Exercices de la catégorie Intégration
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Intégration : liste des exercices
Exercice #40
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante :\[
\int_0^1 \frac{\ln(1+t)}{t^{\frac{3}{2}}}\text{d}t
\]
Exercice #44
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante :\[
\int_a^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t^2}\text{d}t
\]pour $a=1$ puis pour $a=0$.
Exercice #45
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante :\[
\int_0^{1} \cos(\ln(t))\text{d}t
\]
Exercice #46
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante :\[
\int_0^{+\infty} \sin(x)\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)\text{d}x
\]
Exercice #47
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante :\[
\int_0^{+\infty} \left(t+1-\sqrt{t^2+2t+1,1}\right)\text{d}t
\]
Exercice #48
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante :\[
\int_1^{+\infty} \frac{\ln(1+\frac{1}{t})}{\sqrt{t-1}}\text{d}t
\]
Exercice #50
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante en fonction de $\alpha \in \mathbb{R}$ :\[
\int_0^{+\infty} \frac{\ln(1+t)}{t^{\alpha}}\text{d}t
\]
Exercice #51
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante en fonction de $\alpha \in \mathbb{R}$ :\[
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \tan^{\alpha}(\theta)\text{d}\theta
\]
Exercice #52
Énoncé
Montrer la convergence puis calculer l'intégrale suivante :\[
\int_0^{+\infty} \frac{1}{1+t^3}\text{d}t
\]
Exercice #88
Énoncé
Justifier la convergence de l'intégrale :\[
\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\tan(t)} \text{d}t
\]puis la calculer.
Exercice #87
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}$. Justifier la convergence de l'intégrale :\[
I_n= \int_0^1 (t\ln(t))^n \text{d}t
\]puis la calculer.
Exercice #90
Énoncé
Soit $f: [1,+\infty[ \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue. Montrer l'implication :\[
\int_1^{+\infty} f(t) \text{d}t \text{ converge } \;\Rightarrow \; \int_1^{+\infty} \frac{f(t)}{t} \text{d}t \text{ converge.}
\]
Exercice #547 Oral CCinP 2023
Détails de l'exercice #547
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
En Mathématiques : Bac+2.
Source : BEOS #7216 Oral CCinP 2023
Énoncé
Pour $n \in \mathbb{N}^*$, on note\[
I_n=\int_{0}^{+\infty}\frac{1}{(1+ t^4)^n}\,\text{d}t
\]
- Montrer que $I_n$ est bien défini pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, puis que la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge vers une limite à déterminer.
- Pour $n \in \mathbb{N}^*$, trouver une relation entre $I_n$ et $I_{n+1}$. En déduire une seconde façon de déterminer la limite de la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$.
Indications
- Appliquer le théorème de convergence dominée.
- Écrire $1=1+t^4-t^4$ puis effectuer une IPP. Une fois la relation établie, faire un produit télescopique pour trouver une expression de $I_n$ puis passer au logarithme.
Correction
Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose $f_n: t \mapsto \frac{1}{(1+ t^4)^n}$.
- Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrons que l'intégrale généralisée $I_n$ est convergente.
La fonction $f$ est continue sur $[0,+\infty[$ comme quotient de fonctions continues sur $[0,+\infty[$ dont le dénominateur ne s'annule pas et est positive sur cet intervalle.
En $+\infty$, on a : \[ f_n(t)=\frac{1}{(1+ t^4)^n} \underset{t \rightarrow +\infty}{\sim} \frac{1}{t^{4n}}. \] Or, $\int_1^{+\infty} \frac{1}{t^{4n}}\text{d}t$ converge d'après le critère de Riemann en $+\infty$ car $4n \geqslant 4 > 1$, donc, par comparaison, $\int_1^{+\infty} f_n(t)\text{d}t$ converge.
De plus, $f$ étant continue sur le segment $[0,1]$, $\int_0^{1} f_n(t)\text{d}t$ converge aussi.
