Exercices de la catégorie Algèbre
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Algèbre : liste des exercices
Exercice #54
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}$. Simplifier la somme : \[
\sum_{m=0}^n (3m+2)
\]
Exercice #55
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}$. Simplifier la somme : \[
\sum_{j=0}^n \frac{4^{j+1}}{3^{2j}}
\]
Exercice #62
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Simplifier le produit : \[
\prod_{k=1}^n \left(1+\frac{1}{k}\right)
\]
Exercice #58 Somme double de min et max
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}$.
- Simplifier la somme :\[ \sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n}\min(i,j) \]
- Calculer $\displaystyle \sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n}(i+j)$ puis en déduire la somme : \[ \sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n}\max(i,j) \]
Exercice #63
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Simplifier la somme : \[
\sum_{1\leqslant i,j \leqslant n} (i+j)^2
\]
Exercice #65
Énoncé
Soit $n,m \in \mathbb{N}$. Calculer la somme : \[
\sum_{p=0}^n \binom{m+p}{p}
\]
Exercice #95
Énoncé
Résoudre l'équation d'inconnue $z \in \mathbb{C}$ :\[
z^6=64i
\]On donner les solutions sous forme exponentielle.
Exercice #33
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On note $\mathbb{U}_n$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité. Calculer :\[
a) \prod_{z \in \mathbb{U}_n}z \quad \quad b) \sum_{z \in \mathbb{U}_n}|z-1|.
\]
Exercice #34
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Résoudre l'équation suivante d'inconnue $z \in \mathbb{C}$ : \[
z^n=\overline{z}.
\]
Exercice #30
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On note $\mathbb{U}_n$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité.
- Soit $p \in \mathbb{N}$. Calculer $\displaystyle \sum_{z \in \mathbb{U}_n} z^p$.
- En déduire la valeur de la somme $\displaystyle \sum_{z \in \mathbb{U}_n}(1+z)^n$.
Exercice #91
Énoncé
Résoudre l'équation d'inconnue $z \in \mathbb{C}$ :\[
(3+i)z=2iz+2
\]En cas d'existence, on donnera la ou les solutions sous forme algébrique.
Exercice #92
Énoncé
Résoudre l'équation d'inconnue $z \in \mathbb{C}$ :\[
(1+3i)z+6=2iz+2
\]En cas d'existence, on donnera la ou les solutions sous forme algébrique.
Exercice #93
Énoncé
Résoudre l'équation d'inconnue $z \in \mathbb{C}$ :\[
2iz+5=3\overline{z}+5i
\]En cas d'existence, on donnera la ou les solutions sous forme algébrique.
Exercice #108
Énoncé
Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation suivante d'inconnue $z\in \mathbb{C}$ :\[
(z^2+z+1)^2+1=0
\]
Exercice #32
Énoncé
Résoudre l'équation suivante d'inconnue $z\in \mathbb{C}$ :\[
z^2+5z+7=i
\]
Exercice #109
Détails de l'exercice #109
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : TME, Bac+1.
En Mathématiques : TME, Bac+1.
Mots clés associés :
discriminant
discriminant
Énoncé
Résoudre l'équation suivante d'inconnue $z \in \mathbb{C}$ :\[
z^2+5iz-4 = 0.
\]
Indications
Il s'agit d'une équation polynomiale du second degré, on applique la résolution classique utilisant le discriminant.
Correction
Le discriminant $\Delta$ de l'équation polynomiale du second degré vérifie :\[
\Delta = (5i)^2-4\times 1 \times (-4)= -9 \neq 0
\]et $\delta=3i$ est une racine de $\Delta$.
Par suite, l'équation possède deux solutions distinctes $z_{\pm}$ :\[ z_{\pm} = \frac{-5i\pm \delta}{2\times 1} \]et ainsi, $z_+=-i$ et $z_-=-4i$.
L'équation a donc pour solutions $-i$ et $-4i$.
Par suite, l'équation possède deux solutions distinctes $z_{\pm}$ :\[ z_{\pm} = \frac{-5i\pm \delta}{2\times 1} \]et ainsi, $z_+=-i$ et $z_-=-4i$.
L'équation a donc pour solutions $-i$ et $-4i$.
Exercice #110
Énoncé
Soit $A,B,C,D$ quatre points du plan complexe tels que $A\neq B$ et $C \neq D$. Montrer qu'il existe une unique similitude directe $s: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ telle que $s(A)=C$ et $s(B)=D$.
Dans cet exercice, on identifie les points du plan complexe avec leurs affixes.
Dans cet exercice, on identifie les points du plan complexe avec leurs affixes.
Indications
Faire l'analyse du problème.
Correction
Analysons le problème :
si $s$ est une similitude directe vérifiant les propriétés demandées, alors il existe $a,b \in \mathbb{C}$ avec $a\neq 0$ tels que $s:z \mapsto az+b$ et $aA+b=s(A)=C$; $aB+b=s(B)=D$.
