Exercices de la catégorie Fonctions de la variable réelle
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Fonctions de la variable réelle : liste des exercices
Exercice #5
Énoncé
- Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}_+$, on a $\sin(x)\leqslant x$.
- Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\cos(x)\geqslant 1-\frac{x^2}{2}$.
Exercice #7
Énoncé
- Soit $p,q$ des réels. Écrire, lorsque l'expression est définie, $\dfrac{\cos(q)-\cos(p)}{\sin(p)+\sin(q)}$ sous la forme $\tan(?)$ avec $?$ à déterminer.
- En déduire $\tan(\frac{\pi}{24})$.
Exercice #10
Énoncé
Résoudre les équations suivantes d'inconnues $x \in \mathbb{R}$ :
- $3\cos(x)-\sqrt{3}\sin(x)=\sqrt{6}$.
- $\cos^4(x)+\sin^4(x)=1$.
Exercice #9
Énoncé
On considère la fonction $f:x \mapsto \cos^3(x)+\sin^3(x)$
- Étudier $f$ sur $\mathbb{R}$
- Résoudre l'équation $f(x)=1$.
Exercice #213
Énoncé
Déterminer pour quelles valeurs de l'inconnue $x \in \mathbb{R}$ l'équation suivante est valable puis la résoudre :\[
\text{arccos}(x)=\text{arcsin}(2x).
\]
Exercice #217
Énoncé
Simplifier, pour $x \in ]-1,1[$ :\[
\cos(2\text{arcsin}(x))
\]
Exercice #221
Énoncé
- Montrer que la fonction de la variable réelle $\displaystyle x \mapsto \text{arccos}\left(\frac{1}{\text{ch}(x)}\right)$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.
- Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, \[ |\text{arctan}(\text{sh}(x))|=\text{arccos}\left(\frac{1}{\text{ch}(x)}\right). \]
Exercice #214
Énoncé
Soit $x \in \mathbb{R}$. Simplifier :\[
\cos(2\text{arctan}(x))
\]
Exercice #221
Énoncé
- Montrer que la fonction de la variable réelle $\displaystyle x \mapsto \text{arccos}\left(\frac{1}{\text{ch}(x)}\right)$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.
- Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, \[ |\text{arctan}(\text{sh}(x))|=\text{arccos}\left(\frac{1}{\text{ch}(x)}\right). \]
Exercice #220
Énoncé
- Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}_+$, $\text{sh}(x)\geqslant x$
- Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\text{ch}(x)\geqslant 1+\frac{x^2}{2}$
Exercice #185
Énoncé
Étudier la fonction suivante sur son domaine de définition :\[
f: x \mapsto \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)
\]On pensera à étudier la parité de la fonction.
Exercice #196
Énoncé
Étudier la fonction $f$ puis tracer l'allure de son graphe sur son domaine de définition où :\[
f:x \mapsto \sqrt{4x^2+9}.
\]Lors de cette étude, on mettra en évidence des asymptotes obliques en $\pm \infty$.
Exercice #197
Énoncé
Étudier la fonction $f$ puis tracer l'allure de son graphe sur son domaine de définition :\[
f:x \mapsto \frac{x^2+1}{x+1}.
\]Lors de cette étude, on mettra en évidence des asymptotes verticales et obliques.
Exercice #198
Énoncé
Étudier la fonction $f$ puis tracer l'allure de son graphe sur son domaine de définition :\[
f:x \mapsto \ln(e^{2x}-1).
\]Lors de cette étude, on mettra en évidence des asymptotes verticales et obliques.
Exercice #187
Énoncé
Montrer que pour tout entier $n \geqslant 2$ :\[
\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \leqslant e \leqslant \left(1-\frac{1}{n}\right)^{-n}
\]
Exercice #188
Énoncé
Montrer que pour tout $x \in ]0,1[$ :\[
x^x(1-x)^{1-x}\geqslant \frac{1}{2}
\]
Exercice #193
Énoncé
Soit $f,g$ des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Montrer l'implication suivante :
Si $f$ et $g$ sont bornées sur $\mathbb{R}$ alors $f+g$ est bornée sur $\mathbb{R}$.
Que dire de l'implication réciproque ?
Si $f$ et $g$ sont bornées sur $\mathbb{R}$ alors $f+g$ est bornée sur $\mathbb{R}$.
Que dire de l'implication réciproque ?
Exercice #194
Énoncé
Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ et $a,b \in \mathbb{N}^*$ premiers entre eux. Montrer que si $f$ est $a$-périodique sur $\mathbb{R}$ et $b$-périodique alors $f$ est $1$-périodique.
Exercice #195
Énoncé
Soit $f$ une fonction bijective de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Montrer que si $f$ est impaire, alors sa réciproque $f^{-1}$ l'est aussi.
Exercice #202
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle f:x \mapsto \frac{\ln(1+x^2)}{x^2}$. Déterminer le domaine de dérivabilité de $f$, calculer $f'$ sur ce domaine puis déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ en $1$.
