On considère la fonction $\displaystyle F:x \mapsto \int_0^1 e^{-\frac{x}{t}}\text{d}t$.

1. Montrer que $F$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}_+^*$.
2. Donner une expression explicite de $F''$.

On considère la fonction $\displaystyle F:x \mapsto \int_0^{+\infty}\frac{\sin(xt)e^{-t}}{t}\text{d}t$.

1. Déterminer le domaine de définition de $F$.
2. Montrer que $F$ est de classe $C^1$ sur son domaine.
3. Déterminer $F'$ puis en déduire une expression simple de $F$.

On considère la fonction $\displaystyle F:x \mapsto \int_0^{+\infty}\frac{e^{-xt}}{1+t^2}\text{d}t$.

1. Déterminer le domaine de définition de $F$.
2. Montrer que $F$ admet une limite en $+\infty$ et la calculer.
3. Montrer que $F$ est de classe $C^2$ sur $\mathbb{R}_+^*$ puis montrer que $F$ est solution d'une équation différentielle linéaire d'ordre $2$ à coefficients constants.