Déterminer un développement limité de $f$ en $0$ à l'ordre $n$ où :\[f(x)= \frac{\ln(1+x)}{(1+x^2)}\text{ avec }n=3.\]

Déterminer un développement limité de $f$ en $0$ à l'ordre $n$ où :\[f(x)= (1+x)^{\frac{1}{x}}\text{ avec }n=3.\]

Déterminer un développement limité de $f$ en $0$ à l'ordre $n$ où :\[f(x)= e^{3x}\sin(2x)\text{ avec }n=4.\]

Déterminer un développement limité de $f$ en $0$ à l'ordre $n$ où :\[f(x)= \ln(1+\sin(x))\text{ avec }n=3.\]

1. Montrer que $f$ la fonction de $\mathbb{R}$ dans lui-même définie par :\[f(x)=\begin{cases} 0&\text{ si }x=0 \\ x^4\sin\left(\frac{1}{x}\right)&\text{ si }x\neq 0 \end{cases}\]est dérivable deux fois en $0$ mais pas de classe $C^2$ en $0$.
2. Une fonction qui admet un développement limité à un ordre $n$ en $0$ est-elle de classe $C^n$ en $0$ ?

Soit $a \in \mathbb{R}$ et $f_a:x \mapsto \text{arctan}\left(\frac{x+a}{1-ax}\right)$.

1. Montrer que $f$ est de classe $C^{\infty}$ sur son domaine de définition et déterminer $f_a'$.
2. Pour $n \in \mathbb{N}$, déterminer un développement limité de $f_a'$ à l'ordre $2n-1$ en $0$ puis de $f_a$ à l'ordre $2n$ en $0$.
3. Pour $k \in \mathbb{N}$, déterminer $f_a^{(k)}(0)$.

Soit $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ définie, pour $x \in \mathbb{R}$, par $f(x)=xe^{x^2}$. Montrer que $f$ est bijective, que $f^{-1}$ admet un développement limité à l'ordre $n \in \mathbb{N}$ en $0$ puis en déterminer un pour $n=5$.

Soit $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la fonction :\[f:x \mapsto \begin{cases} 0&\text{ si }x=0 \\ e^{-\frac{1}{x^2}}&\text{ si }x \neq 0 \end{cases}\]

1. Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ puis déterminer la limite $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^n}$ pour $n \in \mathbb{N}$.
2. En déduire un développement limité de $f$ en $0$ à l'ordre $n \in \mathbb{N}$. Justifier qu'une fonction qui admet un développement limité nul (i.e. la partie polynomiale du DL est nulle) en $0$ à tout ordre n'est pas nécessairement la fonction nulle.
3. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, il existe un polynôme $P_n$ tel quepour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$, $f^{(n)}(x)=P_n\left(\frac{1}{x}\right)f(x)$.
   En déduire que $f$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$.