Étudier la fonction suivante sur son domaine de définition :\[f: x \mapsto \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\]On pensera à étudier la parité de la fonction.

Étudier la fonction $f$ puis tracer l'allure de son graphe sur son domaine de définition où :\[ f:x \mapsto \sqrt{4x^2+9}.\]Lors de cette étude, on mettra en évidence des asymptotes obliques en $\pm \infty$.

Étudier la fonction $f$ puis tracer l'allure de son graphe sur son domaine de définition :\[ f:x \mapsto \frac{x^2+1}{x+1}.\]Lors de cette étude, on mettra en évidence des asymptotes verticales et obliques.

Étudier la fonction $f$ puis tracer l'allure de son graphe sur son domaine de définition :\[ f:x \mapsto \ln(e^{2x}-1).\]Lors de cette étude, on mettra en évidence des asymptotes verticales et obliques.

Montrer que pour tout entier $n \geqslant 2$ :\[ \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \leqslant e \leqslant \left(1-\frac{1}{n}\right)^{-n}\]

Montrer que pour tout $x \in ]0,1[$ :\[x^x(1-x)^{1-x}\geqslant \frac{1}{2}\]