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Exercices de la catégorie Algèbre
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Algèbre : liste des exercices
Classement : MathématiquesAlgèbre
Exercice #54
Exercice de base
Détails de l'exercice #54
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}$. Simplifier la somme : \[ \sum_{m=0}^n (3m+2) \]
Exercice #55
Exercice de base
Détails de l'exercice #55
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}$. Simplifier la somme : \[ \sum_{j=0}^n \frac{4^{j+1}}{3^{2j}} \]
Exercice #62
Exercice de base
Détails de l'exercice #62
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Simplifier le produit : \[ \prod_{k=1}^n \left(1+\frac{1}{k}\right) \]
Exercice #58 Somme double de min et max
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #58
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}$.
  1. Simplifier la somme :\[ \sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n}\min(i,j)\]
  2. Calculer $\displaystyle \sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n}(i+j)$ puis en déduire la somme : \[ \sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n}\max(i,j)\]
Exercice #63
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #63
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Simplifier la somme : \[ \sum_{1\leqslant i,j \leqslant n} (i+j)^2 \]
Exercice #65
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #65
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $n,m \in \mathbb{N}$. Calculer la somme : \[ \sum_{p=0}^n \binom{m+p}{p} \]
Classement : MathématiquesAlgèbre
Exercice #95
Exercice de base
Détails de l'exercice #95
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Résoudre l'équation d'inconnue $z \in \mathbb{C}$ :\[ z^6=64i\]On donner les solutions sous forme exponentielle.
Exercice #33
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #33
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On note $\mathbb{U}_n$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité. Calculer :\[ a) \prod_{z \in \mathbb{U}_n}z \quad \quad b) \sum_{z \in \mathbb{U}_n}|z-1|.\]
Exercice #34
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #34
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Résoudre l'équation suivante d'inconnue $z \in \mathbb{C}$ : \[ z^n=\overline{z}. \]
Exercice #30
Difficulté de niveau 2
Détails de l'exercice #30
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On note $\mathbb{U}_n$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité.
  1. Soit $p \in \mathbb{N}$. Calculer $\displaystyle \sum_{z \in \mathbb{U}_n} z^p$.
  2. En déduire la valeur de la somme $\displaystyle \sum_{z \in \mathbb{U}_n}(1+z)^n$.
Exercice #91
Exercice de base
Détails de l'exercice #91
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Résoudre l'équation d'inconnue $z \in \mathbb{C}$ :\[ (3+i)z=2iz+2\]En cas d'existence, on donnera la ou les solutions sous forme algébrique.
Exercice #92
Exercice de base
Détails de l'exercice #92
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Résoudre l'équation d'inconnue $z \in \mathbb{C}$ :\[ (1+3i)z+6=2iz+2\]En cas d'existence, on donnera la ou les solutions sous forme algébrique.
Exercice #93
Exercice de base
Détails de l'exercice #93
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Résoudre l'équation d'inconnue $z \in \mathbb{C}$ :\[ 2iz+5=3\overline{z}+5i\]En cas d'existence, on donnera la ou les solutions sous forme algébrique.
Exercice #108
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #108
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation suivante d'inconnue $z\in \mathbb{C}$ :\[(z^2+z+1)^2+1=0\]
Exercice #32
Exercice de base
Détails de l'exercice #32
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Résoudre l'équation suivante d'inconnue $z\in \mathbb{C}$ :\[ z^2+5z+7=i\]
Exercice #109
Exercice de base
Détails de l'exercice #109
Exercice enregistré par M. Arnt
Mots clés associés :
discriminant
Énoncé
Résoudre l'équation suivante d'inconnue $z \in \mathbb{C}$ :\[z^2+5iz-4 = 0.\]
Indications
Il s'agit d'une équation polynomiale du second degré, on applique la résolution classique utilisant le discriminant.
Correction
Le discriminant $\Delta$ de l'équation polynomiale du second degré vérifie :\[\Delta = (5i)^2-4\times 1 \times (-4)= -9 \neq 0\]et $\delta=3i$ est une racine de $\Delta$.
Par suite, l'équation possède deux solutions distinctes $z_{\pm}$ :\[z_{\pm} = \frac{-5i\pm \delta}{2\times 1}\]et ainsi, $z_+=-i$ et $z_-=-4i$.
L'équation a donc pour solutions $-i$ et $-4i$.
Exercice #110
Exercice de base
Détails de l'exercice #110
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $A,B,C,D$ quatre points du plan complexe tels que $A\neq B$ et $C \neq D$. Montrer qu'il existe une unique similitude directe $s: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ telle que $s(A)=C$ et $s(B)=D$.
Dans cet exercice, on identifie les points du plan complexe avec leurs affixes.
Indications
Faire l'analyse du problème.
Correction
Analysons le problème :
si $s$ est une similitude directe vérifiant les propriétés demandées, alors il existe $a,b \in \mathbb{C}$ avec $a\neq 0$ tels que $s:z \mapsto az+b$ et $aA+b=s(A)=C$; $aB+b=s(B)=D$.
Alors, en faisant la différence et la somme de ces égalités, on obtient :\[\begin{cases} a(A-B)=C-D \\ a(A+B)+2b=C+D &\end{cases}\]$A$ étant différent de $B$, on obtient :\[\begin{cases} a=\frac{C-D}{A-B} \\ b=\frac{1}{2}\left(C+D-\frac{(C-D)(A+B)}{A-B}\right)=\frac{AD-BC}{A-B}.\end{cases}\]Passons à la synthèse.
Existence : On pose $a=\frac{C-D}{A-B} \in \mathbb{C}^*$ (non nul car $C \neq D$), $b=\frac{AD-BC}{A-B} \in \mathbb{C}$ et $s:z \mapsto az+b$. Alors $s$ est une similitude directe et on a :\[s(A)=aA+b=\frac{C-D}{A-B}A+\frac{AD-BC}{A-B}=C\]et \[s(B)=aB+b=\frac{C-D}{A-B}B+\frac{AD-BC}{A-B}=D\]d'où l'existence d'une similitude qui envoie $A$ sur $C$ et $B$ sur $D$.
