Soit $x,y \in \mathbb{R}$. Montrer l'inégalité suivante :\[ |xy| \leqslant \frac{x^2+y^2}{2}.\]

Soit $x,y \in [0,1]$. Montrer l'inégalité suivante :\[ x^2+y^2-xy \leqslant 1.\]

Soit $x,y \in \mathbb{R}_+$. Montrer l'inégalité suivante :\[ \sqrt{1+x}\sqrt{1+y} \geqslant 1+\sqrt{xy}.\]

Soit $x \in \mathbb{R}$. Exprimer les quantités suivantes en fonction de $\lfloor x \rfloor$ :\[ \lfloor -x \rfloor \text{ et } \lfloor 2x \rfloor.\]

Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in \mathbb{R}$. Montrer l'égalité suivante :\[ \left\lfloor \frac{\lfloor nx \rfloor}{n} \right\rfloor = \lfloor x \rfloor.\]

Soit $A$ une partie bornée et non vide de $\mathbb{R}$. On pose $B=\{ |x-y| \; | \; x,y \in A\}$. Montrer que $B$ admet un minimum et une borne supérieure; puis montrer que $\sup(B)=\sup(A)-\inf(A)$.