Exercices de la catégorie Calcul asymptotique
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Calcul asymptotique : liste des exercices
Exercice #410
Énoncé
Déterminer un équivalent simple de $f$ en $+\infty$ où :\[
f: x \mapsto \sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}.
\]
Exercice #411
Énoncé
Déterminer un équivalent simple de $f$ en $+\infty$ où :\[
f:x \mapsto \frac{\ln(x+1)}{\ln(x)}-1.
\]
Exercice #412
Énoncé
Déterminer un équivalent simple de $f$ en $0$ où :\[
f:x \mapsto \sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}.
\]
Exercice #413
Énoncé
Soit $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ une fonction décroissante telle que :\[
f(x)+f(x+1)\underset{x \rightarrow +\infty}{\sim}\frac{1}{x}.
\]Étudier la limite en $+\infty$ de $f$ puis déterminer un équivalent simple de $f$ en $+\infty$.
Exercice #430
Énoncé
Déterminer un développement limité de $f$ en $0$ à l'ordre $n$ où :\[
f(x)= \frac{\ln(1+x)}{(1+x^2)}\text{ avec }n=3.
\]
Exercice #431
Énoncé
Déterminer un développement limité de $f$ en $0$ à l'ordre $n$ où :\[
f(x)= (1+x)^{\frac{1}{x}}\text{ avec }n=3.
\]
Exercice #432
Énoncé
Déterminer un développement limité de $f$ en $0$ à l'ordre $n$ où :\[
f(x)= e^{3x}\sin(2x)\text{ avec }n=4.
\]
Exercice #439
Énoncé
Déterminer un développement limité de $f$ en $0$ à l'ordre $n$ où :\[
f(x)= \ln(1+\sin(x))\text{ avec }n=3.
\]
Exercice #433
Énoncé
- Montrer que $f$ la fonction de $\mathbb{R}$ dans lui-même définie par :\[ f(x)=\begin{cases} 0&\text{ si }x=0 \\ x^4\sin\left(\frac {1}{x}\right)&\text{ si }x\neq 0 \end{cases} \]est dérivable deux fois en $0$ mais pas de classe $C^2$ en $0$.
- Une fonction qui admet un développement limité à un ordre $n$ en $0$ est-elle de classe $C^n$ en $0$ ?
Exercice #434
Énoncé
Soit $a \in \mathbb{R}$ et $f_a:x \mapsto \text{arctan}\left(\frac{x+a}{1-ax}\right)$.
- Montrer que $f$ est de classe $C^{\infty}$ sur son domaine de définition et déterminer $f_a'$.
- Pour $n \in \mathbb{N}$, déterminer un développement limité de $f_a'$ à l'ordre $2n-1$ en $0$ puis de $f_a$ à l'ordre $2n$ en $0$.
- Pour $k \in \mathbb{N}$, déterminer $f_a^{(k)}(0)$.
Exercice #437
Énoncé
Soit $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ définie, pour $x \in \mathbb{R}$, par $f(x)=xe^{x^2}$. Montrer que $f$ est bijective, que $f^{-1}$ admet un développement limité à l'ordre $n \in \mathbb{N}$ en $0$ puis en déterminer un pour $n=5$.
Exercice #435
Énoncé
Soit $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la fonction :\[
f:x \mapsto \begin{cases}
0&\text{ si }x=0 \\
e^{-\frac{1}{x^2}}&\text{ si }x \neq 0
\end{cases}
\]
- Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ puis déterminer la limite $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^n}$ pour $n \in \mathbb{N}$.
- En déduire un développement limité de $f$ en $0$ à l'ordre $n \in \mathbb{N}$. Justifier qu'une fonction qui admet un développement limité nul (i.e. la partie polynomiale du DL est nulle) en $0$ à tout ordre n'est pas nécessairement la fonction nulle.
- Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, il existe un polynôme $P_n$ tel quepour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$, $f^{(n)}(x)=P_n\left(\frac{1}{x}\right)f(x)$.
En déduire que $f$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$.
Exercice #436
Énoncé
- Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}^*$, $\text{arctan}(x)=\frac{\pi}{2}-\text{arctan}\left(\frac{1}{x}\right)$.
- En déduire un développement asymptotique de $f=\text{arctan}$ en $+\infty$ avec une précision en $\frac{1}{x^3}$.
Exercice #438
Énoncé
Déterminer un développement limité en $1$ à l'ordre $4$ de $f$ où :\[
f:x\mapsto \sin(x^2(x - 1)).
\]
Exercice #521
Énoncé
Soit $x \in \mathbb{R}_+^*$. Après avoir justifié que c'est possible, appliquer la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre $3$ à la fonction $f:t \mapsto \ln(1+t)$ sur l'intervalle $[0,x]$.
Exercice #520
Énoncé
Soit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ telle que $f(x)\xrightarrow[x \rightarrow+\infty]{}0$ et $f''(x)\xrightarrow[x \rightarrow+\infty]{}0$. Montrer que $f'(x)\xrightarrow[x \rightarrow+\infty]{}0$.
Exercice #523
Énoncé
Soit $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction de classe $C^2$ sur $\mathbb{R}$ et $a \in \mathbb{R}$. Déteminer :\[
\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(a+h)-2f(a)+f(a-h)}{h^2}
\]
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