Unicité : Soit deux telles similitudes $s:z\mapsto az+b$ et $s':z\mapsto a'z+b'$. Alors :\[aA+b=s(A)=C=s'(A)=a'A+b'\]et \[aB+b=s(B)=D=s'(B)=a'B+b'\]d'où, en faisant la différence de ces deux égalités, on obtient :\[a=a' \text{ puis }b=b'.\]Donc $s=s'$.
(pour l'unicité, on aurait pu également pu réutiliser ce qui avait été fait dans l'analyse !)
Exercice #111
Exercice de base
Détails de l'exercice #111
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Caractériser géométriquement la similitude directe $s: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ telle que, pour $z \in \mathbb{C}$ :\[s(z)=(2+2i)z+1-3i.\]
Exercice #96
Exercice de base
Détails de l'exercice #96
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $\theta \in \mathbb{R}$. Exprimer $\sin(5\theta)$ en fonction de $\sin(\theta)$.
Exercice #38
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #38
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $z \in \mathbb{C} \smallsetminus\{1\}$ tel que $|z|=1$.
Montrer que $\displaystyle \frac{z+1}{z-1}$ est un imaginaire pur.
Exercice #94
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #94
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $\theta \in \mathbb{R}$. Lorsque c'est possible, mettre sous forme exponentielle le nombre complexe $z=e^{i\theta}+e^{i2\theta}$.
Classement : MathématiquesAlgèbre
Exercice #384
Exercice de base
Détails de l'exercice #384
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
On considère l'espace euclidien $\mathbb{R}^3$ orienté par la base canonique. Caractériser géométriquement l'endomorphisme $u$ de $\mathbb{R}^3$ dont la matrice $A$ dans la base canonique est :\[ A=\frac{1}{2\sqrt{3}}\begin{pmatrix} 6\sqrt{3}&0&4\sqrt{6} \\ 0&\sqrt{3}&-1 \\ -4\sqrt{6}&3&-5\sqrt{3} \end{pmatrix}\]
Exercice #385
Exercice de base
Détails de l'exercice #385
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
On considère l'espace euclidien $\mathbb{R}^3$ orienté par la base canonique. Caractériser géométriquement l'endomorphisme $u$ de $\mathbb{R}^3$ dont la matrice $A$ dans la base canonique est :\[ A=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \sqrt{3}&0&1 \\ 0&2&0 \\ -1&0&\sqrt{3} \end{pmatrix}\]
Exercice #386
Exercice de base
Détails de l'exercice #386
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
On considère l'espace euclidien $\mathbb{R}^3$ orienté par la base canonique. Caractériser géométriquement l'endomorphisme $u$ de $\mathbb{R}^3$ dont la matrice $A$ dans la base canonique est :\[ A=-\frac{\sqrt{2}}{2}\begin{pmatrix} 1&0&-1 \\ 0&-2&0 \\ 1&0&1 \end{pmatrix}\]
Exercice #388
Exercice de base
Détails de l'exercice #388
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que si $A+{}^{t}\mkern-3mu A$ est nilpotente, alors $A$ est une matrice antisymétrique.
Exercice #389
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #389
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $E$ un espace euclidien et $u,v \in \mathcal{L}(E)$.
  1. On suppose que $u \in \mathcal{S}^{++}(E)$ (i.e. $u$ est un endomorphisme autoadjoint défini positif). Justifier que $u$ est bijectif et montrer qu'il existe $r \in \mathcal{S}^{++}(E)$ tel que $r^2=u$.
  2. On suppose $u \in \mathcal{S}^{++}(E)$ et $v \in \mathcal{S}(E)$. Montrer que $u^{-1}\circ v$ est diagonalisable.
Exercice #382
Exercice de base
Détails de l'exercice #382
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $E$ un espace euclidien et $u$ une isométrie vectorielle de $E$. Montrer que $u$ est une symétrie si, et seulement si, $u$ est diagonalisable.
Exercice #383
Exercice de base
Détails de l'exercice #383
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $E$ un espace euclidien et $u$ un endomorphisme de $E$ tel que, pour tous $x,y \in E$ :\[ (x|y)=0 \; \Rightarrow \; (u(x)|u(y))=0.\]
  1. Montrer qu'il existe un réel positif $c$ tel que, pour tout $x \in E$ : \[ \|u(x)\|=c\|x\|. \]
  2. En déduire que $u$ est colinéaire à une isométrie vectorielle.
Exercice #390
Exercice de base
Détails de l'exercice #390
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
On munit $E=\mathbb{R}[X]$ du produit scalaire $(\cdot | \cdot)$ tel que, pour $P,Q \in E$ :\[ (P|Q)=\frac{1}{2}\int_{-1}^1 P(t)Q(t)\text{d}t.\]
  1. Par le procédé d'orthonormalisation de Gramm-Schmidt, déterminer une famille orthonormale $(e_0,e_1,e_2)$ de $E$ à partir de la famille $(1,X,X^2)$.
    Dans la suite, on note $F=\text{Vect}(e_0,e_1,e_2)$.
  2. Pour $n \in \mathbb{N}$, calculer la projection orthogonale de $X^{2n+1}$ sur $F$.
  3. Déterminer la distance de $X^7$ à $F$.
Classement : MathématiquesAlgèbre
Exercice #126
Exercice de base
Détails de l'exercice #126
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $(G,\cdot)$ un groupe fini de cardinal $2n$. On définit sur $G$ la relation binaire $\mathcal{R}$, pour $g,h \in G$, par :\[ g \,\mathcal{R} \,h \;\text{ si, et seulement si, }\;g=h \text{ ou }g^{-1}=h.\]
  1. Montrer que $\mathcal{R}$ est une relation d'équivalence sur $G$.
  2. En déduire qu'il existe un élément d'ordre $2$ dans $G$.
Exercice #127
Difficulté de niveau 2
Détails de l'exercice #127
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $(G,\cdot)$ un groupe et $x,y \in G$ deux éléments qui commutent d'ordres finis respectifs $n$ et $m$. On suppose de plus que $n$ et $m$ sont premiers entre eux.
Déterminer l'ordre $o(g)$ de $g=xy$.
Exercice #128
Difficulté de niveau 2
Détails de l'exercice #128
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $(G, \cdot)$ un groupe, $n,m \in \mathbb{N}^*$ et $g \in G$ un élément d'ordre fini égal à $nm$.
