Déterminer la nature de l'intégrale suivante :\[ \int_0^1 \frac{\ln(1+t)}{t^{\frac{3}{2}}}\text{d}t\]

Déterminer la nature de l'intégrale suivante :\[ \int_a^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t^2}\text{d}t\]pour $a=1$ puis pour $a=0$.

Déterminer la nature de l'intégrale suivante :\[ \int_0^{1} \cos(\ln(t))\text{d}t\]

Déterminer la nature de l'intégrale suivante :\[ \int_0^{+\infty} \sin(x)\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)\text{d}x\]

Déterminer la nature de l'intégrale suivante :\[ \int_0^{+\infty} \left(t+1-\sqrt{t^2+2t+1,1}\right)\text{d}t\]

Déterminer la nature de l'intégrale suivante :\[ \int_1^{+\infty} \frac{\ln(1+\frac{1}{t})}{\sqrt{t-1}}\text{d}t\]

Déterminer la nature de l'intégrale suivante en fonction de $\alpha \in \mathbb{R}$ :\[ \int_0^{+\infty} \frac{\ln(1+t)}{t^{\alpha}}\text{d}t\]

Déterminer la nature de l'intégrale suivante en fonction de $\alpha \in \mathbb{R}$ :\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \tan^{\alpha}(\theta)\text{d}\theta\]

Montrer la convergence puis calculer l'intégrale suivante :\[ \int_0^{+\infty} \frac{1}{1+t^3}\text{d}t\]

Justifier la convergence de l'intégrale :\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\tan(t)} \text{d}t\]puis la calculer.

Soit $n \in \mathbb{N}$. Justifier la convergence de l'intégrale :\[ I_n= \int_0^1 (t\ln(t))^n \text{d}t\]puis la calculer.

Soit $f: [1,+\infty[ \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue. Montrer l'implication :\[ \int_1^{+\infty} f(t) \text{d}t \text{ converge } \;\Rightarrow \; \int_1^{+\infty} \frac{f(t)}{t} \text{d}t \text{ converge.}\]