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Exercices de la catégorie Algèbre
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Algèbre : liste des exercices
Exercice #54
Exercice de base
Détails de l'exercice #54
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}$. Simplifier la somme : \[ \sum_{m=0}^n (3m+2) \]
Exercice #55
Exercice de base
Détails de l'exercice #55
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}$. Simplifier la somme : \[ \sum_{j=0}^n \frac{4^{j+1}}{3^{2j}} \]
Exercice #62
Exercice de base
Détails de l'exercice #62
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Simplifier le produit : \[ \prod_{k=1}^n \left(1+\frac{1}{k}\right) \]
Exercice #58 Somme double de min et max
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #58
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}$.
  1. Simplifier la somme :\[ \sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n}\min(i,j)\]
  2. Calculer $\displaystyle \sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n}(i+j)$ puis en déduire la somme : \[ \sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n}\max(i,j)\]
Exercice #63
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #63
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Simplifier la somme : \[ \sum_{1\leqslant i,j \leqslant n} (i+j)^2 \]
Exercice #65
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #65
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $n,m \in \mathbb{N}$. Calculer la somme : \[ \sum_{p=0}^n \binom{m+p}{p} \]
Exercice #70
Exercice de base
Détails de l'exercice #70
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z \in \mathbb{R}$ :\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} 2x&-&y&+&z&=&3 \\ x&+&y&+&z&=&6 \\ -x&+&2y&-&z&=&0 \\ \end{array}\right.\]
Exercice #74
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #74
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z \in \mathbb{R}$ selon la valeur du paramètre $m \in \mathbb{R}$:\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} x&+&my&-&z&=&2 \\ x&+&2my&-&3z&=&0 \\ -2x&&&+&mz&=&-6 \\ \end{array}\right.\]
Exercice #75
Exercice de base
Détails de l'exercice #75
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $X$ un ensemble et $A,B$ des parties de $X$. Montrer que :\[ A\subset B \Leftrightarrow A\cup B = B.\]
Exercice #66
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #66
Exercice enregistré par M. Arnt
Mots clés associés :
raisonnement par l'absurde
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que $2n^2$ n'est pas le carré d'un entier.
Indications
Raisonner par l'absurde puis obtenir une contradiction avec le fait que $\sqrt{2}$ est un irrationnel.
Correction
On suppose par l'absurde que $2n^2$ est le carré d'un entier. Alors il existe $m \in \mathbb{N}$ tel que $2n^2=m^2$. Comme $n \neq 0$, on a alors :\[2=\frac{m^2}{n^2}\text{ et ainsi }\sqrt{2}=\frac{m}{n}.\]Or, $n,m$ sont des entiers, donc $\sqrt{2}$ est un rationnel.
Contradiction car $\sqrt{2}$ est irrationnel.
Par suite, $2n^2$ n'est pas le carré d'un entier.
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