Soit $A=\begin{pmatrix} -3&1&3 \\ 1&-3&3 \\ -5&5&1 \end{pmatrix}$ et $B:t \mapsto \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ e^{t} \end{pmatrix}$. Résoudre le système différentielle $X'=AX+B(t)$ où $X=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ avec $x,y,z$ des fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.

Soit $A=\begin{pmatrix} 3&-1 \\ 1&1 \end{pmatrix}$ et $B:t \mapsto 2e^{2t}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$. Résoudre le système différentielle $X'=AX+B(t)$ où $X=\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ avec $x,y$ des fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.

Résoudre l'équation différentielle suivante sur $\mathbb{R}$ :\[y'+\frac{e^x}{1+e^x}y=1\]

Déterminer les fonctions $f$ de $\mathbb{R}$ dans lui-même, dérivable sur $\mathbb{R}$ qui vérifient, pour tout $x \in \mathbb{R}$ :\[f'(x)+f(x)=f(0)+f(1).\]

Soit $\omega,\omega_0 \in \mathbb{R}_+^*$ tels que $\omega \neq \omega_0$. Résoudre sur $\mathbb{R}$ le problème de Cauchy :\[\begin{cases}\;y''+\omega^2y=\cos(\omega_0x) \\\\\;y(0)=1\text{ et }y'(0)=0\end{cases}\]

Résoudre l'équation différentielle suivante sur $]0,+\infty[$ : \[ y''+\frac{1}{t^2}y'-\frac{1}{t^3}y = 0. \] On pourra commencer par rechercher une solution polynomiale non nulle de cette équation.

Résoudre l'équation différentielle suivante sur $]0,+\infty[$ : \[ ty''+3y'-4t^3y = 0. \] On pourra commencer par rechercher une solution développable en série entière et non nulle de cette équation.

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle :\[y''+2y'+y=e^x\]

Déterminer les fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ deux fois dérivables telles que :\[y^{\prime \,2}+y^2=1.\]