Soit $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue telle que $\displaystyle \int_0^1 f(t)\text{d}t=\frac{1}{2}$. Montrer que $f$ admet un point fixe.
Soit $a,b \in \mathbb{R}$ avec $a< b$ et $f,g$ des fonctions continues de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$ avec $g$ positive sur $[a,b]$. Montrer qu'il existe $c \in [a,b]$ tel que :\[
\int_a^b f(t)g(t)\text{d}t=f(c)\int_a^b g(t) \text{d}t.
\]
Soit $a,b \in \mathbb{R}$ avec $a< b$ et $f,g$ des fonctions de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$. On suppose que $f$ est de classe $C^1$, positive et décroissante sur $[a,b]$ et que $g$ est continue sur $[a,b]$. On note $G$ la primitive de $g$ qui s'annule en $a$.
Montrer que $\int_a^b f(t)g(t)\text{d}t = f(b)G(b)-\int_a^b f'(t)G(t)\text{d}t$.
Expliquer pourquoi $G$ atteint des minimum et maximum notés respectivement $m$ et $M$ sur $[a,b]$
Montrer qu'il existe $c \in [a,b]$ tel que :\[
\int_a^b f(t)g(t)\text{d}t=f(a)\int_a^cg(t)\text{d}t.
\]
Soit $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue. Montrer que $f$ possède une unique primitive $F$ sur $[0,1]$ telle que :\[
\int_0^1F(t) dt =0.
\]
Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose $\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n(t) dt$.
Montrer que $I_n > 0$ et que $I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n(t) dt$.
Établir une relation entre $I_{n+2}$ et $I_n$ puis en déduire une expression de $I_n$ à l'aide de factorielles en distinguant les cas $n$ pair et impair.
Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ :\[
(n+1)I_nI_{n+1}=\frac{\pi}{2}\quad \text{et}\quad I_{n+2}\leqslant I_{n+1}\leqslant I_n.
\]
En déduire que $\frac{I_{n+1}}{I_n}$ tend vers $1$ puis déterminer une suite $(u_n)$ simple telle que $\frac{I_n}{u_n}$ vers $1$.