb{R}^2$ de la fonction suivante :\[ f:(x,y) \mapsto \begin{cases} \displaystyle\frac{3x^2y}{x^2+y^2}&\text{ si }(x,y) \in \mathbb{R}^2 \smallsetminus\{(0,0)\} \\ 0&\text{ si }(x,y)=(0,0). \end{cases} \]

Étudier la continuité sur $\mathbb{R}^2$ de la fonction suivante :\[ f:(x,y) \mapsto \begin{cases} \displaystyle\frac{x^2}{x^2+y^2}&\text{ si }(x,y) \in \mathbb{R}^2 \smallsetminus\{(0,0)\} \\ 0&\text{ si }(x,y)=(0,0). \end{cases} \]

Étudier la continuité sur $\mathbb{R}^2$ de la fonction suivante :\[ f:(x,y) \mapsto \begin{cases} \displaystyle\frac{-x^3+6xy^2}{2x^2+y^2}&\text{ si }(x,y) \in \mathbb{R}^2 \smallsetminus\{(0,0)\} \\ 0&\text{ si }(x,y)=(0,0). \end{cases} \]

Soit $E$ un espace euclidien muni d'un produit scalaire $(\cdot|\cdot)$ et $f : E \rightarrow E$ une application différentiable sur $E$. On pose, pour $x \in E$ : \[ \varphi(x)=(f(x)|f(x)). \] Montrer que $\varphi$ est différentiable sur $E$ et déterminer sa différentielle en tout point de $E$.

Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On pose $E = \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) $, muni d'une norme sous-multiplicative $\|\cdot\| $, i.e. $\forall (A,B) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})^2$, $\| AB\| \leqslant \| A \|. \| B \|$.

1. Soit $H \in E$ tel que $\| H \| < 1 $. Montrer que $I_n - H$ est inversible, d'inverse $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} H^n$.
2. Montrer que $GL_n(\mathbb{R})$ est ouvert dans $E$.
3. Soit $\begin{array}{ccccc} f & : & \ GL_n(\mathbb{R})& \rightarrow & \ GL_n(\mathbb{R}) \\ & & M & \mapsto & M^{-1} \end{array}$.
   1. Montrer que $f$ est différentiable en $I_n$ et que $df(I_n) = -\text{Id}_E$.
   2. Montrer que $f$ est différentiable en tout point de $E$.

Déterminer les extrema sur $\mathbb{R}^2$, s'il en existe, de la fonction \[ f:(x,y) \mapsto 2(y-x)^2-(x^4+y^4). \]

On considère la fonction $f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ définie, pour $(x,y) \in \mathbb{R}^2$, par : \[ f(x,y)=\begin{cases} \frac{x^3-y^3}{x^2+y^2}&\text{ si }(x,y)\neq (0,0) \\ 0&\text{ si }(x,y)=(0,0) \end{cases} \]

1. Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^2$ et que $f$ admet des dérivées partielles dans la base canonique en tout point de $\mathbb{R}^2$.
2. Montrer que $f$ est différentiable sur $\mathbb{R}^2 \smallsetminus \{(0,0)\}$ et exprimer sa différentielle en tout point de $\mathbb{R}^2 \smallsetminus \{(0,0)\}$.
3. La fonction $f$ est-elle de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}^2$ ?

Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ de $\mathbb{R}^3$ dans $\mathbb{R}$. On pose, pour $(x,y,z) \in \mathbb{R}^2$ : \[ \varphi(x,y,z)=f(x-y,y-z,z-x). \] Montrer que $\varphi$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}^3$ et que, pour tout $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$, $\nabla \varphi(x,y,z)$ est orthogonal au vecteur $(1,1,1)$.

Déterminer, si elle existe, une fonction $f:U \rightarrow \mathbb{R}$ de classe $C^2$ sur un ouvert $U\subset \mathbb{R}^2$ tel que $\nabla f = V_i$ où, pour $(x,y) \in U$ : \[ V_1(x,y)=\left(\frac{x}{y},\frac{y}{x}\right) \quad \text{ et }\quad V_2(x,y)=\left(\frac{y^2}{(x+y)^2},\frac{x^2}{(x+y)^2}\right). \]

Justifier que la surface $\mathcal{S}$ d'équation $z^2=6+2x^2+3y^2$ admet un plan tangent en chacun de ses points, puis déterminer l'équation du plan tangent au point de coordonnées $(3,2,6)$.