Montrer que si $n$ et $m$ sont premiers entre eux alors il existe un unique couple $(x,y) \in G^2$ tel que $x,y$ commutent, sont d'ordres finis respectifs $n$, $m$ et $g=xy$.
Correction
On suppose $n \wedge m = 1$. D'après le théorème de Bézout, il existe $u,v \in \mathbb{Z}$ tels que $nu+mv=1$.
On remarque alors, à partir de cette relation et toujours d'après le théorème de Bézout (la réciproque cette fois), que $n \wedge v = 1$ et $m \wedge u = 1$.

Démontrons le résultat demandé :
  • Existence : On pose $x=g^{mv}$ et $y=g^{nu}$. Alors $x$ et $y$ commutent car des composées de $g$ et de son symétrique commutent entre elles et on a : \[ xy=g^{mv}g^{nu}=g^{mv+nu}=g. \] De plus, on a $x^n=(g^{mv})^n=(g^{nm})^v=e$ et $y^m=(g^{nu})^m=(g^{nm})^u=e$ car $g$ est d'ordre $nm$, donc $x$ et $y$ sont d'ordre finis disons respectivement $p$ et $q$.
    D'après ce qui précède, on a $p|n$ et $q|m$. Montrons que $n|p$ et $m|q$.
    On a : \[ g^{mvp}=x^p=e \] et $g$ d'ordre $nm$ donc $nm|mvp$ d'où $n|vp$. Or, d'après la remarque initiale, $n \wedge v = 1$, donc d'après le lemme de Gauss, $n|p$.
    Par un raisonnement analogue, on prouve $m|q$.
    Ainsi, $n,m,p,q$ étant positifs, on a $p=n$ et $m=q$.
    Ce qui démontre l'existence.
  • Unicité : Soit $(x,y), (z,t) \in G^2$ deux couples ayant les propriétés annoncées. Alors, comme $xy=g=zt$, on a $x^{-1}z=yt^{-1}$ et : \[ \begin{array}{rcl} x^{-1}z&=&(x^{-1}z)^{nu+mv} \\ &=&(x^{-1}z)^{nu}.(yt^{-1})^{mv} \\ &=&((x^n)^{-1}z^n)^u.(y^m(t^m)^{-1})^{m} \\ &=&(e.e)^u.(e.e)^v \\ x^{-1}z&=&e \end{array} \] D'où $e=x^{-1}z=yt^{-1}$ et donc $x=z$ et $y=t$.
    Ce qui prouve l'unicité.
Exercice #133
Exercice de base
Détails de l'exercice #133
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Montrer que $G=\{z \in \mathbb{C} \; | \; \exists\; n \in \mathbb{N}^*, z^n=1\}$ est un sous-groupe de $(\mathbb{C}^*,\times)$. Quel est son cardinal ? Justifier.
Exercice #129
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #129
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $I=]-1,1[$. On munit $I$ d'une loi $*$ définie, pour tous $x,y \in I$,par $x*y=\frac{x+y}{1+xy}$.
  1. Montrer que, pour tous $x,y \in I$, $x*y$ est bien défini. Puis montrer que $*$ est une loi de composition interne sur $I$.
  2. Montrer que $(I,*)$ est un groupe commutatif. $[0,1[$ est-il un sous-groupe de $I$ ?
  3. Soit $x>0$. Montrer que $H_x=\{\frac{x^n-1}{x^n+1} \; | \; n \in \mathbb{Z}\}$ est un sous-groupe de $I$.
Exercice #130
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #130
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $(G,.)$ un groupe tel que pour tout $g \in G$, $g^2=e$. Montrer que $G$ est un groupe commutatif.
Exercice #137
Exercice de base
Détails de l'exercice #137
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On considère $f:x \mapsto x^n$ et $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Montrer que $f$ est un morphisme de groupes de $(\mathbb{K}^*,\times)$ dans lui-même puis, en fonction de $\mathbb{K}$, déterminer son image et son noyau.
Exercice #381
Exercice de base
Détails de l'exercice #381
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $G$ un groupe. On condidère l'application $f:x \mapsto x^{-1}$ de $G$ dans $G$ où $x^{-1}$ désigne le symétrique de l'élement $x \in G$ pour la loi de composition interne de $G$.
  1. Montrer que $f$ est bijective.
  2. Montrer que $f$ est un morphisme si, et seulement si, $G$ est commutatif.
Exercice #142
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #142
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $A$ un anneau commutatif. On note :\[ N=\{x \in A \; | \; \exists \,n \in \mathbb{N}^*, \; x^n=0_A \}.\]Montrer que $N$ est un idéal de $A$.
Exercice #144 Radical d'un idéal
Difficulté de niveau 2
Détails de l'exercice #144
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $A$ un anneau commutatif et $I$ un idéal de $A$. On note :\[ \sqrt{I}=\{x \in A \; | \; \exists \,n \in \mathbb{N}^*, \; x^n \in I \}.\]
  1. Montrer que $\sqrt{I}$ est un idéal de $A$.
  2. Déterminer $\sqrt{169\mathbb{Z}}$ et $\sqrt{256\mathbb{Z}}$ dans l'anneau $\mathbb{Z}$.
  3. Montrer que $\sqrt{\sqrt{I}} = \sqrt{I}$.
  4. Soit $J$ un idéal de $A$. Montrer que : \[ \sqrt{I\cap J}=\sqrt{I} \cap \sqrt{J} \text{ et } \sqrt{I}+\sqrt{J} \subset \sqrt{I+J}. \] Trouver un exemple dans $\mathbb{Z}[X]$ qui montre que, pour le dernier point, l'inclusion réciproque est fausse en général.
Exercice #179
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #179
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
On considère l'ensemble :\[ A=\{x \in \mathbb{Q} \; | \; \exists\, a \in \mathbb{Z},\; \exists\, b \in 2\mathbb{Z}+1, \; x=\frac{a}{b}\}.\]Montrer que $A$ est un sous-anneau de $\mathbb{Q}$ puis montrer que $A$ est principal.
Exercice #180
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #180
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
On considère l'anneau $\mathbb{Z}[X]$ et $n \in \mathbb{N}$ avec $n\geqslant 2$. Montrer que l'idéal $I=X\mathbb{Z}[X]+n\mathbb{Z}[X]$ n'est pas principal.
