Soit $A=\begin{pmatrix}
-3&1&3 \\
1&-3&3 \\
-5&5&1
\end{pmatrix}$ et $B:t \mapsto \begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ e^{t}
\end{pmatrix}$. Résoudre le système différentielle $X'=AX+B(t)$ où $X=\begin{pmatrix}
x \\ y \\ z
\end{pmatrix}$ avec $x,y,z$ des fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.
Soit $A=\begin{pmatrix}
3&-1 \\
1&1
\end{pmatrix}$ et $B:t \mapsto 2e^{2t}\begin{pmatrix}
1 \\ -1
\end{pmatrix}$. Résoudre le système différentielle $X'=AX+B(t)$ où $X=\begin{pmatrix}
x \\ y
\end{pmatrix}$ avec $x,y$ des fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.
Déterminer les fonctions $f$ de $\mathbb{R}$ dans lui-même, dérivable sur $\mathbb{R}$ qui vérifient, pour tout $x \in \mathbb{R}$ :\[
f'(x)+f(x)=f(0)+f(1).
\]
Soit $\omega,\omega_0 \in \mathbb{R}_+^*$ tels que $\omega \neq \omega_0$. Résoudre sur $\mathbb{R}$ le problème de Cauchy :\[
\begin{cases}
\;y''+\omega^2y=\cos(\omega_0x) \\
\\
\;y(0)=1\text{ et }y'(0)=0
\end{cases}
\]
Résoudre l'équation différentielle suivante sur $]0,+\infty[$ : \[
y''+\frac{1}{t^2}y'-\frac{1}{t^3}y = 0.
\] On pourra commencer par rechercher une solution polynomiale non nulle de cette équation.
Résoudre l'équation différentielle suivante sur $]0,+\infty[$ : \[
ty''+3y'-4t^3y = 0.
\] On pourra commencer par rechercher une solution développable en série entière et non nulle de cette équation.