Soit $x,y \in \mathbb{R}$. Montrer l'inégalité suivante :\[ |xy| \leqslant \frac{x^2+y^2}{2}. \]

Soit $x,y \in [0,1]$. Montrer l'inégalité suivante :\[ x^2+y^2-xy \leqslant 1. \]

Soit $x,y \in \mathbb{R}_+$. Montrer l'inégalité suivante :\[ \sqrt{1+x}\sqrt{1+y} \geqslant 1+\sqrt{xy}. \]