Déterminer pour quelles valeurs de l'inconnue $x \in \mathbb{R}$ l'équation suivante est valable puis la résoudre :\[\text{arccos}(x)=\text{arcsin}(2x).\]

Simplifier, pour $x \in ]-1,1[$ :\[\cos(2\text{arcsin}(x))\]

1. Montrer que la fonction de la variable réelle $\displaystyle x \mapsto \text{arccos}\left(\frac{1}{\text{ch}(x)}\right)$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.
2. Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, \[ |\text{arctan}(\text{sh}(x))|=\text{arccos}\left(\frac{1}{\text{ch}(x)}\right). \]

Soit $x \in \mathbb{R}$. Simplifier :\[\cos(2\text{arctan}(x))\]