Exercice #181
Difficulté de niveau 3
Détails de l'exercice #181
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $A$ un anneau intègre. Montrer que $A[X]$ est principal si, et seulement si, $A$ est un corps.
Exercice #135
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #135
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
On note $\mathbb{Z}[i]=\{a+ib \; | \; a,b \in \mathbb{Z}\}$.
  1. Montrer que $\mathbb{Z}[i]$ est un sous-anneau de $\mathbb{C}$.
  2. Déterminer le groupe des inversibles de $\mathbb{Z}[i]$.
Exercice #140
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #140
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
On définit deux lois de composition sur $\mathbb{R}$ :\[x\oplus y=x+y-1 \quad\text{et}\quad x \otimes y=x+y-xy \quad\text{pour }x,y \in \mathbb{R}\]Montrer que $(\mathbb{R},\oplus,\otimes)$ est un corps.
Classement : MathématiquesAlgèbre
Exercice #70
Exercice de base
Détails de l'exercice #70
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z \in \mathbb{R}$ :\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} 2x&-&y&+&z&=&3 \\ x&+&y&+&z&=&6 \\ -x&+&2y&-&z&=&0 \\ \end{array}\right.\]
Exercice #167
Exercice de base
Détails de l'exercice #167
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z \in \mathbb{R}$ :\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} 2x&+&y&+&z&=&0 \\ x&&&+&z&=&0 \\ &&y&+&z&=&0 \end{array}\right.\]
Exercice #168
Exercice de base
Détails de l'exercice #168
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z \in \mathbb{R}$ :\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} x&+&2y&+&2z&=&0 \\ 2x&-&y&+&2z&=&0 \\ -x&+&3y&&&=&0 \end{array}\right.\]
Exercice #169
Exercice de base
Détails de l'exercice #169
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z \in \mathbb{R}$ :\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} 2x&+&y&-&z&=&1 \\ 4x&+&y&-&2z&=&3 \\ 2x&&&-&z&=&2 \end{array}\right.\]
Exercice #170
Exercice de base
Détails de l'exercice #170
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z,t \in \mathbb{R}$ :\[ \left\{ \begin{array}{ccccccccc} 2x&+&y&+&z&+&t&=&0 \\ 4x&-&y&+&z&-&t&=&0 \\ 6x&&&+&2z&&&=&0 \\ 2x&-&2y&&&-&2t&=&0 \end{array}\right.\]
Exercice #171
Exercice de base
Détails de l'exercice #171
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z,t \in \mathbb{R}$ :\[ \left\{ \begin{array}{ccccccccc} x&+&y&+&z&+&t&=&10 \\ x&-&y&+&z&-&t&=&-2 \\ 2x&-&y&&&+&t&=&4 \\ 3x&-&2y&-&z&+&t&=&0 \end{array}\right.\]
Exercice #172
Exercice de base
Détails de l'exercice #172
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z,t \in \mathbb{R}$ :\[ \left\{ \begin{array}{ccccccccc} x&+&y&+&z&+&t&=&0 \\ x&-&y&+&z&-&t&=&0 \\ 2x&+&2y&-&z&+&2t&=&0 \end{array}\right.\]
Exercice #177
Exercice de base
Détails de l'exercice #177
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z \in \mathbb{C}$ :\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} ix&+&(1-i)y&+&iz&=&2 \\ (1+i)x&-&iy&+&z&=&i \\ (1-i)x&+&y&+&(1-i)z&=&1+i \end{array}\right.\]
Exercice #178
Exercice de base
Détails de l'exercice #178
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z \in \mathbb{C}$ :\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} e^{i\frac{\pi}{6}}x&+&e^{-i\frac{\pi}{6}}y&+&z&=&2i \\ e^{i\frac{\pi}{3}}x&-&e^{-i\frac{\pi}{3}}y&+&iz&=&0 \\ ix&+&e^{-i\frac{\pi}{6}}y&+&e^{i\frac{\pi}{3}}z&=&i \end{array}\right.\]
Exercice #176
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #176
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
On pose $j=e^{i\frac{2\pi}{3}}$.
Montrer que le système linéaire suivant admet une unique solution $(x,y,z) \in \mathbb{C}^3$ vérifiant $x=\alpha(1-j)$ avec $\alpha \in \mathbb{R}$ à déterminer :\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} x&+&jy&+&j^2z&=&0 \\ jx&+&y&+&j^2z&=&-j \\ j^2x&+&j^2y&+&z&=&j^2 \end{array}\right.\]
Exercice #74
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #74
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z \in \mathbb{R}$ selon la valeur du paramètre $m \in \mathbb{R}$:\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} x&+&my&-&z&=&2 \\ x&+&2my&-&3z&=&0 \\ -2x&&&+&mz&=&-6 \\ \end{array}\right.\]
Exercice #175
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #175
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z \in \mathbb{R}$, en fonction du paramètre $m \in \mathbb{R}$ :\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} x&+&my&+&m^2z&=&0 \\ mx&+&y&+&mz&=&0 \\ mx&+&m^2y&+&z&=&0 \end{array}\right.\]
Exercice #201
Exercice de base
Détails de l'exercice #201
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} -1&-3&3 \\ 0&2&0 \\ 3&3&-1 \end{pmatrix}$
  1. Déduire du calcul de $A^2$ un polynôme annulateur de $A$. Est-ce le polynôme minimal de $A$ ?
  2. Montrer que $A$ est inversible en exhibant son inverse.
  3. Calculer $A^n$ pour $n \in \mathbb{N}^*$.
Exercice #199
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #199
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} 4&6&3 \\ -2&-3&-2 \\ 1&2&2 \end{pmatrix}$
  1. Déduire du calcul de $A^2$ un polynôme annulateur de $A$. Est-ce le polynôme minimal de $A$ ?
  2. Montrer que $A$ est inversible en exhibant son inverse.
  3. Calculer $A^n$ pour $n \in \mathbb{N}^*$.
Exercice #269
Exercice de base
Détails de l'exercice #269
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} -3&1&3 \\ 1&-3&3 \\ -5&5&1 \end{pmatrix}$Déterminer les éléments propres (valeurs propres, sous-espaces propres) de $A$.