Alors, en faisant la différence et la somme de ces égalités, on obtient :\[ \begin{cases} a(A-B)=C-D \\ a(A+B)+2b=C+D & \end{cases} \]$A$ étant différent de $B$, on obtient :\[ \begin{cases} a=\frac{C-D}{A-B} \\ b=\frac{1}{2}\left(C+D-\frac{(C-D)(A+B)}{A-B}\right)=\frac{AD-BC}{A-B}. \end{cases} \]Passons à la synthèse.
Existence : On pose $a=\frac{C-D}{A-B} \in \mathbb{C}^*$ (non nul car $C \neq D$), $b=\frac{AD-BC}{A-B} \in \mathbb{C}$ et $s:z \mapsto az+b$. Alors $s$ est une similitude directe et on a :\[ s(A)=aA+b=\frac{C-D}{A-B}A+\frac{AD-BC}{A-B}=C \]et \[ s(B)=aB+b=\frac{C-D}{A-B}B+\frac{AD-BC}{A-B}=D \]d'où l'existence d'une similitude qui envoie $A$ sur $C$ et $B$ sur $D$.
Unicité : Soit deux telles similitudes $s:z\mapsto az+b$ et $s':z\mapsto a'z+b'$. Alors :\[ aA+b=s(A)=C=s'(A)=a'A+b' \]et \[ aB+b=s(B)=D=s'(B)=a'B+b' \]d'où, en faisant la différence de ces deux égalités, on obtient :\[ a=a' \text{ puis }b=b'. \]Donc $s=s'$.
(pour l'unicité, on aurait pu également pu réutiliser ce qui avait été fait dans l'analyse !)
si $s$ est une similitude directe vérifiant les propriétés demandées, alors il existe $a,b \in \mathbb{C}$ avec $a\neq 0$ tels que $s:z \mapsto az+b$ et $aA+b=s(A)=C$; $aB+b=s(B)=D$.
Alors, en faisant la différence et la somme de ces égalités, on obtient :\[ \begin{cases} a(A-B)=C-D \\ a(A+B)+2b=C+D & \end{cases} \]$A$ étant différent de $B$, on obtient :\[ \begin{cases} a=\frac{C-D}{A-B} \\ b=\frac{1}{2}\left(C+D-\frac{(C-D)(A+B)}{A-B}\right)=\frac{AD-BC}{A-B}. \end{cases} \]Passons à la synthèse.
Existence : On pose $a=\frac{C-D}{A-B} \in \mathbb{C}^*$ (non nul car $C \neq D$), $b=\frac{AD-BC}{A-B} \in \mathbb{C}$ et $s:z \mapsto az+b$. Alors $s$ est une similitude directe et on a :\[ s(A)=aA+b=\frac{C-D}{A-B}A+\frac{AD-BC}{A-B}=C \]et \[ s(B)=aB+b=\frac{C-D}{A-B}B+\frac{AD-BC}{A-B}=D \]d'où l'existence d'une similitude qui envoie $A$ sur $C$ et $B$ sur $D$.
Unicité : Soit deux telles similitudes $s:z\mapsto az+b$ et $s':z\mapsto a'z+b'$. Alors :\[ aA+b=s(A)=C=s'(A)=a'A+b' \]et \[ aB+b=s(B)=D=s'(B)=a'B+b' \]d'où, en faisant la différence de ces deux égalités, on obtient :\[ a=a' \text{ puis }b=b'. \]Donc $s=s'$.
(pour l'unicité, on aurait pu également pu réutiliser ce qui avait été fait dans l'analyse !)
Exercice #111
Énoncé
Caractériser géométriquement la similitude directe $s: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ telle que, pour $z \in \mathbb{C}$ :\[
s(z)=(2+2i)z+1-3i.
\]
Exercice #96
Énoncé
Soit $\theta \in \mathbb{R}$. Exprimer $\sin(5\theta)$ en fonction de $\sin(\theta)$.
Exercice #38
Énoncé
Soit $z \in \mathbb{C} \smallsetminus\{1\}$ tel que $|z|=1$.
Montrer que $\displaystyle \frac{z+1}{z-1}$ est un imaginaire pur.
Montrer que $\displaystyle \frac{z+1}{z-1}$ est un imaginaire pur.
Exercice #94
Énoncé
Soit $\theta \in \mathbb{R}$. Lorsque c'est possible, mettre sous forme exponentielle le nombre complexe $z=e^{i\theta}+e^{i2\theta}$.
