1. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}_+$, on a $\sin(x)\leqslant x$.
2. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\cos(x)\geqslant 1-\frac{x^2}{2}$.

1. Soit $p,q$ des réels. Écrire, lorsque l'expression est définie, $\dfrac{\cos(q)-\cos(p)}{\sin(p)+\sin(q)}$ sous la forme $\tan(?)$ avec $?$ à déterminer.
2. En déduire $\tan(\frac{\pi}{24})$.

Résoudre les équations suivantes d'inconnues $x \in \mathbb{R}$ :

1. $3\cos(x)-\sqrt{3}\sin(x)=\sqrt{6}$.
2. $\cos^4(x)+\sin^4(x)=1$.

On considère la fonction $f:x \mapsto \cos^3(x)+\sin^3(x)$

1. Étudier $f$ sur $\mathbb{R}$
2. Résoudre l'équation $f(x)=1$.

Déterminer pour quelles valeurs de l'inconnue $x \in \mathbb{R}$ l'équation suivante est valable puis la résoudre :\[ \text{arccos}(x)=\text{arcsin}(2x). \]

Simplifier, pour $x \in ]-1,1[$ :\[ \cos(2\text{arcsin}(x)) \]

1. Montrer que la fonction de la variable réelle $\displaystyle x \mapsto \text{arccos}\left(\frac{1}{\text{ch}(x)}\right)$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.
2. Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, \[ |\text{arctan}(\text{sh}(x))|=\text{arccos}\left(\frac{1}{\text{ch}(x)}\right). \]

Soit $x \in \mathbb{R}$. Simplifier :\[ \cos(2\text{arctan}(x)) \]

1. Montrer que la fonction de la variable réelle $\displaystyle x \mapsto \text{arccos}\left(\frac{1}{\text{ch}(x)}\right)$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.
2. Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, \[ |\text{arctan}(\text{sh}(x))|=\text{arccos}\left(\frac{1}{\text{ch}(x)}\right). \]

1. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}_+$, $\text{sh}(x)\geqslant x$
2. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\text{ch}(x)\geqslant 1+\frac{x^2}{2}$

Étudier la fonction suivante sur son domaine de définition :\[ f: x \mapsto \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) \]On pensera à étudier la parité de la fonction.

Étudier la fonction $f$ puis tracer l'allure de son graphe sur son domaine de définition où :\[ f:x \mapsto \sqrt{4x^2+9}. \]Lors de cette étude, on mettra en évidence des asymptotes obliques en $\pm \infty$.

Étudier la fonction $f$ puis tracer l'allure de son graphe sur son domaine de définition :\[ f:x \mapsto \frac{x^2+1}{x+1}. \]Lors de cette étude, on mettra en évidence des asymptotes verticales et obliques.

Étudier la fonction $f$ puis tracer l'allure de son graphe sur son domaine de définition :\[ f:x \mapsto \ln(e^{2x}-1). \]Lors de cette étude, on mettra en évidence des asymptotes verticales et obliques.

Montrer que pour tout entier $n \geqslant 2$ :\[ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \leqslant e \leqslant \left(1-\frac{1}{n}\right)^{-n} \]

Montrer que pour tout $x \in ]0,1[$ :\[ x^x(1-x)^{1-x}\geqslant \frac{1}{2} \]