Exercice #270
Exercice de base
Détails de l'exercice #270
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} -6&4&4 \\ -4&2&4 \\ -4&4&2 \end{pmatrix}$Déterminer les éléments propres (valeurs propres, sous-espaces propres) de $A$.
Exercice #271
Exercice de base
Détails de l'exercice #271
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} -3&2&3 \\ 2&-2&2 \\ -7&6&3 \end{pmatrix}$Déterminer les éléments propres (valeurs propres, sous-espaces propres) de $A$.
Exercice #272
Exercice de base
Détails de l'exercice #272
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} 1&1&-1 \\ 2&0&-3 \\ -1&1&1 \end{pmatrix}$Déterminer les éléments propres (valeurs propres, sous-espaces propres) de $A$ vue comme appartenant à $M_3(\mathbb{R})$ puis à $M_3(\mathbb{C})$.
Exercice #273
Exercice de base
Détails de l'exercice #273
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} -1+2i&1&1-2i \\ 2i&0&-1-2i \\ -1&1&1 \end{pmatrix}$Déterminer les éléments propres (valeurs propres, sous-espaces propres) de $A$.
Exercice #265
Exercice de base
Détails de l'exercice #265
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
On considère $E=\{u \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \; | \; \lim u = 0\}$. On note $\varphi$ l'application définie, pour $u=(u_n)_{n \in \mathbb{N}} \in E$, par $\varphi(u)=(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ où, pour $n \in \mathbb{N}$ :\[ v_n=u_{n+1}-u_n.\]
  1. Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme de $E$.
  2. Déterminer les éléments propres (valeurs propres, sous-espaces propres) de $\varphi$.
Exercice #266
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #266
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soirt $E=C([0,1],\mathbb{R})$. On définie, pour $f \in E$, la fonction $\varphi(f):[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ par :\[ \varphi(f)(x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{x}\int_0^x f(t)\text{d}t & \text{ si }x \in ]0,1] \\ \\ f(0)&\text{ sinon.} \end{cases}\]
  1. Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme de $E$.
  2. Déterminer les valeurs propres de $\varphi$.
Exercice #267
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #267
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Pour $n \in \mathbb{N}^*$, on note $A_n=(a_{ij})_{1\leqslant i,j \leqslant n } \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ la matrice telle que, pour $i,j \in \;[\!\!\![\; 1,n\;]\!\!\!]\;$ :\[ a_{i,j}=\begin{cases} 1&\text{ si }i=j+1\text{ ou }j=i+1 \\ 0&\text{ sinon } \end{cases}\]et on note $\chi_n$ le polynôme caractéristique de $A_n$ i.e. $\chi_n(X)=\text{det}(XI_n-A_n)$.
  1. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que, pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$, \[ \chi_{n+2}(\lambda)=\lambda \chi_{n+1}(\lambda)-\chi_n(\lambda) \]
  2. On pose, pour $\theta \in ]0,\pi[$, $\lambda=2\cos(\theta)$. Montrer que \[ \chi_n(\lambda)=\frac{\sin\left((n+1)\theta\right)}{\sin(\theta)} \]
  3. En déduire le spectre de $A_n$ puis que $A_n$ est diagonalisable.
Exercice #268
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #268
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit un entier $n \geqslant 2$ et $f$ un endorphisme de $\mathbb{R}^n$ tel que $\text{rg}(f)=2$. Exprimer le polynôme caractéristique de $f$ en fonction de $\text{Tr}(f)$ et $\text{Tr}(f^2)$.
Exercice #295
Exercice de base
Détails de l'exercice #295
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} -3&1&3 \\ 1&-3&3 \\ -5&5&1 \end{pmatrix}$. Diagonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $D \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ diagonale telle que $A=PDP^{-1}$.
Exercice #296
Exercice de base
Détails de l'exercice #296
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} 1&-1&3 \\ -2&2&3 \\ 2&1&0 \end{pmatrix}$. Diagonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $D \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ diagonale telle que $A=PDP^{-1}$.
Exercice #297
Exercice de base
Détails de l'exercice #297
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} 4&-1&-3 \\ 1&2&-3 \\ -1&1&6 \end{pmatrix}$. Diagonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $D \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ diagonale telle que $A=PDP^{-1}$.
Exercice #298
Exercice de base
Détails de l'exercice #298
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} 0&-1&1 \\ 6&-5&2 \\ -3&1&-4 \end{pmatrix}$. Trigonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $T \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ triangulaire supérieure telle que $A=PTP^{-1}$.
Exercice #299
Exercice de base
Détails de l'exercice #299
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} 3&-4&-5 \\ 6&-8&-6 \\ -7&8&5 \end{pmatrix}$. Trigonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $T \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ triangulaire supérieure telle que $A=PTP^{-1}$.
Exercice #300
Exercice de base
Détails de l'exercice #300
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} 0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2} \\ 1&0&1 \\ 1&-1&0 \end{pmatrix}$. Trigonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $T \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ triangulaire supérieure telle que $A=PTP^{-1}$.
Exercice #301
Exercice de base
Détails de l'exercice #301
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix} 4&1&0 \\ 0&2&-1 \\ 1&1&3 \end{pmatrix}$. Trigonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $T \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ triangulaire supérieure telle que $A=PTP^{-1}$.
Exercice #302
Exercice de base
Détails de l'exercice #302
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $a \in \mathbb{R}$ et $A=\begin{pmatrix} 1+a&1+a&1 \\ -a&-a&-1 \\ a&a-1&0 \end{pmatrix}$.
  1. Pour quelles valeurs de $a$ la matrice $A$ est-elle trigonalisable ? diagonalisable ?
  2. Effectuer la trigonalisation/diagonalisation selon les valeurs de $a$ déterminée à la question précédente.
Exercice #303
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #303
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}$ avec $n \geqslant 2$ et $x,y \in \mathbb{C}^*$ tels que $y\neq \pm x$. On considère la matrice : \[ A=\begin{pmatrix}x & y& x& \dots &y &x &y \\y & x&y & \dots & x& y&x \\x & y&x & \dots &y &x &y \\\vdots&\vdots&\vdots& \ddots &\vdots&\vdots&\vdots \\y & x& y& \dots &x &y &x \\x & y&x & \dots &y &x &y \\y & x&y & \dots &x &y &x \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C}). \]Montrer que $A$ est diagonalisable.