Exercice #384
Énoncé
On considère l'espace euclidien $\mathbb{R}^3$ orienté par la base canonique. Caractériser géométriquement l'endomorphisme $u$ de $\mathbb{R}^3$ dont la matrice $A$ dans la base canonique est :\[
A=\frac{1}{2\sqrt{3}}\begin{pmatrix}
6\sqrt{3}&0&4\sqrt{6} \\
0&\sqrt{3}&-1 \\
-4\sqrt{6}&3&-5\sqrt{3}
\end{pmatrix}
\]
Exercice #385
Énoncé
On considère l'espace euclidien $\mathbb{R}^3$ orienté par la base canonique. Caractériser géométriquement l'endomorphisme $u$ de $\mathbb{R}^3$ dont la matrice $A$ dans la base canonique est :\[
A=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}
\sqrt{3}&0&1 \\
0&2&0 \\
-1&0&\sqrt{3}
\end{pmatrix}
\]
Exercice #386
Énoncé
On considère l'espace euclidien $\mathbb{R}^3$ orienté par la base canonique. Caractériser géométriquement l'endomorphisme $u$ de $\mathbb{R}^3$ dont la matrice $A$ dans la base canonique est :\[
A=-\frac{\sqrt{2}}{2}\begin{pmatrix}
1&0&-1 \\
0&-2&0 \\
1&0&1
\end{pmatrix}
\]
Exercice #388
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que si $A+{}^{t}\mkern-3mu A$ est nilpotente, alors $A$ est une matrice antisymétrique.
Exercice #389
Énoncé
Soit $E$ un espace euclidien et $u,v \in \mathcal{L}(E)$.
- On suppose que $u \in \mathcal{S}^{++}(E)$ (i.e. $u$ est un endomorphisme autoadjoint défini positif). Justifier que $u$ est bijectif et montrer qu'il existe $r \in \mathcal{S}^{++}(E)$ tel que $r^2=u$.
- On suppose $u \in \mathcal{S}^{++}(E)$ et $v \in \mathcal{S}(E)$. Montrer que $u^{-1}\circ v$ est diagonalisable.
Exercice #382
Énoncé
Soit $E$ un espace euclidien et $u$ une isométrie vectorielle de $E$. Montrer que $u$ est une symétrie si, et seulement si, $u$ est diagonalisable.
Exercice #383
Énoncé
Soit $E$ un espace euclidien et $u$ un endomorphisme de $E$ tel que, pour tous $x,y \in E$ :\[
(x|y)=0 \; \Rightarrow \; (u(x)|u(y))=0.
\]
- Montrer qu'il existe un réel positif $c$ tel que, pour tout $x \in E$ : \[ \|u(x)\|=c\|x\|. \]
- En déduire que $u$ est colinéaire à une isométrie vectorielle.
Exercice #390
Énoncé
On munit $E=\mathbb{R}[X]$ du produit scalaire $(\cdot | \cdot)$ tel que, pour $P,Q \in E$ :\[
(P|Q)=\frac{1}{2}\int_{-1}^1 P(t)Q(t)\text{d}t.
\]
- Par le procédé d'orthonormalisation de Gramm-Schmidt, déterminer une famille orthonormale $(e_0,e_1,e_2)$ de $E$ à partir de la famille $(1,X,X^2)$.
Dans la suite, on note $F=\text{Vect}(e_0,e_1,e_2)$. - Pour $n \in \mathbb{N}$, calculer la projection orthogonale de $X^{2n+1}$ sur $F$.
- Déterminer la distance de $X^7$ à $F$.
Exercice #126
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $(G,\cdot)$ un groupe fini de cardinal $2n$. On définit sur $G$ la relation binaire $\mathcal{R}$, pour $g,h \in G$, par :\[
g \,\mathcal{R} \,h \;\text{ si, et seulement si, }\;g=h \text{ ou }g^{-1}=h.
\]
- Montrer que $\mathcal{R}$ est une relation d'équivalence sur $G$.
- En déduire qu'il existe un élément d'ordre $2$ dans $G$.
Exercice #127
Énoncé
Soit $(G,\cdot)$ un groupe et $x,y \in G$ deux éléments qui commutent d'ordres finis respectifs $n$ et $m$. On suppose de plus que $n$ et $m$ sont premiers entre eux.
Déterminer l'ordre $o(g)$ de $g=xy$.
Déterminer l'ordre $o(g)$ de $g=xy$.
Exercice #128
Énoncé
Soit $(G, \cdot)$ un groupe, $n,m \in \mathbb{N}^*$ et $g \in G$ un élément d'ordre fini égal à $nm$.
Montrer que si $n$ et $m$ sont premiers entre eux alors il existe un unique couple $(x,y) \in G^2$ tel que $x,y$ commutent, sont d'ordres finis respectifs $n$, $m$ et $g=xy$.
Montrer que si $n$ et $m$ sont premiers entre eux alors il existe un unique couple $(x,y) \in G^2$ tel que $x,y$ commutent, sont d'ordres finis respectifs $n$, $m$ et $g=xy$.
Correction
On suppose $n \wedge m = 1$. D'après le théorème de Bézout, il existe $u,v \in \mathbb{Z}$ tels que $nu+mv=1$.
On remarque alors, à partir de cette relation et toujours d'après le théorème de Bézout (la réciproque cette fois), que $n \wedge v = 1$ et $m \wedge u = 1$.
Démontrons le résultat demandé :
On remarque alors, à partir de cette relation et toujours d'après le théorème de Bézout (la réciproque cette fois), que $n \wedge v = 1$ et $m \wedge u = 1$.
Démontrons le résultat demandé :
- Existence : On pose $x=g^{mv}$ et $y=g^{nu}$. Alors $x$ et $y$ commutent car des composées de $g$ et de son symétrique commutent entre elles et on a : \[
xy=g^{mv}g^{nu}=g^{mv+nu}=g.