Par suite, $\int_0^{+\infty} f_n(t)\text{d}t$ converge et donc $I_n$ est bien défini.
Utilisons le théorème de convergence dominée appliqué à la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ pour montrer que la suite $(I_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ converge et pour déterminer sa limite. Vérifions les hypothèses du théorème : - pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $f_n$ est continue par morceaux sur $[0,+\infty[$ car continue sur $[0,+\infty[$.
- Convergence Simple vers une fonction continue par morceaux. Soit $t \in [0,+\infty[$. On a : \[ f_n(t)\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} \begin{cases} 1&\text{ si }t=0 \\ 0&\text{ si }t> 0. \end{cases} \] Par suite, $(f_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge simplement sur $[0,+\infty[$ vers la fonction $f:t \mapsto \begin{cases} 1&\text{ si }t=0 \\ 0&\text{ si }t> 0. \end{cases}$ qui est continue par morceaux sur $[0,+\infty[$.
- Domination. Soit $t \in [0,+\infty[$. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, comme $1+t^4 \geqslant 1$, on a : \[ |f_n(t)|=\frac{1}{(1+t^4)^n}\leqslant \frac{1}{1+t^4}=g(t) \] De plus, la fonction $g:t \mapsto \frac{1}{1+t^4}$ est intégrable sur $[0,+\infty[$ d'après ce qui précède (cas $n=1$ pour la bonne définition de $I_n$). Les hypothèses sont vérifiées : ainsi, d'après le théorème de convergence dominée, on a \[ \lim_{n \rightarrow +\infty}I_n = \int_0^{+\infty}\lim_{n \rightarrow +\infty} f_n(t) \text{d}t = \int_0^{+\infty}f(t) \text{d}t = 0. \]
- Soit $n \in \mathbb{N}^*$. En utilisant la décomposition $1=1+t^4-t^4$ : \[
\begin{array}{rcl}
I_{n+1}&=&\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{1}{(1+t^4)^{n+1}} \text{d}t \\
&=&\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{1+t^4-t^4}{(1+t^4)^{n+1}} \text{d}t \\
&=&\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{1}{(1+t^4)^{n}} \text{d}t + \int_0^{+\infty}\frac{-t^4}{(1+t^4)^{n+1}} \text{d}t\\
&=&\displaystyle I_n + \frac{1}{4n}\int_0^{+\infty}t\frac{-4nt^3}{(1+t^4)^{n+1}} \text{d}t
\end{array}
\] On effectue une intégration par parties dans cette dernière intégrale avec : \[
\begin{array}{rclcrcl}
u(t)&=&t&\quad \quad&u'(t)&=&1 \\
v'(t)&=&\displaystyle \frac{-4nt^3}{(1+t^4)^{n+1}}&\quad \quad&v(t)&=&\displaystyle \frac{1}{(1+t^4)^{n}}
\end{array}
\] On a alors : \[
u(t)v(t) = \frac{t}{(1+t^4)^{n}} \begin{cases}
\xrightarrow[t\rightarrow 0]{}0 \\
\xrightarrow[t\rightarrow +\infty]{}0
\end{cases}
\] Par suite, l'IPP est licite et on a : \[
\int_0^{+\infty}t\frac{-4nt^3}{(1+t^4)^{n+1}} \text{d}t= [u(t)v(t)]_0^{+\infty}- \int_0^{+\infty}\frac{1}{(1+t^4)^{n}} \text{d}t =-I_n.
\] On obtient donc la relation : \[
I_{n+1} = I_n+\frac{1}{4n}(-I_n)=\left(1-\frac{1}{4n}\right)I_n.
\] Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, comme $f_n$ est positive continue et non nulle sur $[0,+\infty[$, on a $I_n > 0$, d'où : \[
\frac{I_{n+1}}{I_n} = 1-\frac{1}{4n}.