Exercice #203
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle f:x \mapsto e^{\frac{1}{x+1}+x^2-\cos(\sin(x))}$. Déterminer le domaine de dérivabilité de $f$, calculer $f'$ sur ce domaine puis déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ en $0$.
Exercice #204
Énoncé
On considère la fonction $\displaystyle f:x \mapsto \tan\left(\frac{x^2+\frac{\pi}{6}}{x^2+1}\right)$. Déterminer le domaine de dérivabilité de $f$, calculer $f'$ sur ce domaine puis déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ en $0$.
Exercice #190
Énoncé
Déterminer, pour $n \in \mathbb{N}$, la dérivée $n$-ième de la fonction :\[
f: x \mapsto (x^2+1)e^x.
\]après avoir justifié le caractère $C^{\infty}$ de $f$ sur son domaine de définition.
Exercice #192
Énoncé
Déterminer, pour $n \in \mathbb{N}$, la dérivée $n$-ième de la fonction :\[
f: x \mapsto \frac{1}{1-x^2}.
\]après avoir justifié le caractère $C^{\infty}$ de $f$ sur son domaine de définition.
Exercice #358
Énoncé
Soit $f :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ telle que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pm \infty}f(x)=+\infty$. Montrer qu'il existe $c \in \mathbb{R}$ tel que $f'(c)=0$.
Exercice #362
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}$ et $p: \rightarrow \mathbb{R}$ telle que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $p(x)=(x^2-1)^n$.
- Justifier que $p$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$. Dans la suite, on pose : \[ f=p^{(n)}. \]
- Montrer que $f$ est une fonction polynomiale de degré $n$ puis calculer les valeurs $f(\pm 1)$.
- Montrer que $f$ possède exactement $n$ racines distinctes qui sont toutes dans $]-1,1[$.
Exercice #360
Énoncé
Soit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$. Montrer :
$f$ est lipschitzienne sur $\mathbb{R}$ si, et seulement si, $f'$ est bornée sur $\mathbb{R}$.
Exercice #361
Énoncé
Montrer que $\cos$ est lipschitzienne sur $\mathbb{R}$.
Exercice #189
Énoncé
Montrer que la fonction $f:\mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}$ telle que, pour tout $x \in \mathbb{R}_+$ :\[
f(x)=\begin{cases}
x^2\ln(x)&\text{ si }x> 0 \\
0 & \text{ si }x=0
\end{cases}
\]est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$.
Exercice #11
Énoncé
Montrer que pour tout $x \in [0,\frac{\pi}{2}]$ ;\[
\frac{2}{\pi}x\leqslant \sin(x) \leqslant x
\]
Exercice #13
Énoncé
Soit $p,q \in ]1,+\infty[$ tels que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Montrer que, pour tous $x,y \in \mathbb{R}_+$ :\[
xy\leqslant \frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}.
\]
Exercice #14
Énoncé
Montrer que pour tous $x,y,a,b \in \mathbb{R}_+^*$, on a l'inégalité suivante :\[
(x+y)\ln\left(\frac{x+y}{a+b}\right)\leqslant x\ln\left(\frac{x}{a}\right)+y\ln\left(\frac{y}{b}\right)
\]
Exercice #12
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que pour tous $x_1,...,x_n \in \mathbb{R}$ :\[
\left(\sum_{k=1}^n x_k\right)^2\leqslant n \sum_{k=1}^n x_k^2.
\]
Exercice #410
Énoncé
Déterminer un équivalent simple de $f$ en $+\infty$ où :\[
f: x \mapsto \sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}.
\]
Exercice #411
Énoncé
Déterminer un équivalent simple de $f$ en $+\infty$ où :\[
f:x \mapsto \frac{\ln(x+1)}{\ln(x)}-1.
\]
Exercice #412
Énoncé
Déterminer un équivalent simple de $f$ en $0$ où :\[
f:x \mapsto \sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}.
\]
Exercice #413
Énoncé
Soit $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ une fonction décroissante telle que :\[
f(x)+f(x+1)\underset{x \rightarrow +\infty}{\sim}\frac{1}{x}.
\]Étudier la limite en $+\infty$ de $f$ puis déterminer un équivalent simple de $f$ en $+\infty$.
Exercice #430
Énoncé
Déterminer un développement limité de $f$ en $0$ à l'ordre $n$ où :\[
f(x)= \frac{\ln(1+x)}{(1+x^2)}\text{ avec }n=3.
\]
Exercice #431
Énoncé
Déterminer un développement limité de $f$ en $0$ à l'ordre $n$ où :\[
f(x)= (1+x)^{\frac{1}{x}}\text{ avec }n=3.
\]
Exercice #432
Énoncé
Déterminer un développement limité de $f$ en $0$ à l'ordre $n$ où :\[
f(x)= e^{3x}\sin(2x)\text{ avec }n=4.
\]
Exercice #439
Énoncé
Déterminer un développement limité de $f$ en $0$ à l'ordre $n$ où :\[
f(x)= \ln(1+\sin(x))\text{ avec }n=3.