Exercice #304
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #304
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$, $E$ une espace vectoriel de dimension $n$ sur $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ et $u \in \mathcal{L}(E)$ de rang $1$. Montrer que $u$ est diagonalisable si, et seulement si, $\text{Tr}(u)\neq 0$.
Exercice #328
Exercice de base
Détails de l'exercice #328
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Déterminer l'exponentielle de la matrice $A=\begin{pmatrix} -3&1&3 \\ 1&-3&3 \\ -5&5&1 \end{pmatrix}$.
Exercice #329
Exercice de base
Détails de l'exercice #329
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Déterminer l'exponentielle de la matrice $A=\begin{pmatrix} 4&-1&-3 \\ 1&2&-3 \\ -1&1&6 \end{pmatrix}$.
Exercice #330
Exercice de base
Détails de l'exercice #330
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Déterminer l'exponentielle de la matrice $A=\begin{pmatrix} 0&-1&1 \\ 6&-5&2 \\ -3&1&-4 \end{pmatrix}$.
Exercice #309
Exercice de base
Détails de l'exercice #309
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Déterminer toutes les matrices $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que :\[ \begin{cases} \text{Tr}(A)=0 \\ A^3-6A^2+9A=0_n \end{cases}\]
Exercice #311
Exercice de base
Détails de l'exercice #311
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $A \in \mathcal{M}(\mathbb{K})$ telle que $A^2$ est diagonalisable.
  1. Si $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ et $A$ inversible; montrer que $A$ est diagonalisable.
  2. Si $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ et $A$ non inversible, $A$ est-elle diagonalisable ?
  3. Si $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ et $A$ inversible, $A$ est-elle diagonalisable ?
Exercice #312
Exercice de base
Détails de l'exercice #312
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $u \in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme de rang $1$. Montrer que $u$ est diagonalisable si, et seulement si, $\text{Im}(u) \not \subset \text{Ker}(u)$.
Exercice #310
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #310
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Soit $A,N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ telles que $N$ est nilpotente et $A,N$ commutent. Montrer que :\[ \text{det}(A+N)=\text{det}(A)\]On pourra commencer par étudier le cas $A \in \text{GL}_n(\mathbb{K})$.
Exercice #264
Exercice de base
Détails de l'exercice #264
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel et $f,p \in \mathcal{L}(E)$ avec $p$ projecteur. Montrer que $f$ et $p$ communtent si, et seulement si, $\text{Ker}(p)$ et $\text{Im}(p)$ sont stables par $f$.
Exercice #263
Difficulté de niveau 2
Détails de l'exercice #263
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
On considère l'endomorphisme $\Delta: \mathbb{R}[X] \rightarrow \mathbb{R}[X]$ tel que, pour $P \in \mathbb{R}[X]$, $\Delta(P)=P'$. Montrer qu'il n'existe par d'endomorphisme $\delta$ de $\mathbb{R}[X]$ tel que $\delta^2=\Delta$.
Exercice #391
Exercice de base
Détails de l'exercice #391
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
On considère la matrice suivante :\[ A=\begin{pmatrix} 3&3 \\ 0&3 \end{pmatrix}.\]Montrer que $A$ est inversible puis calculer $A^n$ pour $n \in \mathbb{Z}$.
Exercice #392
Exercice de base
Détails de l'exercice #392
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Montrer que la matrice $A$ est inversible et déterminer son inverse, où :\[ A=\begin{pmatrix} -1&1&-1 \\ 1&2&0 \\ 2&2&1 \end{pmatrix}.\]
Exercice #393
Exercice de base
Détails de l'exercice #393
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Trouver toutes les matrices colonnes $X \in \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$ telle que $AX=2X$, où :\[ A=\begin{pmatrix} 0&-1&1 \\ -2&1&1 \\ -4&-2&4 \end{pmatrix}.\]De même pour $AX=X$.
Exercice #395
Exercice de base
Détails de l'exercice #395
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $A,B,C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ des matrices non nulles telles que $ABC=O_n$. Montrer qu'au moins deux matrices parmi $A,B,C$ ne sont pas inversibles.
Exercice #398
Exercice de base
Détails de l'exercice #398
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le produit de deux matrices symétriques soit une matrice symétrique.
Exercice #394
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #394
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On considère la matrice $A=\begin{pmatrix}1 &... & ... &1 \\0 &\ddots& &\vdots \\\vdots&\ddots&\ddots&\vdots \\0 &... &0 &1\end{pmatrix}\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
  1. Montrer que $A$ est inversible puis déterminer son inverse.
  2. Déterminer $A^{-k}$ pour $k \in \mathbb{N}$.
  3. Conjecturer la valeur des coefficients de $A^{k}$ pour $k \in \mathbb{N}$ puis démontrer cette conjecture.
Exercice #397
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #397
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que la matrice $A$ est inversible et déterminer son inverse, où :\[A=\begin{pmatrix}1 &2 &3 & ... &n \\0 &\ddots&\ddots&\ddots&\vdots \\\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&3 \\\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&2 \\0 &... &... &0 &1\end{pmatrix}\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}).\]
Exercice #4 Forme linéaire et fonctions affines
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #4
Exercice enregistré par M. Arnt
Source : M. Arnt
Énoncé
Soit $E=C([0,1],\mathbb{R})$. On pose $\varphi:E\rightarrow \mathbb{R}$ telle que, pour tout $f\in E$ :\[\varphi(f)=\int_0^1f(t) dt;\]et on note $F=\{f \in E \; | \; f \text{ est affine }\}$ (on rappelle qu'une fonction $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ est affine s'il existe $a,b \in \mathbb{R}$ tels que $f:t\mapsto at+b$).
  1. Montrer que $\varphi$ est une application linéaire surjective.
  2. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
  3. Montrer qu'il existe $c \in [0,1]$ tel que $F\cap \text{Ker}(\varphi)=\{f \in F \; | \; f(c)=0\}$.
Indications
  1. Pour la linéarité, utiliser la linéarité de l'intégrale.
    Pour la surjectivité, que sait-on d'une forme linéaire non nulle ?
  2. Utiliser la définition/caractérisation des sous-espaces vectoriels;
    ou bien montrer que $F$ est le sous-espace engendré par plusieurs fonctions de $E$ bien choisies.