\] Par produit télescopique, on a alors : \[
\frac{I_n}{I_1}= \prod_{k=1}^{n-1} \frac{I_{k+1}}{I_k} =\prod_{k=1}^{n-1}\left(1-\frac{1}{4k}\right).
\] Ainsi, on a : \[
\ln(I_n)=\ln(I_1)-\sum_{k=1}^{n-1}\left(-\ln\left(1-\frac{1}{4k}\right)\right).
\] Or, $-\ln\left(1-\frac{1}{4k}\right)\underset{k \rightarrow +\infty}{\sim} \frac{1}{4k}$ et $\sum_{k \geqslant 1}\frac{1}{4k}$ diverge (série harmonique multipliée par une constante) d'où la série à termes positifs $\sum_{k \geqslant 1}\left(-\ln\left(1-\frac{1}{4k}\right)\right)$ diverge et donc la suite de ses sommes partielles tend vers $+\infty$ i.e. $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\left(-\ln\left(1-\frac{1}{4k}\right)\right) \xrightarrow[t\rightarrow +\infty]{} +\infty$.
Il en résulte que $(\ln(I_n))_{n \in \mathbb{N}^*}$ tend vers $-\infty$ et donc, par passage à la fonction exponentielle qui est continue sur $\mathbb{R}$, on obtient, comme $\lim_{x \rightarrow -\infty}e^x=0$ : \[ I_n \xrightarrow[t\rightarrow +\infty]{} 0. \]
Exercice #403
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle F:x \mapsto \int_0^1 e^{-\frac{x}{t}}\text{d}t$.
- Montrer que $F$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}_+^*$.
- Donner une expression explicite de $F''$.
Exercice #405
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle F:x \mapsto \int_0^{+\infty}\frac{\sin(xt)e^{-t}}{t}\text{d}t$.
- Déterminer le domaine de définition de $F$.
- Montrer que $F$ est de classe $C^1$ sur son domaine.
- Déterminer $F'$ puis en déduire une expression simple de $F$.
Exercice #404
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle F:x \mapsto \int_0^{+\infty}\frac{e^{-xt}}{1+t^2}\text{d}t$.
- Déterminer le domaine de définition de $F$.
- Montrer que $F$ admet une limite en $+\infty$ et la calculer.
- Montrer que $F$ est de classe $C^2$ sur $\mathbb{R}_+^*$ puis montrer que $F$ est solution d'une équation différentielle linéaire d'ordre $2$ à coefficients constants.
Exercice #524 Oral CCinP 2023
Détails de l'exercice #524
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
En Mathématiques : Bac+2.
Source : BEOS #7475 Oral CCinP 2023
Énoncé
Pour $x \in \mathbb{R}_+$, on pose :\[
F(x) =\int_{0}^{1}\frac{e^{-x^2(1+t^{2})}}{1+t^2}\,\text{d}t \quad\text{et}\quad G(x) = \int_{0}^{x} \mathrm e^{-t^2}\,\text{d}t.
\]
- Montrer que $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}_+$ et exprimer $F'(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}_+$.
- Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}_+$, $G(x)^2 = \frac{\pi}{4}-F(x)$.
- En déduire la valeur de $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}\,\text{d}t$.
Indications
- Utiliser le théorème de dérivation d'une intégrale à paramètre.
- Prouver que la fonction $G^2+F$ est dérivable de dérivée nulle sur $\mathbb{R}_+$.
- Remarquer que l'intégrale recherchée est convergente et égale à $\lim_{x \rightarrow +\infty}G(x)$, puis passer à la limite dans le résultat de la question 2. en utilisant le théorème de la limite d'une intégrale à paramètre.
