1. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}_+$, on a $\sin(x)\leqslant x$.
2. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\cos(x)\geqslant 1-\frac{x^2}{2}$.

1. Soit $p,q$ des réels. Écrire, lorsque l'expression est définie, $\dfrac{\cos(q)-\cos(p)}{\sin(p)+\sin(q)}$ sous la forme $\tan(?)$ avec $?$ à déterminer.
2. En déduire $\tan(\frac{\pi}{24})$.

Résoudre les équations suivantes d'inconnues $x \in \mathbb{R}$ :

1. $3\cos(x)-\sqrt{3}\sin(x)=\sqrt{6}$.
2. $\cos^4(x)+\sin^4(x)=1$.

On considère la fonction $f:x \mapsto \cos^3(x)+\sin^3(x)$

1. Étudier $f$ sur $\mathbb{R}$
2. Résoudre l'équation $f(x)=1$.

Montrer que pour tout $x \in [0,\frac{\pi}{2}]$ ;\[ \frac{2}{\pi}x\leqslant \sin(x) \leqslant x\]

Soit $p,q \in ]1,+\infty[$ tels que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Montrer que, pour tous$x,y \in \mathbb{R}$ :\[ xy\leqslant \frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}.\]

Montrer que pour tous $x,y,a,b \in \mathbb{R}_+^*$, on a l'inégalité suivante :\[(x+y)\ln\left(\frac{x+y}{a+b}\right)\leqslant x\ln\left(\frac{x}{a}\right)+y\ln\left(\frac{y}{b}\right)\]

Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que pour tous $x_1,...,x_n \in \mathbb{R}$ :\[ \left(\sum_{k=1}^n x_k\right)^2\leqslant n \sum_{k=1}^n x_k^2.\]