On considère la fonction $\displaystyle F:x \mapsto \int_0^{+\infty}\frac{e^{-xt}}{1+t^2}\text{d}t$.
Déterminer le domaine de définition de $F$.
Montrer que $F$ admet une limite en $+\infty$ et la calculer.
Montrer que $F$ est de classe $C^2$ sur $\mathbb{R}_+^*$ puis montrer que $F$ est solution d'une équation différentielle linéaire d'ordre $2$ à coefficients constants.
Pour $x \in \mathbb{R}_+$, on pose :\[
F(x) =\int_{0}^{1}\frac{e^{-x^2(1+t^{2})}}{1+t^2}\,\text{d}t \quad\text{et}\quad G(x) = \int_{0}^{x} \mathrm e^{-t^2}\,\text{d}t.
\]
Montrer que $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}_+$ et exprimer $F'(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}_+$.
Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}_+$, $G(x)^2 = \frac{\pi}{4}-F(x)$.
En déduire la valeur de $\displaystyle\int_{0}^{+\infty}e^{-t^2}\,\text{d}t$.
Indications
Utiliser le théorème de dérivation d'une intégrale à paramètre.
Prouver que la fonction $G^2+F$ est dérivable de dérivée nulle sur $\mathbb{R}_+$.
Remarquer que l'intégrale recherchée est convergente et égale à $\lim_{x \rightarrow +\infty}G(x)$, puis passer à la limite dans le résultat de la question 2. en utilisant le théorème de la limite d'une intégrale à paramètre.
Correction
Pour $(x,t) \in \mathbb{R}_+\times [0,1]$, on pose $\displaystyle f(x,t)=\frac{e^{-x^2(1+t^{2})}}{1+t^2}$. On vérifie les hypothèses du théorème de dérivation d'une intégrale à paramètre :
Soit $t \in [0,1]$. La fonction $x \mapsto f(x,t)$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}_+$ car, pour $a,b$ des réels, $x \mapsto be^{ax^2}$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$ (composée de fonctions de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$). De plus, pour tout $x \in \mathbb{R}_+$, on a : \[
\frac{\partial f}{\partial x}(x,t) = -2xe^{-x^2(1+t^{2})}.
\]
Soit $x \in \mathbb{R}_+$. La fonction $t \mapsto f(x,t)$ est intégrable sur $[0,1]$ car continue sur le segment $[0,1]$.
Soit $x \in \mathbb{R}_+$. La fonction $t \mapsto \frac{\partial f}{\partial x}f(x,t)$ est continue par morceaux sur $[0,1]$ car, pour $a,b$ des réels, $t \mapsto be^{a(1+t^2)}$ est continue sur $\mathbb{R}$ (composée de fonctions continues sur $\mathbb{R}$).
Soit $a > 0$. Domination sur $[0,a]$. Soit $t \in [0,1]$. Pour tout $x \in [0,a]$, on a : \[
\left|\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\right| = 2xe^{-x^2(1+t^{2})}\leqslant 2a = g(t).
\] De plus, la fonction $g: t\mapsto 2a$ est intégrable sur $[0,1]$ car continue sur ce segment.
Toutes les hypothèses sont vérifiées. Ainsi, d'après le théorème de dérivation d'une intégrale à paramètre, $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0,a]$ pour tout $a> 0$ et donc sur $\mathbb{R}_+$; et on a, pour tout $x \in \mathbb{R}_+$ : \[
\begin{array}{rcl}
F'(x)&=&\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}x}\int_{0}^{1}f(x,t)\,\text{d}t \\
&=&\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\,\text{d}t \\
&=&\displaystyle \int_{0}^{1}-2xe^{-x^2(1+t^{2})}\,\text{d}t \\
F'(x)&=&\displaystyle -2x\int_{0}^{1}e^{-x^2(1+t^{2})}\,\text{d}t.
\end{array}
\]
L'identité que l'on doit montrer nous suggère calculer la dérivée de $G^2+F$ et de vérifier que celle-ci est constante. La fonction $G$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+$ comme primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $x \mapsto e^{-x^2}$ continue sur $\mathbb{R}$ et $F$ l'est aussi d'après la question précédente. Par suite, $H=G^2+F$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+$, de dérivée $H'=2G'G+F'$. On a : \[
H'(0)=2G'(0)G(0)+F'(0)= 2\times 1\times 0 -0 = 0.