Correction
- Pour $(x,t) \in \mathbb{R}_+\times [0,1]$, on pose $\displaystyle f(x,t)=\frac{e^{-x^2(1+t^{2})}}{1+t^2}$. On vérifie les hypothèses du théorème de dérivation d'une intégrale à paramètre :
- Soit $t \in [0,1]$. La fonction $x \mapsto f(x,t)$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}_+$ car, pour $a,b$ des réels, $x \mapsto be^{ax^2}$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$ (composée de fonctions de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$). De plus, pour tout $x \in \mathbb{R}_+$, on a : \[ \frac{\partial f}{\partial x}(x,t) = -2xe^{-x^2(1+t^{2})}. \]
- Soit $x \in \mathbb{R}_+$. La fonction $t \mapsto f(x,t)$ est intégrable sur $[0,1]$ car continue sur le segment $[0,1]$.
- Soit $x \in \mathbb{R}_+$. La fonction $t \mapsto \frac{\partial f}{\partial x}f(x,t)$ est continue par morceaux sur $[0,1]$ car, pour $a,b$ des réels, $t \mapsto be^{a(1+t^2)}$ est continue sur $\mathbb{R}$ (composée de fonctions continues sur $\mathbb{R}$).
- Soit $a > 0$. Domination sur $[0,a]$. Soit $t \in [0,1]$. Pour tout $x \in [0,a]$, on a : \[ \left|\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\right| = 2xe^{-x^2(1+t^{2})}\leqslant 2a = g(t). \] De plus, la fonction $g: t\mapsto 2a$ est intégrable sur $[0,1]$ car continue sur ce segment. Toutes les hypothèses sont vérifiées. Ainsi, d'après le théorème de dérivation d'une intégrale à paramètre, $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0,a]$ pour tout $a> 0$ et donc sur $\mathbb{R}_+$; et on a, pour tout $x \in \mathbb{R}_+$ : \[ \begin{array}{rcl} F'(x)&=&\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}x}\int_{0}^{1}f(x,t)\,\text{d}t \\ &=&\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\,\text{d}t \\ &=&\displaystyle \int_{0}^{1}-2xe^{-x^2(1+t^{2})}\,\text{d}t \\ F'(x)&=&\displaystyle -2x\int_{0}^{1}e^{-x^2(1+t^{2})}\,\text{d}t. \end{array} \]
- L'identité que l'on doit montrer nous suggère calculer la dérivée de $G^2+F$ et de vérifier que celle-ci est constante.
La fonction $G$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+$ comme primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $x \mapsto e^{-x^2}$ continue sur $\mathbb{R}$ et $F$ l'est aussi d'après la question précédente. Par suite, $H=G^2+F$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+$, de dérivée $H'=2G'G+F'$. On a : \[ H'(0)=2G'(0)G(0)+F'(0)= 2\times 1\times 0 -0 = 0. \]
Soit $x \in \mathbb{R}_*^+$. Effectuons le changement de variable licite $u=\frac{t}{x}$ dans l'intégrale $G(x)$ : \[ G(x)=\int_{0}^{x}e^{-t^2}\,\text{d}t = \int_{0}^{1} e^{-(xu)^2}\,x\text{d}u=x\int_{0}^{1} e^{-x^2u^2}\,\text{d}u. \] Par suite, on a : \[ \begin{array}{rcl} H'(x)&=&\displaystyle 2G'(x)G(x)+F'(x) \\ &=&\displaystyle 2xe^{-x^2}\int_{0}^{1} e^{-x^2u^2}\,\text{d}u+F'(x) \\ &=&\displaystyle 2x\int_{0}^{1} e^{-x^2(1+u^2)}\,\text{d}u-2x\int_{0}^{1}e^{-x^2(1+t^{2})}\,\text{d}t \\ H'(x)&=&0. \end{array} \] Ainsi, $H'$ est nulle sur l'intervalle $\mathbb{R}_+$, donc $H$ est constante sur $\mathbb{R}_+$. Or, on a : \[ H(0)=(G(0))^2+F(0)=0+\int_{0}^{1}\frac{1}{1+t^2}\,\text{d}t = \left[\text{arctan}(t)\right]_0^1 = \frac{\pi}{4}. \] Il en résulte que $H=G^2+F$ est constante en $\frac{\pi}{4}$ sur $\mathbb{R}_+$ d'où le résultat. - On remarque que l'intégrale $\int_{0}^{+\infty} e^{-t^2}\,\text{d}t$ est convergente. En effet, $t \mapsto e^{-t^2}$ est continue positive sur $[0,+\infty[$, $e^{-t^2}=\underset{t \rightarrow +\infty}{o}(\frac{1}{1+t^2})$ par croissances comparées et l'intégrale $\int_0^{+\infty}\frac{1}{1+t^2}\,\text{d}t$ converge car la fonction $\text{arctan}$ admet des limites finies en $0$ et $+\infty$; d'où la convergence de l'intégrale par comparaison.