\]
Exercice #433
Énoncé
- Montrer que $f$ la fonction de $\mathbb{R}$ dans lui-même définie par :\[ f(x)=\begin{cases} 0&\text{ si }x=0 \\ x^4\sin\left(\frac {1}{x}\right)&\text{ si }x\neq 0 \end{cases} \]est dérivable deux fois en $0$ mais pas de classe $C^2$ en $0$.
- Une fonction qui admet un développement limité à un ordre $n$ en $0$ est-elle de classe $C^n$ en $0$ ?
Exercice #434
Énoncé
Soit $a \in \mathbb{R}$ et $f_a:x \mapsto \text{arctan}\left(\frac{x+a}{1-ax}\right)$.
- Montrer que $f$ est de classe $C^{\infty}$ sur son domaine de définition et déterminer $f_a'$.
- Pour $n \in \mathbb{N}$, déterminer un développement limité de $f_a'$ à l'ordre $2n-1$ en $0$ puis de $f_a$ à l'ordre $2n$ en $0$.
- Pour $k \in \mathbb{N}$, déterminer $f_a^{(k)}(0)$.
Exercice #437
Énoncé
Soit $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ définie, pour $x \in \mathbb{R}$, par $f(x)=xe^{x^2}$. Montrer que $f$ est bijective, que $f^{-1}$ admet un développement limité à l'ordre $n \in \mathbb{N}$ en $0$ puis en déterminer un pour $n=5$.
Exercice #435
Énoncé
Soit $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la fonction :\[
f:x \mapsto \begin{cases}
0&\text{ si }x=0 \\
e^{-\frac{1}{x^2}}&\text{ si }x \neq 0
\end{cases}
\]
- Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ puis déterminer la limite $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^n}$ pour $n \in \mathbb{N}$.
- En déduire un développement limité de $f$ en $0$ à l'ordre $n \in \mathbb{N}$. Justifier qu'une fonction qui admet un développement limité nul (i.e. la partie polynomiale du DL est nulle) en $0$ à tout ordre n'est pas nécessairement la fonction nulle.
- Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, il existe un polynôme $P_n$ tel quepour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$, $f^{(n)}(x)=P_n\left(\frac{1}{x}\right)f(x)$.
En déduire que $f$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$.
Exercice #436
Énoncé
- Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}^*$, $\text{arctan}(x)=\frac{\pi}{2}-\text{arctan}\left(\frac{1}{x}\right)$.
- En déduire un développement asymptotique de $f=\text{arctan}$ en $+\infty$ avec une précision en $\frac{1}{x^3}$.
Exercice #438
Énoncé
Déterminer un développement limité en $1$ à l'ordre $4$ de $f$ où :\[
f:x\mapsto \sin(x^2(x - 1)).
\]
Exercice #521
Énoncé
Soit $x \in \mathbb{R}_+^*$. Après avoir justifié que c'est possible, appliquer la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre $3$ à la fonction $f:t \mapsto \ln(1+t)$ sur l'intervalle $[0,x]$.
Exercice #520
Énoncé
Soit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathcal{C}^2$ telle que $f(x)\xrightarrow[x \rightarrow+\infty]{}0$ et $f''(x)\xrightarrow[x \rightarrow+\infty]{}0$. Montrer que $f'(x)\xrightarrow[x \rightarrow+\infty]{}0$.
Exercice #523
Énoncé
Soit $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction de classe $C^2$ sur $\mathbb{R}$ et $a \in \mathbb{R}$. Déteminer :\[
\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(a+h)-2f(a)+f(a-h)}{h^2}
\]
Exercice #335
Énoncé
Soit $f:\mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue qui admet une limite finie en $+\infty$. Montrer que $f$ est bornée sur $\mathbb{R}_+$.
Exercice #338
Énoncé
Soit $T> 0$ et $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction $T$-périodique telle que $f$ admet une limite finie en $+\infty$.
Montrer que $f$ est une fonction constante.
Montrer que $f$ est une fonction constante.
Exercice #339
Énoncé
Déterminer la limite suivante, si elle existe :\[
\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}
\]
Exercice #341
Énoncé
Déterminer la limite suivante, si elle existe :\[
\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{x+\text{arctan}(x)}{x}
\]
Exercice #342
Énoncé
Déterminer la limite suivante, si elle existe :\[
\lim_{x \rightarrow 0}x\sin\left(\frac{1}{x}\right)
\]
Exercice #355
Énoncé
Montrer que la fonction $t \mapsto \cos(\sin(t) )$ n'admet pas de limite en $+\infty$.
Exercice #356
Énoncé
Déterminer toutes les fonctions $f$ de $]0,+\infty[\rightarrow \mathbb{R}$ telles que, pour tous $a,b \in ]0,+\infty[$ :\[
|f(a)-f(b)|\leqslant \frac{a}{b}.
\]
Exercice #357
Énoncé
Soit $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction périodique et non constante. Montrer que $f$ n'admet pas de limite en $+\infty$.
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