  3. Dessiner des graphes de fonctions affines d'intégrale nulle sur $[0,1]$.
Correction
  1. Soit $f,g \in E$ et $\lambda \in \mathbb{R}$. On a, par linéarité de l'intégrale : \[ \begin{array}{rcl} \varphi(\lambda f+g) &=& \displaystyle\int_0^1 (\lambda f+g)(t) dt

    \\ &=& \displaystyle \int_0^1 (\lambda f(t)+g(t)) dt

    \\ &=& \displaystyle \lambda\int_0^1f(t) dt + \int_0^1g(t) dt

    \\ \varphi(\lambda f+g) &=& \lambda\varphi(f)+\varphi(g). \end{array} \] Donc $\varphi$ est linéaire.
    Il s'agit donc d'une forme linéaire sur $E$; or $\varphi(f_0)=1\neq 0$ pour $f_0:x \mapsto 1$, par suite, $\varphi$ est surjective car toute forme linéaire non nulle est surjective.
    • 1ère façon : caractérisation d'un sous-espace vectoriel.
      Le vecteur nul de $E$ est la fonction nulle $\mathbf{0}$ sur $[0,1]$. Or $\mathbf{0}:t \mapsto 0=0\times t +0$ donc $\mathbf{0}$ est affine i.e. $\mathbf{0} \in F$.
      Soit $f,g \in F$ et $\lambda \in R$. Alors $f$ et $g$ étant affines, il existe $a,b,a',b' \in \mathbb{R}$ tels que $f:t\mapsto at+b$ et $g:t\mapsto a't+b'$ On a, pour tout $t \in [0,1]$ : \[ \begin{array}{rcl} (\lambda f+g)(t) &=& \lambda f(t) +g(t)

      \\ &=& \lambda (at+b)+ (a't+b')

      \\ (\lambda f+g)(t)&=& (\lambda a+a')t+(\lambda b +b') \end{array} \] Par suite, comme $(\lambda a+a') \in \mathbb{R}$ et $(\lambda b+b') \in \mathbb{R}$, $\lambda f+g$ est affine et donc $\lambda f+g \in E$.
      Il en résulte que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
    • 2ème façon : sous-espace engendré. On sait que $f$ est une fonction affine si, et seulement si, il existe $a,b$ tel que $f:t \mapsto at+b$. Ainsi, $f$ est affine si, et seulement si, $f=af_1+bf_0$ où $f_0:t \mapsto 1$ et $f_1:t \mapsto t$.
      Par suite, $F=\text{Vect}(f_0,f_1)$ (où on note par le même nom les restrictions de $f_0$ et $f_1$ à $[0,1]$). Un sous-espace engendré par une famille de vecteurs de $E$ étant un sous-espace vectoriel de $E$, on en déduit que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
  2. En dessinant quelques graphes, on conjecture que $c=\frac{1}{2}$. Montrons le :

    On procède par double inclusion :
    Soit $f \in F\cap \text{Ker}(\varphi)$. Alors $f \in F$ et $f \in \text{Ker}(\varphi)$ donc il existe $a,b \in \mathbb{R}$ tels que $f: t \mapsto at+b$ et $\int_0^1f(t) dt=\varphi(f)=0$. Par suite, on a : \[ 0=\int_0^1f(t) dt= \int_0^1(at+b) dt = \frac{1}{2}a+b \] d'où $b=-\frac{1}{2}a$ et donc, pour tout $t \in [0,1]$, $f(t)=a(x-\frac{1}{2})$.
    Ainsi, $f(\frac{1}{2})=a(\frac{1}{2}-\frac{1}{2})=0$.
    Donc $F\cap \text{Ker}(\varphi)\subset \{f \in F \; | \; f(\frac{1}{2})=0\}$.


    Réciproquement, si $f \in \{f \in F \; | \; f(\frac{1}{2})=0\}$. Alors $f$ est affine et donc il existe $a,b \in \mathbb{R}$ tels que $f: t \mapsto at+b$. Comme $a\frac{1}{2}+b=0=f(\frac{1}{2})$, on a $b=-\frac{1}{2}a$ et donc : \[ \int_0^1f(t) dt = \int_0^1a(x-\frac{1}{2}) dt=a(\frac{1}{2}-\frac{1}{2})=0 \] Donc $f \in F \cap \text{Ker}(\varphi)$; d'où $\{f \in F \; | \; f(\frac{1}{2})=0\} \subset \text{Ker}(\varphi)$.


    Il en résulte que $F\cap \text{Ker}(\varphi)= \{f \in F \; | \; f(\frac{1}{2})=0\}$.
Classement : MathématiquesAlgèbre
Classement : MathématiquesAlgèbreArithmétique
Exercice #313
Exercice de base
Détails de l'exercice #313
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Déterminer le reste de la division euclidienne par $5$ de :\[ 2023^{2024}\]
Exercice #317
Exercice de base
Détails de l'exercice #317
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Résoudre le système d'inconnue $x\in \mathbb{Z}$ :\[\begin{cases} x \;\equiv\; 1 \;[6] \\x \;\equiv\; 4 \;[7]\end{cases}\]
Exercice #318
Exercice de base
Détails de l'exercice #318
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Résoudre le système d'inconnue $x\in \mathbb{Z}$ :\[\begin{cases} 3x \;\equiv\; 2 \;[5] \\ 5x \;\equiv\; 1 \;[6]\end{cases}\]
Exercice #319
Exercice de base
Détails de l'exercice #319
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Montrer que, pour tout $k \in \mathbb{N}$,\[13 \;|\; 5^{2k}\times 38 +12^k\]
Exercice #320
Exercice de base
Détails de l'exercice #320
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$ :\[6\;|\; n(8n+1)(13n+1)\]
Exercice #321
Exercice de base
Détails de l'exercice #321
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$ :\[13\;|\; 7^{2n}-23^n\]
Exercice #326
Exercice de base
Détails de l'exercice #326
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Résoudre l'équation d'inconnue $x\in \mathbb{Z}$ :\[ 41x+2 \;\equiv\; 0 \;[152]\]
Exercice #327
Exercice de base
Détails de l'exercice #327
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Résoudre l'équation $x^2+x+11 \; \equiv \; 0 \text{ mod }143$.