De plus, par définition, on a : $\int_{0}^{+\infty} e^{-t^2}\,\text{d}t = \lim_{x \rightarrow +\infty} G(x)$.
Ceci nous suggère alors de passer à la limite en $+\infty$ dans le résultat trouvé à la question précédente. Pour cela, il faut vérifier que $F$ admet une limite en $+\infty$ et la déterminer.
Vérifions les hypothèses du théorème de limite d'une intégrale à paramètre (on reprend les notations de la question 1.) : - Soit $x \in \mathbb{R}_+$. La fonction $t \mapsto f(x,t)$ est continue par morceaux sur $[0,1]$ car continue sur $\mathbb{R}$.
- Soit $t \in [0,1]$. Comme $1+t^2> 0$, on a : \[
\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x,t)=\lim_{x \rightarrow +\infty}e^{-x^2(1+t^2)} = 0.
\]
- Domination sur $\mathbb{R}_+$. Soit $t \in [0,1]$. Pour tout $x \in \mathbb{R}_+$, on a : \[ \left|f(x,t)\right| = e^{-x^2(1+t^{2})}\leqslant 1 = g(t). \] De plus, la fonction $g: t\mapsto 1$ est intégrable sur $[0,1]$ car continue sur ce segment. Toutes les hypothèses sont vérifiées. Ainsi, d'après le théorème de limite d'une intégrale à paramètre, $F$ admet une limite en $+\infty$ et on a : \[ \begin{array}{rcl} \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}F(x)&=&\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\int_{0}^{1}f(x,t)\,\text{d}t \\ &=&\displaystyle \int_{0}^{1}\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x,t)\,\text{d}t \\ &=&\displaystyle \int_{0}^{1}0\,\text{d}t \\ \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}F(x)&=&0. \end{array} \] Ainsi, d'après ce qui précède et la question 2., on a : \[ \begin{array}{rcl} \displaystyle \left(\int_{0}^{+\infty} e^{-t^2}\,\text{d}t\right)^2&=& \lim_{x \rightarrow +\infty}G(x)^2 \\ &=&\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\left(\frac{\pi}{4}-F(x)\right) \\ &=&\displaystyle \frac{\pi}{4} -\lim_{x \rightarrow +\infty}F(x) \\ \displaystyle \left(\int_{0}^{+\infty} e^{-t^2}\,\text{d}t\right)^2&=&\displaystyle \frac{\pi}{4}. \end{array} \] Il en résulte : \[ \int_{0}^{+\infty} e^{-t^2}\,\text{d}t = \sqrt{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}. \]
Exercice #16
Énoncé
Déterminer la limite de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ telle que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :\[
u_n=\sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^2}
\]
Exercice #17
Énoncé
Déterminer la limite de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ telle que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :\[
u_n=\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+k^2}
\]
Exercice #20
Énoncé
Soit $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue telle que $\displaystyle \int_0^1 f(t)\text{d}t=\frac{1}{2}$. Montrer que $f$ admet un point fixe.
