Soit $p,q \in ]1,+\infty[$ tels que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Montrer que, pour tous $x,y \in \mathbb{R}_+$ :\[
xy\leqslant \frac{x^p}{p}+\frac{y^q}{q}.
\]
Montrer que pour tous $x,y,a,b \in \mathbb{R}_+^*$, on a l'inégalité suivante :\[
(x+y)\ln\left(\frac{x+y}{a+b}\right)\leqslant x\ln\left(\frac{x}{a}\right)+y\ln\left(\frac{y}{b}\right)
\]