Déterminer la limite de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ telle que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :\[u_n=\sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^2}\]

Déterminer la limite de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ telle que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :\[u_n=\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+k^2}\]

Soit $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue telle que $\displaystyle \int_0^1 f(t)\text{d}t=\frac{1}{2}$. Montrer que $f$ admet un point fixe.

Soit $a,b \in \mathbb{R}$ avec $a< b$ et $f,g$ des fonctions continues de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$ avec $g$ positive sur $[a,b]$. Montrer qu'il existe $c \in [a,b]$ tel que :\[ \int_a^b f(t)g(t)\text{d}t=f(c)\int_a^b g(t) \text{d}t.\]

Soit $a,b \in \mathbb{R}$ avec $a< b$ et $f,g$ des fonctions de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$. On suppose que $f$ est de classe $C^1$, positive et décroissante sur $[a,b]$ et que $g$ est continue sur $[a,b]$.
On note $G$ la primitive de $g$ qui s'annule en $a$.

1. Montrer que $\int_a^b f(t)g(t)\text{d}t = f(b)G(b)-\int_a^b f'(t)G(t)\text{d}t$.
2. Expliquer pourquoi $G$ atteint des minimum et maximum notés respectivement $m$ et $M$ sur $[a,b]$
3. Montrer qu'il existe $c \in [a,b]$ tel que :\[\int_a^b f(t)g(t)\text{d}t=f(a)\int_a^cg(t)\text{d}t.\]

Calculer l'intégrale suivante grâce à un changement de variable bien choisi :\[\int_1^2 \frac{\ln(t)}{\sqrt{t}}dt.\]

Déterminer une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction suivante :\[f:t\mapsto \frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\]

Calculer l'intégrale suivante grâce à une intégration par partie :\[\int_0^1 \ln(1+t^2)dt.\]

Soit $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue. Montrer que $f$ possède une unique primitive $F$ sur $[0,1]$ telle que :\[\int_0^1F(t) dt =0.\]

Pour tout $p,q \in \mathbb{N}$, calculer\[I_{p,q}=\int_0^1 t^p(1-t)^q dt\]

Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose $\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n(t) dt$.

1. Montrer que $I_n >0$ et que $I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n(t) dt$.
2. Établir une relation entre $I_{n+2}$ et $I_n$ puis en déduire une expression de $I_n$ à l'aide de factorielles en distinguant les cas $n$ pair et impair.
3. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ :\[ (n+1)I_nI_{n+1}=\frac{\pi}{2}\quad \text{et}\quad I_{n+2}\leqslant I_{n+1}\leqslant I_n.\]
4. En déduire que $\frac{I_{n+1}}{I_n}$ tend vers $1$ puis déterminer une suite $(u_n)$ simple telle que $\frac{I_n}{u_n}$ vers $1$.