On considère la fonction $\displaystyle f:x \mapsto \frac{\ln(1+x^2)}{x^2}$. Déterminer le domaine de dérivabilité de $f$, calculer $f'$ sur ce domaine puis déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ en $1$.

On considère la fonction $\displaystyle f:x \mapsto e^{\frac{1}{x+1}+x^2-\cos(\sin(x))}$. Déterminer le domaine de dérivabilité de $f$, calculer $f'$ sur ce domaine puis déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ en $0$.

On considère la fonction $\displaystyle f:x \mapsto \tan\left(\frac{x^2+\frac{\pi}{6}}{x^2+1}\right)$. Déterminer le domaine de dérivabilité de $f$, calculer $f'$ sur ce domaine puis déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f$ en $0$.

Déterminer, pour $n \in \mathbb{N}$, la dérivée $n$-ième de la fonction :\[f: x \mapsto (x^2+1)e^x.\]après avoir justifié le caractère $C^{\infty}$ de $f$ sur son domaine de définition.

Déterminer, pour $n \in \mathbb{N}$, la dérivée $n$-ième de la fonction :\[f: x \mapsto \frac{1}{1-x^2}.\]après avoir justifié le caractère $C^{\infty}$ de $f$ sur son domaine de définition.

Soit $f :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ telle que $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \pm \infty}f(x)=+\infty$. Montrer qu'il existe $c \in \mathbb{R}$ tel que $f'(c)=0$.

Soit $n \in \mathbb{N}$ et $p: \rightarrow \mathbb{R}$ telle que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $p(x)=(x^2-1)^n$.

1. Justifier que $p$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$. Dans la suite, on pose : \[ f=p^{(n)}. \]
2. Montrer que $f$ est une fonction polynomiale de degré $n$ puis calculer les valeurs $f(\pm 1)$.
3. Montrer que $f$ possède exactement $n$ racines distinctes qui sont toutes dans $]-1,1[$.

Soit $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$. Montrer :

$f$ est lipschitzienne sur $\mathbb{R}$ si, et seulement si, $f'$ est bornée sur $\mathbb{R}$.

Montrer que $\cos$ est lipschitzienne sur $\mathbb{R}$.

Montrer que la fonction $f:\mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}$ telle que, pour tout $x \in \mathbb{R}_+$ :\[f(x)=\begin{cases} x^2\ln(x)&\text{ si }x>0 \\ 0 & \text{ si }x=0 \end{cases}\]est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$.