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Exercices de la catégorie Calcul asymptotique
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Calcul asymptotique : liste des exercices
Exercice #410
Exercice de base
Détails de l'exercice #410
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Déterminer un équivalent simple de $f$ en $+\infty$ où :\[ f: x \mapsto \sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}.\]
Exercice #411
Exercice de base
Détails de l'exercice #411
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Déterminer un équivalent simple de $f$ en $+\infty$ où :\[f:x \mapsto \frac{\ln(x+1)}{\ln(x)}-1.\]
Exercice #412
Exercice de base
Détails de l'exercice #412
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Déterminer un équivalent simple de $f$ en $0$ où :\[ f:x \mapsto \sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}.\]
Exercice #413
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #413
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ une fonction décroissante telle que :\[f(x)+f(x+1)\underset{x \rightarrow +\infty}{\sim}\frac{1}{x}.\]Étudier la limite en $+\infty$ de $f$ puis déterminer un équivalent simple de $f$ en $+\infty$.
Exercice #430
Exercice de base
Détails de l'exercice #430
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Déterminer un développement limité de $f$ en $0$ à l'ordre $n$ où :\[f(x)= \frac{\ln(1+x)}{(1+x^2)}\text{ avec }n=3.\]
Exercice #431
Exercice de base
Détails de l'exercice #431
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Déterminer un développement limité de $f$ en $0$ à l'ordre $n$ où :\[f(x)= (1+x)^{\frac{1}{x}}\text{ avec }n=3.\]
Exercice #432
Exercice de base
Détails de l'exercice #432
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Déterminer un développement limité de $f$ en $0$ à l'ordre $n$ où :\[f(x)= e^{3x}\sin(2x)\text{ avec }n=4.\]
Exercice #439
Exercice de base
Détails de l'exercice #439
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Déterminer un développement limité de $f$ en $0$ à l'ordre $n$ où :\[f(x)= \ln(1+\sin(x))\text{ avec }n=3.\]
Exercice #433
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #433
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
  1. Montrer que $f$ la fonction de $\mathbb{R}$ dans lui-même définie par :\[f(x)=\begin{cases} 0&\text{ si }x=0 \\ x^3\sin\left(\frac{1}{x}\right)&\text{ si }x\neq 0 \end{cases}\]est dérivable deux fois en $0$ mais pas de classe $C^2$ en $0$.
  2. Une fonction qui admet un développement limité à un ordre $n$ en $0$ est-elle de classe $C^n$ en $0$ ?
Exercice #434
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #434
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $a \in \mathbb{R}$ et $f_a:x \mapsto \text{arctan}\left(\frac{x+a}{1-ax}\right)$.
  1. Montrer que $f$ est de classe $C^{\infty}$ sur son domaine de définition et déterminer $f_a'$.
  2. Pour $n \in \mathbb{N}$, déterminer un développement limité de $f_a'$ à l'ordre $2n-1$ en $0$ puis de $f_a$ à l'ordre $2n$ en $0$.
  3. Pour $k \in \mathbb{N}$, déterminer $f_a^{(k)}(0)$.
Exercice #437
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #437
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ définie, pour $x \in \mathbb{R}$, par $f(x)=xe^{x^2}$. Montrer que $f$ est bijective, que $f^{-1}$ admet un développement limité à l'ordre $n \in \mathbb{N}$ en $0$ puis en déterminer un pour $n=5$.
Exercice #435
Difficulté de niveau 2
Détails de l'exercice #435
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la fonction :\[f:x \mapsto \begin{cases} 0&\text{ si }x=0 \\ e^{-\frac{1}{x^2}}&\text{ si }x \neq 0 \end{cases}\]
  1. Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ puis déterminer la limite $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^n}$ pour $n \in \mathbb{N}$.
  2. En déduire un développement limité de $f$ en $0$ à l'ordre $n \in \mathbb{N}$. Justifier qu'une fonction qui admet un développement limité nul (i.e. la partie polynomiale du DL est nulle) en $0$ à tout ordre n'est pas nécessairement la fonction nulle.
  3. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, il existe un polynôme $P_n$ tel quepour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$, $f^{(n)}(x)=P_n\left(\frac{1}{x}\right)f(x)$.
    En déduire que $f$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$.
Exercice #436
Exercice de base
Détails de l'exercice #436
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
  1. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\text{arctan}(x)=\frac{\pi}{2}-\text{arctan}\left(\frac{1}{x}\right)$.
  2. En déduire un développement asymptotique de $f=\text{arctan}$ en $+\infty$avec une précision en $\frac{1}{x^3}$.
Exercice #438
Exercice de base
Détails de l'exercice #438
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Déterminer un développement limité en $1$ à l'ordre $4$ de $f$ où :\[f:x\mapsto \sin(x^2(x - 1)).\]
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