Soit $f :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ telle que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pm \infty}f(x)=+\infty$. Montrer qu'il existe $c \in \mathbb{R}$ tel que $f'(c)=0$.

Soit $n \in \mathbb{N}$ et $p: \rightarrow \mathbb{R}$ telle que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $p(x)=(x^2-1)^n$.

1. Justifier que $p$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$. Dans la suite, on pose : \[ f=p^{(n)}. \]
2. Montrer que $f$ est une fonction polynomiale de degré $n$ puis calculer les valeurs $f(\pm 1)$.
3. Montrer que $f$ possède exactement $n$ racines distinctes qui sont toutes dans $]-1,1[$.