Soit $\omega,\omega_0 \in \mathbb{R}_+^*$ tels que $\omega \neq \omega_0$. Résoudre sur $\mathbb{R}$ le problème de Cauchy :\[
\begin{cases}
\;y''+\omega^2y=\cos(\omega_0x) \\
\\
\;y(0)=1\text{ et }y'(0)=0
\end{cases}
\]
Résoudre l'équation différentielle suivante sur $]0,+\infty[$ : \[
y''+\frac{1}{t^2}y'-\frac{1}{t^3}y = 0.
\] On pourra commencer par rechercher une solution polynomiale non nulle de cette équation.
Résoudre l'équation différentielle suivante sur $]0,+\infty[$ : \[
ty''+3y'-4t^3y = 0.
\] On pourra commencer par rechercher une solution développable en série entière et non nulle de cette équation.