\] De plus, on a $x^n=(g^{mv})^n=(g^{nm})^v=e$ et $y^m=(g^{nu})^m=(g^{nm})^u=e$ car $g$ est d'ordre $nm$, donc $x$ et $y$ sont d'ordre finis disons respectivement $p$ et $q$.
D'après ce qui précède, on a $p|n$ et $q|m$. Montrons que $n|p$ et $m|q$.
On a : \[ g^{mvp}=x^p=e \] et $g$ d'ordre $nm$ donc $nm|mvp$ d'où $n|vp$. Or, d'après la remarque initiale, $n \wedge v = 1$, donc d'après le lemme de Gauss, $n|p$.
Par un raisonnement analogue, on prouve $m|q$.
Ainsi, $n,m,p,q$ étant positifs, on a $p=n$ et $m=q$.
Ce qui démontre l'existence. - Unicité : Soit $(x,y), (z,t) \in G^2$ deux couples ayant les propriétés annoncées. Alors, comme $xy=g=zt$, on a $x^{-1}z=yt^{-1}$ et : \[
\begin{array}{rcl}
x^{-1}z&=&(x^{-1}z)^{nu+mv} \\
&=&(x^{-1}z)^{nu}.(yt^{-1})^{mv} \\
&=&((x^n)^{-1}z^n)^u.(y^m(t^m)^{-1})^{v} \\
&=&(e.e)^u.(e.e)^v \\
x^{-1}z&=&e
\end{array}
\] D'où $e=x^{-1}z=yt^{-1}$ et donc $x=z$ et $y=t$.
Ce qui prouve l'unicité.
Exercice #574
Énoncé
On considère la permutation $\sigma$ suivante de $\mathcal{S}_{11}$ : \[
\sigma = \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11\\ 3&4&7&11&9&10&1&6&5&2&8 \end{pmatrix}
\]Déterminer :
- la décomposition de $\sigma$ en produit de cycle à supports disjoints;
- la signature de $\sigma$;
- l'ordre de $\sigma$ i.e. la plus petite puissance $k \in \mathbb{N}$ telle que $\sigma^k=\text{id}$;
- une décomposition de $\sigma$ en produit de transpositions.
Exercice #575
Énoncé
On considère la permutation $\sigma$ suivante de $\mathcal{S}_{12}$ : \[
\sigma = \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12\\ 5&6&10&7&1&12&9&4&11&8&3&2 \end{pmatrix}
\]Déterminer :
- la décomposition de $\sigma$ en produit de cycle à supports disjoints;
- la signature de $\sigma$;
- l'ordre de $\sigma$ i.e. la plus petite puissance $k \in \mathbb{N}$ telle que $\sigma^k=\text{id}$;
- une décomposition de $\sigma$ en produit de transpositions.
Exercice #576
Énoncé
On considère la permutation $\sigma$ suivante de $\mathcal{S}_{9}$ : \[
\sigma = \begin{pmatrix} 1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ 4&9&1&3&6&5&2&7&8 \end{pmatrix}
\]Déterminer :
- la décomposition de $\sigma$ en produit de cycle à supports disjoints;
- la signature de $\sigma$;
- l'ordre de $\sigma$ i.e. la plus petite puissance $k \in \mathbb{N}$ telle que $\sigma^k=\text{id}$;
- une décomposition de $\sigma$ en produit de transpositions.
Exercice #133
Énoncé
Montrer que $G=\{z \in \mathbb{C} \; | \; \exists\; n \in \mathbb{N}^*, z^n=1\}$ est un sous-groupe de $(\mathbb{C}^*,\times)$. Quel est son cardinal ? Justifier.
Exercice #129
Énoncé
Soit $I=]-1,1[$. On munit $I$ d'une loi $*$ définie, pour tous $x,y \in I$,par $x*y=\frac{x+y}{1+xy}$.
- Montrer que, pour tous $x,y \in I$, $x*y$ est bien défini. Puis montrer que $*$ est une loi de composition interne sur $I$.
- Montrer que $(I,*)$ est un groupe commutatif. $[0,1[$ est-il un sous-groupe de $I$ ?
- Soit $x> 0$. Montrer que $H_x=\{\frac{x^n-1}{x^n+1} \; | \; n \in \mathbb{Z}\}$ est un sous-groupe de $I$.
Exercice #130
Énoncé
Soit $(G,.)$ un groupe tel que pour tout $g \in G$, $g^2=e$. Montrer que $G$ est un groupe commutatif.
Exercice #137
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On considère $f:x \mapsto x^n$ et $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Montrer que $f$ est un morphisme de groupes de $(\mathbb{K}^*,\times)$ dans lui-même puis, en fonction de $\mathbb{K}$, déterminer son image et son noyau.
Exercice #381
Énoncé
Soit $G$ un groupe. On condidère l'application $f:x \mapsto x^{-1}$ de $G$ dans $G$ où $x^{-1}$ désigne le symétrique de l'élement $x \in G$ pour la loi de composition interne de $G$.
