Exercices de la catégorie Intégration
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Intégration : liste des exercices
Exercice #40
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante :\[ \int_0^1 \frac{\ln(1+t)}{t^{\frac{3}{2}}}\text{d}t\]
Exercice #44
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante :\[ \int_a^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t^2}\text{d}t\]pour $a=1$ puis pour $a=0$.
Exercice #45
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante :\[ \int_0^{1} \cos(\ln(t))\text{d}t\]
Exercice #46
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante :\[ \int_0^{+\infty} \sin(x)\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)\text{d}x\]
Exercice #47
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante :\[ \int_0^{+\infty} \left(t+1-\sqrt{t^2+2t+1,1}\right)\text{d}t\]
Exercice #48
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante :\[ \int_1^{+\infty} \frac{\ln(1+\frac{1}{t})}{\sqrt{t-1}}\text{d}t\]
Exercice #50
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante en fonction de $\alpha \in \mathbb{R}$ :\[ \int_0^{+\infty} \frac{\ln(1+t)}{t^{\alpha}}\text{d}t\]
Exercice #51
Énoncé
Déterminer la nature de l'intégrale suivante en fonction de $\alpha \in \mathbb{R}$ :\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \tan^{\alpha}(\theta)\text{d}\theta\]
Exercice #52
Énoncé
Montrer la convergence puis calculer l'intégrale suivante :\[ \int_0^{+\infty} \frac{1}{1+t^3}\text{d}t\]
Exercice #88
Énoncé
Justifier la convergence de l'intégrale :\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\tan(t)} \text{d}t\]puis la calculer.
Exercice #87
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}$. Justifier la convergence de l'intégrale :\[ I_n= \int_0^1 (t\ln(t))^n \text{d}t\]puis la calculer.
Exercice #90
Énoncé
Soit $f: [1,+\infty[ \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue. Montrer l'implication :\[ \int_1^{+\infty} f(t) \text{d}t \text{ converge } \;\Rightarrow \; \int_1^{+\infty} \frac{f(t)}{t} \text{d}t \text{ converge.}\]
Exercice #403
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle F:x \mapsto \int_0^1 e^{-\frac{x}{t}}\text{d}t$.
- Montrer que $F$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}_+^*$.
- Donner une expression explicite de $F''$.
Exercice #405
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle F:x \mapsto \int_0^{+\infty}\frac{\sin(xt)e^{-t}}{t}\text{d}t$.
- Déterminer le domaine de définition de $F$.
- Montrer que $F$ est de classe $C^1$ sur son domaine.
- Déterminer $F'$ puis en déduire une expression simple de $F$.
Exercice #404
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle F:x \mapsto \int_0^{+\infty}\frac{e^{-xt}}{1+t^2}\text{d}t$.
- Déterminer le domaine de définition de $F$.
- Montrer que $F$ admet une limite en $+\infty$ et la calculer.
- Montrer que $F$ est de classe $C^2$ sur $\mathbb{R}_+^*$ puis montrer que $F$ est solution d'une équation différentielle linéaire d'ordre $2$ à coefficients constants.
Exercice #16
Énoncé
Déterminer la limite de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ telle que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :\[u_n=\sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+k^2}\]
Exercice #17
Énoncé
Déterminer la limite de la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ telle que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :\[u_n=\sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+k^2}\]
Exercice #20
Énoncé
Soit $f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue telle que $\displaystyle \int_0^1 f(t)\text{d}t=\frac{1}{2}$. Montrer que $f$ admet un point fixe.
Exercice #21
Énoncé
Soit $a,b \in \mathbb{R}$ avec $a< b$ et $f,g$ des fonctions continues de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$ avec $g$ positive sur $[a,b]$. Montrer qu'il existe $c \in [a,b]$ tel que :\[ \int_a^b f(t)g(t)\text{d}t=f(c)\int_a^b g(t) \text{d}t.\]
Exercice #22
Énoncé
Soit $a,b \in \mathbb{R}$ avec $a< b$ et $f,g$ des fonctions de $[a,b]$ dans $\mathbb{R}$. On suppose que $f$ est de classe $C^1$, positive et décroissante sur $[a,b]$ et que $g$ est continue sur $[a,b]$.
On note $G$ la primitive de $g$ qui s'annule en $a$.
On note $G$ la primitive de $g$ qui s'annule en $a$.
- Montrer que $\int_a^b f(t)g(t)\text{d}t = f(b)G(b)-\int_a^b f'(t)G(t)\text{d}t$.
- Expliquer pourquoi $G$ atteint des minimum et maximum notés respectivement $m$ et $M$ sur $[a,b]$
- Montrer qu'il existe $c \in [a,b]$ tel que :\[\int_a^b f(t)g(t)\text{d}t=f(a)\int_a^cg(t)\text{d}t.\]
Exercice #29
Énoncé
Calculer l'intégrale suivante grâce à un changement de variable bien choisi :\[\int_1^2 \frac{\ln(t)}{\sqrt{t}}dt.\]
Exercice #249
Énoncé
Calculer l'intégrale suivante : \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(t)}{\sin(t)+\cos(t)}\text{d}t. \]
Exercice #28
Énoncé
Calculer l'intégrale suivante grâce à une intégration par partie :\[\int_0^1 \ln(1+t^2)dt.\]
Exercice #250
Énoncé
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $[-1,1]$ où :\[ f: t \mapsto \text{arcsin}(t).\]
Exercice #27
Énoncé
Déterminer une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction suivante :\[f:t\mapsto \frac{t}{\sqrt{1+t^2}}\]
Exercice #240
Énoncé
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur un intervalle de son domaine de définition où :\[ f: t \mapsto -te^{6t^2}.\]
Exercice #241
Énoncé
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur un intervalle de son domaine de définition où :\[ f: t \mapsto \frac{1}{t\left(\ln(t)\right)^3}.\]
Exercice #242
Énoncé
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur un intervalle de son domaine de définition où :\[ f: t \mapsto \frac{1}{(t-1)^4}.\]
Exercice #244
Énoncé
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur un intervalle de son domaine de définition où :\[ f: t \mapsto \sqrt{t^2+t^4}.\]
Exercice #245
Énoncé
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $]-1,+\infty[$ où :\[ f: t \mapsto \frac{1}{1+t^3}.\]
Exercice #250
Énoncé
Déterminer une primitive $F$ de $f$ sur $[-1,1]$ où :\[ f: t \mapsto \text{arcsin}(t).\]
Exercice #23
Énoncé
Soit $f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue. Montrer que $f$ possède une unique primitive $F$ sur $[0,1]$ telle que :\[\int_0^1F(t) dt =0.\]
Exercice #26
Énoncé
Pour tout $p,q \in \mathbb{N}$, calculer\[I_{p,q}=\int_0^1 t^p(1-t)^q dt\]
Exercice #25 Intégrales de Wallis
Énoncé
Pour $n \in \mathbb{N}$, on pose $\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n(t) dt$.
- Montrer que $I_n >0$ et que $I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n(t) dt$.
- Établir une relation entre $I_{n+2}$ et $I_n$ puis en déduire une expression de $I_n$ à l'aide de factorielles en distinguant les cas $n$ pair et impair.
- Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ :\[ (n+1)I_nI_{n+1}=\frac{\pi}{2}\quad \text{et}\quad I_{n+2}\leqslant I_{n+1}\leqslant I_n.\]
- En déduire que $\frac{I_{n+1}}{I_n}$ tend vers $1$ puis déterminer une suite $(u_n)$ simple telle que $\frac{I_n}{u_n}$ vers $1$.
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