Soit $f:\mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue qui admet une limite finie en $+\infty$. Montrer que $f$ est bornée sur $\mathbb{R}_+$.
Soit $T> 0$ et $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction $T$-périodique telle que $f$ admet une limite finie en $+\infty$. Montrer que $f$ est une fonction constante.
Déterminer toutes les fonctions $f$ de $]0,+\infty[\rightarrow \mathbb{R}$ telles que, pour tous $a,b \in ]0,+\infty[$ :\[
|f(a)-f(b)|\leqslant \frac{a}{b}.
\]