- Montrer que $f$ est bijective.
- Montrer que $f$ est un morphisme si, et seulement si, $G$ est commutatif.
Exercice #142
Énoncé
Soit $A$ un anneau commutatif. On note :\[
N=\{x \in A \; | \; \exists \,n \in \mathbb{N}^*, \; x^n=0_A \}.
\]Montrer que $N$ est un idéal de $A$.
Exercice #144 Radical d'un idéal
Énoncé
Soit $A$ un anneau commutatif et $I$ un idéal de $A$. On note :\[
\sqrt{I}=\{x \in A \; | \; \exists \,n \in \mathbb{N}^*, \; x^n \in I \}.
\]
- Montrer que $\sqrt{I}$ est un idéal de $A$.
- Déterminer $\sqrt{169\mathbb{Z}}$ et $\sqrt{256\mathbb{Z}}$ dans l'anneau $\mathbb{Z}$.
- Montrer que $\sqrt{\sqrt{I}} = \sqrt{I}$.
- Soit $J$ un idéal de $A$. Montrer que : \[ \sqrt{I\cap J}=\sqrt{I} \cap \sqrt{J} \text{ et } \sqrt{I}+\sqrt{J} \subset \sqrt{I+J}. \] Trouver un exemple dans $\mathbb{Z}[X]$ qui montre que, pour le dernier point, l'inclusion réciproque est fausse en général.
Exercice #179
Énoncé
On considère l'ensemble :\[
A=\{x \in \mathbb{Q} \; | \; \exists\, a \in \mathbb{Z},\; \exists\, b \in 2\mathbb{Z}+1, \; x=\frac{a}{b}\}.
\]Montrer que $A$ est un sous-anneau de $\mathbb{Q}$ puis montrer que $A$ est principal.
Exercice #180
Énoncé
On considère l'anneau $\mathbb{Z}[X]$ et $n \in \mathbb{N}$ avec $n\geqslant 2$. Montrer que l'idéal $I=X\mathbb{Z}[X]+n\mathbb{Z}[X]$ n'est pas principal.
Exercice #181
Énoncé
Soit $A$ un anneau intègre. Montrer que $A[X]$ est principal si, et seulement si, $A$ est un corps.
Exercice #135
Énoncé
On note $\mathbb{Z}[i]=\{a+ib \; | \; a,b \in \mathbb{Z}\}$.
- Montrer que $\mathbb{Z}[i]$ est un sous-anneau de $\mathbb{C}$.
- Déterminer le groupe des inversibles de $\mathbb{Z}[i]$.
Exercice #140
Énoncé
On définit deux lois de composition sur $\mathbb{R}$ :\[
x\oplus y=x+y-1 \quad\text{et}\quad x \otimes y=x+y-xy \quad\text{pour }x,y \in \mathbb{R}
\]Montrer que $(\mathbb{R},\oplus,\otimes)$ est un corps.
Exercice #70
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z \in \mathbb{R}$ :\[
\left\{
\begin{array}{ccccccc}
2x&-&y&+&z&=&3 \\
x&+&y&+&z&=&6 \\
-x&+&2y&-&z&=&0 \\
\end{array}\right.
\]
Exercice #167
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z \in \mathbb{R}$ :\[
\left\{
\begin{array}{ccccccc}
2x&+&y&+&z&=&0 \\
x&&&+&z&=&0 \\
&&y&+&z&=&0
\end{array}\right.
\]
Exercice #168
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z \in \mathbb{R}$ :\[
\left\{
\begin{array}{ccccccc}
x&+&2y&+&2z&=&0 \\
2x&-&y&+&2z&=&0 \\
-x&+&3y&&&=&0
\end{array}\right.
\]
Exercice #169
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z \in \mathbb{R}$ :\[
\left\{
\begin{array}{ccccccc}
2x&+&y&-&z&=&1 \\
4x&+&y&-&2z&=&3 \\
2x&&&-&z&=&2
\end{array}\right.
\]
Exercice #170
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z,t \in \mathbb{R}$ :\[
\left\{
\begin{array}{ccccccccc}
2x&+&y&+&z&+&t&=&0 \\
4x&-&y&+&z&-&t&=&0 \\
6x&&&+&2z&&&=&0 \\
2x&-&2y&&&-&2t&=&0
\end{array}\right.
\]
Exercice #171
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z,t \in \mathbb{R}$ :\[
\left\{
\begin{array}{ccccccccc}
x&+&y&+&z&+&t&=&10 \\
x&-&y&+&z&-&t&=&-2 \\
2x&-&y&&&+&t&=&4 \\
3x&-&2y&-&z&+&t&=&0
\end{array}\right.
\]
Exercice #172
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z,t \in \mathbb{R}$ :\[
\left\{
\begin{array}{ccccccccc}
x&+&y&+&z&+&t&=&0 \\
x&-&y&+&z&-&t&=&0 \\
2x&+&2y&-&z&+&2t&=&0
\end{array}\right.