Exercice #21
Énoncé
Soit $a,b \in \mathbb{R}$ avec $a< b$ et $f,g$ des fonctions continues de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$ avec $g$ positive sur $[a,b]$. Montrer qu'il existe $c \in [a,b]$ tel que :\[
\int_a^b f(t)g(t)\text{d}t=f(c)\int_a^b g(t) \text{d}t.
\]
Exercice #22
Énoncé
Soit $a,b \in \mathbb{R}$ avec $a< b$ et $f,g$ des fonctions de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$. On suppose que $f$ est de classe $C^1$, positive et décroissante sur $[a,b]$ et que $g$ est continue sur $[a,b]$.
On note $G$ la primitive de $g$ qui s'annule en $a$.
On note $G$ la primitive de $g$ qui s'annule en $a$.
- Montrer que $\int_a^b f(t)g(t)\text{d}t = f(b)G(b)-\int_a^b f'(t)G(t)\text{d}t$.
- Expliquer pourquoi $G$ atteint des minimum et maximum notés respectivement $m$ et $M$ sur $[a,b]$
- Montrer qu'il existe $c \in [a,b]$ tel que :\[ \int_a^b f(t)g(t)\text{d}t=f(a)\int_a^cg(t)\text{d}t. \]
Exercice #29
Énoncé
Calculer l'intégrale suivante grâce à un changement de variable bien choisi :\[
\int_1^2 \frac{\ln(t)}{\sqrt{t}}dt.
\]
Exercice #249
Énoncé
Calculer l'intégrale suivante : \[
\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(t)}{\sin(t)+\cos(t)}\text{d}t.
\]
Exercice #28
Énoncé
Calculer l'intégrale suivante grâce à une intégration par partie :\[
\int_0^1 \ln(1+t^2)dt.
\]
Exercice #250
Énoncé
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $[-1,1]$ où :\[
f: t \mapsto \text{arcsin}(t).
\]
Exercice #27
Énoncé
Déterminer une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction suivante :\[
f:t\mapsto \frac{t}{\sqrt{1+t^2}}
\]
Exercice #240
Énoncé
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur un intervalle de son domaine de définition où :\[
f: t \mapsto -te^{6t^2}.
\]
Exercice #241
Énoncé
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur un intervalle de son domaine de définition où :\[
f: t \mapsto \frac{1}{t\left(\ln(t)\right)^3}.
\]
Exercice #242
Énoncé
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur un intervalle de son domaine de définition où :\[
f: t \mapsto \frac{1}{(t-1)^4}.
\]
Exercice #244
Énoncé
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur un intervalle de son domaine de définition où :\[
f: t \mapsto \sqrt{t^2+t^4}.
\]
Exercice #245
Énoncé
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $]-1,+\infty[$ où :\[
f: t \mapsto \frac{1}{1+t^3}.
\]
Exercice #250
Énoncé
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $[-1,1]$ où :\[
f: t \mapsto \text{arcsin}(t).
\]
Exercice #23
Énoncé
Soit $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue. Montrer que $f$ possède une unique primitive $F$ sur $[0,1]$ telle que :\[
\int_0^1F(t) dt =0.
\]
Exercice #26
Énoncé
Pour tout $p,q \in \mathbb{N}$, calculer\[
I_{p,q}=\int_0^1 t^p(1-t)^q dt
\]
Exercice #25 Intégrales de Wallis
Énoncé
Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose $\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n(t) dt$.
- Montrer que $I_n > 0$ et que $I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n(t) dt$.
- Établir une relation entre $I_{n+2}$ et $I_n$ puis en déduire une expression de $I_n$ à l'aide de factorielles en distinguant les cas $n$ pair et impair.
- Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ :\[ (n+1)I_nI_{n+1}=\frac{\pi}{2}\quad \text{et}\quad I_{n+2}\leqslant I_{n+1}\leqslant I_n. \]
- En déduire que $\frac{I_{n+1}}{I_n}$ tend vers $1$ puis déterminer une suite $(u_n)$ simple telle que $\frac{I_n}{u_n}$ vers $1$.
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