Correction
On a $143=11\times 13$ et $11$ est premier avec $13$ donc d'après le théorème chinois, $(*) \;x^2+x+11 \; \equiv \; 0 \text{ mod }143$ si, et seulement si, $$(1)\; x^2+x+11 \; \equiv \; 0 \text{ mod }11 \quad \text{et} \quad (2)\; x^2+x+11 \; \equiv \; 0 \text{ mod }13$$ Donc si $x_1$ est une solution de $(1)$ et $x_2$ une solution de $(2)$, alors $x=x_1u+x_2v$ est solution de $(*)$ où $u,v \in \mathbb{Z}$ sont tels que $11u+13v=1$, et toutes les solutions sont de cette forme.

On a $$ (x+1)x=x^2+x \; \equiv \; x^2+x+11 \; \equiv \; 0 \text{ mod }11 $$ et $$ (x-1)(x+2)=x^2+x-2 \; \equiv \; x^2+x+11 \; \equiv \; 0 \text{ mod }13 $$ Donc les solutions de $(1)$ sont $x \; \equiv \; 0 \text{ mod }11$ et $x \; \equiv \; -1 \text{ mod }11$ et les solutions de $(2)$ sont $x \; \equiv \; 1 \text{ mod }13$ et $x \; \equiv \; -2 \text{ mod }13$.

Déterminons les coefficients $u$ et $v$ : on a $6\times 11-5\times 13=1$, d'où $u=6$ et $v=5$.

Ainsi, on a donc les solutions suivantes : $$ x \; \equiv \; 66 \text{ mod }143 $$ $$ x \; \equiv \; 11 \text{ mod }143 $$ $$ x \; \equiv \; -12 \text{ mod }143 $$ $$ x \; \equiv \; 76 \text{ mod }143 $$
Exercice #314
Exercice de base
Détails de l'exercice #314
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Résoudre le système d'inconnues $x,y$ dans $\mathbb{N}$ :\[\begin{cases} x+y=100 \\ x\wedge y=10\end{cases}\]
Exercice #323
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #323
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que $n+1$ divise $\dbinom{2n}{n}$.
Exercice #324
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #324
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $a \in \mathbb{N}^*$. Montrer que $2a+1$ et $a^2+a$ sont premiers entre eux.
Exercice #322
Exercice de base
Détails de l'exercice #322
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$. Montrer que si $2^n-1$ est premier, alors $n$ est premier.
Exercice #325
Exercice de base
Détails de l'exercice #325
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Déterminer toutes les couples $(x,y)$ dans $\mathbb{Z}^2$ solutions de l'équation :\[ 7x-11y = 5\]
Exercice #315
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #315
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer qu'on peut trouver $n$ entiers consécutifs de telle sorte qu'aucun d'entre eux n'est premier.
Exercice #316
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #316
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $p$ un nombre premier plus grand ou égal à $5$. Montrer que $24\;|\;p^2-1$.
Classement : MathématiquesAlgèbreArithmétique
Exercice #161
Exercice de base
Détails de l'exercice #161
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle $F$ suivante :\[F=\frac{X^4+2X^2+1}{X^2-1}.\]
Exercice #163
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #163
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Pour $k \in \mathbb{N}$, calculer la dérivée $k$-ième de la fraction rationnelle :\[F=\frac{1}{X(X+1)...(X+n)}.\]
Exercice #165
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #165
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Calculer une primitive sur $]-1,+\infty[$ de $f:t\mapsto \displaystyle\frac{1}{1+t^3}$.
Exercice #419
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #419
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $P\in \mathbb{R}[X]$ un polynôme scindé à racines simples dans $\mathbb{R}$.
  1. Montrer que $P'$ est scindé à racines simples dans $\mathbb{R}$.
  2. Montrer que le polynôme $P^2+1$ est scindé dans à racines simples dans $\mathbb{C}$.
Exercice #147
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #147
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Résoudre l'équation d'inconnue $P \in \mathbb{K}[X]$ où $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ :\[ P(X^2)=(X^2+1)P(X).\]
Exercice #441
Exercice de base
Détails de l'exercice #441
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de $A$ par $B$ où :\[ A=X^4+X^3+3X^2+5X+1 \text{ et }B=X^2+2\]
Exercice #442
Exercice de base
Détails de l'exercice #442
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de $A$ par $B$ où :\[ A=2X^5+4X^4+5X^2+2X+1 \text{ et }B=X^2+2X-1\]
Exercice #148
Difficulté de niveau 2
Détails de l'exercice #148
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soit $a,b \in \mathbb{N}^*$. Déterminer le reste de la division euclidienne de $X^a$ par $X^b-1$.
Exercice #154
Exercice de base
Détails de l'exercice #154
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Déterminer le PGCD de $P$ et $Q$ où $P(X)=X^3-X^2-X-2$ et $Q(X)=X^5-2X^4+X^2-X-2$.
Exercice #152
Difficulté de niveau 2
Détails de l'exercice #152
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Soient $n,m\in \mathbb{N}^*$. Déterminer le PGCD de $X^n-1$ et $X^m-1$.
Exercice #155
Exercice de base
Détails de l'exercice #155
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Factoriser dans $\mathbb{R}[X]$ :\[ X^4+1\]
Exercice #157
Exercice de base
Détails de l'exercice #157
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Factoriser dans $\mathbb{R}[X]$ :\[ X^{12}-1.\]
Exercice #158
Exercice de base
Détails de l'exercice #158
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Factoriser dans $\mathbb{R}[X]$ :\[X^6+1.\]
Exercice #156
Difficulté de niveau 1
Détails de l'exercice #156
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Montrer que le polynôme $P$ est à coefficients dans $\mathbb{R}[X]$ puis le factoriser en produit de polynômes irréductibles dans $\mathbb{R}[X]$ où :\[ P(X)=-i\left((X+i)^n-(X-i)^n\right).\]
Exercice #159
Exercice de base
Détails de l'exercice #159
Exercice enregistré par M. Arnt
Énoncé
Déterminer un polynôme $P \in \mathbb{R}[X]$ de degré inférieur ou égal à $3$ tel que :\[P(0)=1;\quad P(1)=0;\quad P(-1)=-2; \quad P(2)=4.\]
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