Soit $p,q$ des réels. Écrire, lorsque l'expression est définie, $\dfrac{\cos(q)-\cos(p)}{\sin(p)+\sin(q)}$ sous la forme $\tan(?)$ avec $?$ à déterminer.
Déterminer pour quelles valeurs de l'inconnue $x \in \mathbb{R}$ l'équation suivante est valable puis la résoudre :\[\text{arccos}(x)=\text{arcsin}(2x).\]
Montrer que la fonction de la variable réelle $\displaystyle x \mapsto \text{arccos}\left(\frac{1}{\text{ch}(x)}\right)$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.
Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, \[ |\text{arctan}(\text{sh}(x))|=\text{arccos}\left(\frac{1}{\text{ch}(x)}\right). \]
Montrer que la fonction de la variable réelle $\displaystyle x \mapsto \text{arccos}\left(\frac{1}{\text{ch}(x)}\right)$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.
Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, \[ |\text{arctan}(\text{sh}(x))|=\text{arccos}\left(\frac{1}{\text{ch}(x)}\right). \]
Étudier la fonction suivante sur son domaine de définition :\[f: x \mapsto \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\]On pensera à étudier la parité de la fonction.
Étudier la fonction $f$ puis tracer l'allure de son graphe sur son domaine de définition où :\[ f:x \mapsto \sqrt{4x^2+9}.\]Lors de cette étude, on mettra en évidence des asymptotes obliques en $\pm \infty$.
Étudier la fonction $f$ puis tracer l'allure de son graphe sur son domaine de définition :\[ f:x \mapsto \frac{x^2+1}{x+1}.\]Lors de cette étude, on mettra en évidence des asymptotes verticales et obliques.
Étudier la fonction $f$ puis tracer l'allure de son graphe sur son domaine de définition :\[ f:x \mapsto \ln(e^{2x}-1).\]Lors de cette étude, on mettra en évidence des asymptotes verticales et obliques.
Soit $f,g$ des fonctions de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Montrer l'implication suivante : Si $f$ et $g$ sont bornées sur $\mathbb{R}$ alors $f+g$ est bornée sur $\mathbb{R}$. Que dire de l'implication réciproque ?
Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ et $a,b \in \mathbb{N}^*$ premiers entre eux. Montrer que si $f$ est $a$-périodique sur $\mathbb{R}$ et $b$-périodique alors $f$ est $1$-périodique.
On considère la fonction $\displaystyle f:x \mapsto \frac{\ln(1+x^2)}{x^2}$. Déterminer le domaine de dérivabilité de $f$, calculer $f'$ sur ce domaine puis déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ en $1$.
On considère la fonction $\displaystyle f:x \mapsto e^{\frac{1}{x+1}+x^2-\cos(\sin(x))}$. Déterminer le domaine de dérivabilité de $f$, calculer $f'$ sur ce domaine puis déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ en $0$.
On considère la fonction $\displaystyle f:x \mapsto \tan\left(\frac{x^2+\frac{\pi}{6}}{x^2+1}\right)$. Déterminer le domaine de dérivabilité de $f$, calculer $f'$ sur ce domaine puis déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ en $0$.
Déterminer, pour $n \in \mathbb{N}$, la dérivée $n$-ième de la fonction :\[f: x \mapsto (x^2+1)e^x.\]après avoir justifié le caractère $C^{\infty}$ de $f$ sur son domaine de définition.
Déterminer, pour $n \in \mathbb{N}$, la dérivée $n$-ième de la fonction :\[f: x \mapsto \frac{1}{1-x^2}.\]après avoir justifié le caractère $C^{\infty}$ de $f$ sur son domaine de définition.
Soit $f :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ telle que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pm \infty}f(x)=+\infty$. Montrer qu'il existe $c \in \mathbb{R}$ tel que $f'(c)=0$.
Montrer que la fonction $f:\mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}$ telle que, pour tout $x \in \mathbb{R}_+$ :\[f(x)=\begin{cases} x^2\ln(x)&\text{ si }x>0 \\ 0 & \text{ si }x=0 \end{cases}\]est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$.
Soit $p,q \in ]1,+\infty[$ tels que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Montrer que, pour tous $x,y \in \mathbb{R}_+$ :\[ xy\leqslant \frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}.\]
Montrer que pour tous $x,y,a,b \in \mathbb{R}_+^*$, on a l'inégalité suivante :\[(x+y)\ln\left(\frac{x+y}{a+b}\right)\leqslant x\ln\left(\frac{x}{a}\right)+y\ln\left(\frac{y}{b}\right)\]
Soit $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ une fonction décroissante telle que :\[f(x)+f(x+1)\underset{x \rightarrow +\infty}{\sim}\frac{1}{x}.\]Étudier la limite en $+\infty$ de $f$ puis déterminer un équivalent simple de $f$ en $+\infty$.
Montrer que $f$ la fonction de $\mathbb{R}$ dans lui-même définie par :\[f(x)=\begin{cases} 0&\text{ si }x=0 \\ x^4\sin\left(\frac{1}{x}\right)&\text{ si }x\neq 0 \end{cases}\]est dérivable deux fois en $0$ mais pas de classe $C^2$ en $0$.
Une fonction qui admet un développement limité à un ordre $n$ en $0$ est-elle de classe $C^n$ en $0$ ?
Soit $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ définie, pour $x \in \mathbb{R}$, par $f(x)=xe^{x^2}$. Montrer que $f$ est bijective, que $f^{-1}$ admet un développement limité à l'ordre $n \in \mathbb{N}$ en $0$ puis en déterminer un pour $n=5$.
Soit $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ la fonction :\[f:x \mapsto \begin{cases} 0&\text{ si }x=0 \\ e^{-\frac{1}{x^2}}&\text{ si }x \neq 0 \end{cases}\]
Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ puis déterminer la limite $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^n}$ pour $n \in \mathbb{N}$.
En déduire un développement limité de $f$ en $0$ à l'ordre $n \in \mathbb{N}$. Justifier qu'une fonction qui admet un développement limité nul (i.e. la partie polynomiale du DL est nulle) en $0$ à tout ordre n'est pas nécessairement la fonction nulle.
Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, il existe un polynôme $P_n$ tel quepour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$, $f^{(n)}(x)=P_n\left(\frac{1}{x}\right)f(x)$. En déduire que $f$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$.
Soit $f:\mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue qui admet une limite finie en $+\infty$. Montrer que $f$ est bornée sur $\mathbb{R}_+$.
Soit $T>0$ et $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction $T$-périodique telle que $f$ admet une limite finie en $+\infty$. Montrer que $f$ est une fonction constante.
Déterminer toutes les fonctions $f$ de $]0,+\infty[\rightarrow \mathbb{R}$ telles que, pour tous $a,b \in ]0,+\infty[$ :\[ |f(a)-f(b)|\leqslant \frac{a}{b}.\]