\]
Exercice #177
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z \in \mathbb{C}$ :\[
\left\{
\begin{array}{ccccccc}
ix&+&(1-i)y&+&iz&=&2 \\
(1+i)x&-&iy&+&z&=&i \\
(1-i)x&+&y&+&(1-i)z&=&1+i
\end{array}\right.
\]
Exercice #178
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z \in \mathbb{C}$ :\[
\left\{
\begin{array}{ccccccc}
e^{i\frac{\pi}{6}}x&+&e^{-i\frac{\pi}{6}}y&+&z&=&2i \\
e^{i\frac{\pi}{3}}x&-&e^{-i\frac{\pi}{3}}y&+&iz&=&0 \\
ix&+&e^{-i\frac{\pi}{6}}y&+&e^{i\frac{\pi}{3}}z&=&i
\end{array}\right.
\]
Exercice #176
Énoncé
On pose $j=e^{i\frac{2\pi}{3}}$.
Montrer que le système linéaire suivant admet une unique solution $(x,y,z) \in \mathbb{C}^3$ vérifiant $x=\alpha(1-j)$ avec $\alpha \in \mathbb{R}$ à déterminer :\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} x&+&jy&+&j^2z&=&0 \\ jx&+&y&+&j^2z&=&-j \\ j^2x&+&j^2y&+&z&=&j^2 \end{array}\right. \]
Montrer que le système linéaire suivant admet une unique solution $(x,y,z) \in \mathbb{C}^3$ vérifiant $x=\alpha(1-j)$ avec $\alpha \in \mathbb{R}$ à déterminer :\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} x&+&jy&+&j^2z&=&0 \\ jx&+&y&+&j^2z&=&-j \\ j^2x&+&j^2y&+&z&=&j^2 \end{array}\right. \]
Exercice #74
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z \in \mathbb{R}$ selon la valeur du paramètre $m \in \mathbb{R}$:\[
\left\{
\begin{array}{ccccccc}
x&+&my&-&z&=&2 \\
x&+&2my&-&3z&=&0 \\
-2x&&&+&mz&=&-6 \\
\end{array}\right.
\]
Exercice #175
Énoncé
Résoudre le système linéaire suivant d'inconnues $x,y,z \in \mathbb{R}$, en fonction du paramètre $m \in \mathbb{R}$ :\[
\left\{
\begin{array}{ccccccc}
x&+&my&+&m^2z&=&0 \\
mx&+&y&+&mz&=&0 \\
mx&+&m^2y&+&z&=&0
\end{array}\right.
\]
Exercice #201
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix}
-1&-3&3 \\
0&2&0 \\
3&3&-1
\end{pmatrix}$
- Déduire du calcul de $A^2$ un polynôme annulateur de $A$. Est-ce le polynôme minimal de $A$ ?
- Montrer que $A$ est inversible en exhibant son inverse.
- Calculer $A^n$ pour $n \in \mathbb{N}^*$.
Exercice #199
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix}
4&6&3 \\
-2&-3&-2 \\
1&2&2
\end{pmatrix}$
- Déduire du calcul de $A^2$ un polynôme annulateur de $A$. Est-ce le polynôme minimal de $A$ ?
- Montrer que $A$ est inversible en exhibant son inverse.
- Calculer $A^n$ pour $n \in \mathbb{N}^*$.
Exercice #553 Oral CCinP 2023
Détails de l'exercice #553
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+2.
En Mathématiques : Bac+2.
Source : BEOS #7655 Oral CCinP 2023
Énoncé
On pose $A=\begin{pmatrix} 0_n & I_n & 0_n \\ 0_n & 0_n & I_n \\ 0_n & 0_n & 0_n \end{pmatrix}$
- Calculer le polynôme caractéristique, le polynôme minimal et le rang de $A$.
- Soit $u$ un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie, montrer que $\text{dim}(\text{Ker}(u^2))\leqslant 2\text{dim}(\text{Ker}(u))$.
- Soit $B \in \mathcal{M}_{3n}(\mathbb{R})$ telle que $B^3=0_{3n}$ et $\text{rg}(B) = 2n$.
- Montrer que $\text{Im}(B^2) \subset \text{Ker}(B)$.
- En déduire le rang de $B^2$.
- Soit $(X_1,\hdots , X_m)$ une base d'un supplémentaire de $\text{Ker}(B^2)$. Montrer que $(B^2X_1, \hdots , B^2X_m, BX_1, \hdots, BX_m, X_1, \hdots, X_m)$ est une famille libre.
- Montrer que $A$ et $B$ sont semblables.
Indications
- Polynôme caractéristique : soit par un calcul direct, soit après avoir fait le polynôme minimal; polynôme minimal : calculer $A^2$ et $A^3$; rang : déterminer le nombre maximum de colonnes qui forme une famille libre (une base de l'image donc).
- Considérer l'application linéaire $v:\text{Im}(u) \rightarrow E$ telle que $v:x \mapsto u(x)$.
-
- Simple vérification.
- Utiliser la question précédente et la question 2.