\] Soit $x \in \mathbb{R}_*^+$. Effectuons le changement de variable licite $u=\frac{t}{x}$ dans l'intégrale $G(x)$ : \[
G(x)=\int_{0}^{x}e^{-t^2}\,\text{d}t = \int_{0}^{1} e^{-(xu)^2}\,x\text{d}u=x\int_{0}^{1} e^{-x^2u^2}\,\text{d}u.
\] Par suite, on a : \[
\begin{array}{rcl}
H'(x)&=&\displaystyle 2G'(x)G(x)+F'(x) \\
&=&\displaystyle 2xe^{-x^2}\int_{0}^{1} e^{-x^2u^2}\,\text{d}u+F'(x) \\
&=&\displaystyle 2x\int_{0}^{1} e^{-x^2(1+u^2)}\,\text{d}u-2x\int_{0}^{1}e^{-x^2(1+t^{2})}\,\text{d}t \\
H'(x)&=&0.
\end{array}
\] Ainsi, $H'$ est nulle sur l'intervalle $\mathbb{R}_+$, donc $H$ est constante sur $\mathbb{R}_+$. Or, on a : \[
H(0)=(G(0))^2+F(0)=0+\int_{0}^{1}\frac{1}{1+t^2}\,\text{d}t = \left[\text{arctan}(t)\right]_0^1 = \frac{\pi}{4}.
\] Il en résulte que $H=G^2+F$ est constante en $\frac{\pi}{4}$ sur $\mathbb{R}_+$ d'où le résultat.
On remarque que l'intégrale $\int_{0}^{+\infty} e^{-t^2}\,\text{d}t$ est convergente. En effet, $t \mapsto e^{-t^2}$ est continue positive sur $[0,+\infty[$, $e^{-t^2}=\underset{t \rightarrow +\infty}{o}(\frac{1}{1+t^2})$ par croissances comparées et l'intégrale $\int_0^{+\infty}\frac{1}{1+t^2}\,\text{d}t$ converge car la fonction $\text{arctan}$ admet des limites finies en $0$ et $+\infty$; d'où la convergence de l'intégrale par comparaison. De plus, par définition, on a : $\int_{0}^{+\infty} e^{-t^2}\,\text{d}t = \lim_{x \rightarrow +\infty} G(x)$. Ceci nous suggère alors de passer à la limite en $+\infty$ dans le résultat trouvé à la question précédente. Pour cela, il faut vérifier que $F$ admet une limite en $+\infty$ et la déterminer. Vérifions les hypothèses du théorème de limite d'une intégrale à paramètre (on reprend les notations de la question 1.) :
Soit $x \in \mathbb{R}_+$. La fonction $t \mapsto f(x,t)$ est continue par morceaux sur $[0,1]$ car continue sur $\mathbb{R}$.
Soit $t \in [0,1]$. Comme $1+t^2> 0$, on a : \[
\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x,t)=\lim_{x \rightarrow +\infty}e^{-x^2(1+t^2)} = 0.
\]
Domination sur $\mathbb{R}_+$. Soit $t \in [0,1]$. Pour tout $x \in \mathbb{R}_+$, on a : \[
\left|f(x,t)\right| = e^{-x^2(1+t^{2})}\leqslant 1 = g(t).
\] De plus, la fonction $g: t\mapsto 1$ est intégrable sur $[0,1]$ car continue sur ce segment.
Toutes les hypothèses sont vérifiées. Ainsi, d'après le théorème de limite d'une intégrale à paramètre, $F$ admet une limite en $+\infty$ et on a : \[
\begin{array}{rcl}
\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}F(x)&=&\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\int_{0}^{1}f(x,t)\,\text{d}t \\
&=&\displaystyle \int_{0}^{1}\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x,t)\,\text{d}t \\
&=&\displaystyle \int_{0}^{1}0\,\text{d}t \\
\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}F(x)&=&0.
\end{array}
\] Ainsi, d'après ce qui précède et la question 2., on a : \[
\begin{array}{rcl}
\displaystyle \left(\int_{0}^{+\infty} e^{-t^2}\,\text{d}t\right)^2&=& \lim_{x \rightarrow +\infty}G(x)^2 \\
&=&\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\left(\frac{\pi}{4}-F(x)\right) \\
&=&\displaystyle \frac{\pi}{4} -\lim_{x \rightarrow +\infty}F(x) \\
\displaystyle \left(\int_{0}^{+\infty} e^{-t^2}\,\text{d}t\right)^2&=&\displaystyle \frac{\pi}{4}.
\end{array}
\] Il en résulte : \[
\int_{0}^{+\infty} e^{-t^2}\,\text{d}t = \sqrt{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{\pi}}{2}.
\]