Soit $\omega,\omega_0 \in \mathbb{R}_+^*$ tels que $\omega \neq \omega_0$. Résoudre sur $\mathbb{R}$ le problème de Cauchy :\[\begin{cases}\;y''+\omega^2y=\cos(\omega_0x) \\\\\;y(0)=1\text{ et }y'(0)=0\end{cases}\]

Résoudre l'équation différentielle suivante sur $]0,+\infty[$ : \[ y''+\frac{1}{t^2}y'-\frac{1}{t^3}y = 0. \] On pourra commencer par rechercher une solution polynomiale non nulle de cette équation.

Résoudre l'équation différentielle suivante sur $]0,+\infty[$ : \[ ty''+3y'-4t^3y = 0. \] On pourra commencer par rechercher une solution développable en série entière et non nulle de cette équation.

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle :\[y''+2y'+y=e^x\]

Déterminer les fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ deux fois dérivables telles que :\[y^{\prime \,2}+y^2=1.\]