- Montrer d'abord que $(B^2X_1, \hdots , B^2X_m)$ est une famille libre avec la définition en utilisant ensuite que l'intersection de $\text{Ker}(B^2)$ et du supplémentaire considéré est réduite à $0_{3n,1}$. Puis rappliquer la définition de famille libre à la famille entière et multiplier par $B$ puis par $B^2$.
- Considérer l'endomorphisme $u:X \mapsto BX$ de $M_{3n,1}(\mathbb{K})$ ou encore écrire la matrice $P$ ayant pour colonnes les éléments de la base de $M_{3n,1}(\mathbb{K})$ de la question précédente.
Correction
- On a, pour $\lambda \in \mathbb{R}$ : \[
\chi_A(\lambda)=\begin{vmatrix} \lambda I_n & -I_n & 0_n \\ 0_n & \lambda I_n & -I_n \\ 0_n & 0_n & \lambda I_n \end{vmatrix}
\] Ce déterminant étant celui d'une matrice triangulaire par blocs, il est égal au produit des déterminants des blocs diagonaux, d'où : \[
\chi_A(\lambda) = \text{det}(\lambda I_n)^3 = \lambda^{3n}
\] et donc $\chi_A=X^{3n}$.
On a $A^2=\begin{pmatrix} 0_n & 0_n & I_n \\ 0_n & 0_n & 0_n \\ 0_n & 0_n & 0_n \end{pmatrix}$ et $A^3=0_{3n}$ donc $X^3$ est annulateur de $A$ mais pas $X^2$, d'où $\pi_A=X^3$.
Le rang de $A$ est égal à $2n$ car ses $2n$ dernières colonnes forment une famille libre de $\mathcal{M}_{3n,1}(\mathbb{K})$ et les $n$ premières sont nulles donc liées aux $2n$ dernières.
Remarque : on aurait également pu déduire le polynôme caractéristique à partir du polynôme minimal : en effet, comme $\pi_A=X^3$, $A$ est nilpotente et le cours affirme que dans ce cas, $\chi_A=X^{3n}$ car $A \in \mathcal{M}_{3n}(\mathbb{K})$. - On note $v$ la restriction de $u$ à $\text{Im}(u)$. Alors $\text{Ker}(v) \subset \text{Ker}(u)$ et $\text{Im}(v) = \text{Im}(u^2)$ car, pour tout $x \in E$, $v(u(x))=u^2(x)$. Ainsi, d'après le théorème du rang, on a : \[ \begin{array}{rcl} \text{rg}(u)&=&\text{dim}\left(\text{Im}(u)\right) \\ &=&\text{rg}(v)+\text{dim}\left(\text{Ker}(v)\right) \\ &=&\text{rg}(u^2)+\text{dim}\left(\text{Ker}(v)\right) \\ &\leqslant &\text{rg}(u^2)+\text{dim}\left(\text{Ker}(u)\right) \\ \end{array} \] d'où : \[ \text{rg}(u)-\text{rg}(u^2)\leqslant\text{dim}\left(\text{Ker}(u)\right) \quad (*) \] Or, en appliquant le théorème du rang à $u$ puis à $u^2$, on a : \[ \begin{array}{l} \text{dim}\left(E\right)=\text{rg}(u)+\text{dim}\left(\text{Ker}(u)\right) \\ \text{dim}\left(E\right)=\text{rg}(u^2)+\text{dim}\left(\text{Ker}(u^2)\right) \end{array} \] donc : \[ \text{rg}(u)-\text{rg}(u^2) = \text{dim}\left(\text{Ker}(u^2)\right)-\text{dim}\left(\text{Ker}(u)\right). \] En reportant cette dernière égalité dans $(*)$ et en ajoutant $\text{dim}\left(\text{Ker}(u)\right)$ on obtient le résultat.
-
- Soit $Y \in \text{Im}(B^2)$. Alors il existe $X \in \mathcal{M}_{3n,1}(\mathbb{K})$ tel que $Y=B^2X$. Ainsi $BY=B(B^2X)=B^3X=0_3X=0_{3n,1}$. D'où $Y \in \text{Ker}(B)$. D'où l'inclusion.
- Comme $\text{rg}(B)=2n$, d'après le théorème du rang, $\text{dim}\left(\text{Ker}(B)\right)=3n-2n=n$. Ainsi, d'après la question précédente, $\text{rg}(B^2)\leqslant n$.
De plus, pour $u$ l'endomorphisme de $\mathbb{K}^n$ canoniquement associé à $B$. D'après la question 2., on a : \[ \text{dim}\left(\text{Ker}(u^2)\right)\leqslant 2\text{dim}\left(\text{Ker}(u)\right) \] d'où : \[ \text{dim}\left(\text{Ker}(B^2)\right)\leqslant 2\text{dim}\left(\text{Ker}(B)\right) \] et donc \[ 3n-\text{rg}(B^2)\leqslant 6n - 2\text{rg}(B) = 6n-4n=2n. \] Par suite, on obtient $\text{rg}(B^2) \geqslant 3n-2n = n$.
