Soit $f:\mathbb{R}_+ \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction continue qui admet une limite finie en $+\infty$. Montrer que $f$ est bornée sur $\mathbb{R}_+$.

Soit $T>0$ et $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction $T$-périodique telle que $f$ admet une limite finie en $+\infty$.
Montrer que $f$ est une fonction constante.

Déterminer la limite suivante, si elle existe :\[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}{x}\]

Déterminer la limite suivante, si elle existe :\[\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{x+\text{arctan}(x)}{x}\]

Déterminer la limite suivante, si elle existe :\[\lim_{x \rightarrow 0}x\sin\left(\frac{1}{x}\right)\]

Montrer que la fonction $t \mapsto \cos(\sin(t) )$ n'admet pas de limite en $+\infty$.

Déterminer toutes les fonctions $f$ de $]0,+\infty[\rightarrow \mathbb{R}$ telles que, pour tous $a,b \in ]0,+\infty[$ :\[ |f(a)-f(b)|\leqslant \frac{a}{b}.\]

Soit $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ une fonction périodique et non constante. Montrer que $f$ n'admet pas de limite en $+\infty$.