Ainsi, $\text{rg}(B^2)=n$. - D'après le résultat de la question précédente et le théorème du rang, on a $\text{dim}\left(\text{Ker}(B^2)\right)=3n-n=2n$, donc tout supplémentaire de $\text{Ker}(B^2)$ est de dimension $3n-2n=n$. Par suite, $m=n$.
On note $S= \text{Vect}(X_1,\hdots,X_n)$ le supplémentaire de $\text{Ker}(B^2)$ considéré.
Montrons que la famille $(B^2X_1,\hdots,B^2X_n)$ est libre. Soit $\lambda_1,\hdots, \lambda_n \in \mathbb{K}$. On suppose que $\sum_{i=1}^n \lambda_i B^2X_i = 0_{3n,1}$. On note $X=\sum_{i=1}^n \lambda_i X_i \in S$. Alors on a $B^2X=\sum_{i=1}^n \lambda_i B^2X_i = 0_{3n,1}$, donc $X \in S \cap \text{Ker}(B^2)= \{0_{3n,1}\}$ d'où $\sum_{i=1}^n \lambda_i X_i=0_{3n,1}$.
Or, la famille $(X_1,\hdots,X_n)$ est libre comme base de $S$, donc $\lambda_1=0,\hdots, \lambda_n=0$. Par suite, $(B^2X_1,\hdots,B^2X_n)$ est libre.
Montrons que la famille $(B^2X_1,\hdots,B^2X_n,BX_1,\hdots,BX_n,X_1,\hdots,X_n)$ est libre. Soit $\lambda_1,\hdots,\lambda_{n},\mu_1,\hdots,\mu_{n},\nu_1,\hdots,\nu_{n} \in \mathbb{K}$. On suppose que $Y=\sum_{i=1}^n \lambda_i B^2X_i+\sum_{i=1}^n \mu_i BX_i+\sum_{i=1}^n \nu_i X_i = 0_{3n,1}$. - On a : $B^2Y = \sum_{i=1}^n \lambda_i \underbrace{B^4X_i}_{=0_{3n,1}}+\sum_{i=1}^n \mu_i \underbrace{B^3X_i}_{=0_{3n,1}}+\sum_{i=1}^n \nu_i B^2X_i = B^20_{3n,1}=0_{3n,1}$, donc $\sum_{i=1}^n \nu_i B^2X_i =0_{3n,1}$. Or, d'après ce qui précède, la famille $(B^2X_1,\hdots,B^2X_n)$ est libre, d'où $\nu_1=0,...,\nu_n=0$.
- $BY = \sum_{i=1}^n \lambda_i \underbrace{B^3X_i}_{=0_{3n,1}}+\sum_{i=1}^n \mu_i B^2X_i = B0_{3n,1}=0_{3n,1}$, donc $\sum_{i=1}^n \mu_i B^2X_i =0_{3n,1}$, d'où, comme précédemment, $\mu_1=0,...,\mu_n=0$.
- $Y=\sum_{i=1}^n \lambda_i B^2X_i=0_{3n,1}$, d'où, comme précédemment, $\lambda_1=0,...,\lambda_n=0$. Il en résulte que $(B^2X_1,\hdots,B^2X_n,BX_1,\hdots,BX_n,X_1,\hdots,X_n)$ est libre.
- Comme $\mathcal{B}=(B^2X_1,\hdots,B^2X_n,BX_1,\hdots,BX_n,X_1,\hdots,X_n)$ est une famille libre de cardinal $3n$ dans $\mathcal{M}_{3n,1}(\mathbb{K})$ qui est de dimension $3n$, $\mathcal{B}$ est une base de $\mathcal{M}_{3n,1}(\mathbb{K})$.
On considère la base canonique $\mathcal{C}=(E_1,\hdots,E_{3n})$ de $\mathcal{M}_{3n,1}(\mathbb{K})$.
Voici deux façons (quasiment similaires) d'établir le résultat : - 1ère façon : en montrant que $A$ et $B$ représentent le même endomorphisme dans deux bases différentes.
Soit $u:X \mapsto BX$. Alors $u$ est un endomorphisme de $\mathcal{M}_{3n,1}(\mathbb{K})$ et $\text{Mat}_{\mathcal{C}}(u)=B$. Déterminons la matrice $\text{Mat}_{\mathcal{B}}(u)$ de $u$ dans la base $\mathcal{B}$. On a, pour tout $i \in \;[\!\!\![\; 1,n \;]\!\!\!]\;$ : \[ \begin{array}{l} u(B^2X_i)=B(B^2X_i)=B^2X_i=0_{3n,1}, \\ u(BX_i)=B(BX_i)=B^2X_i \text{ et} \\ u(X_i)=B(X_i)=BX_i. \end{array} \] Par suite, on a : \[ \text{Mat}_{\mathcal{B}}(u) = \begin{pmatrix} 0_n & I_n & 0_n \\ 0_n & 0_n & I_n \\ 0_n & 0_n & 0_n \end{pmatrix} = A \] Comme deux matrices qui représentent un même endomorphisme sont semblables, il en résulte que $A$ et $B$ sont semblables. - 2ème façon : en exhibant une matrice inversible de similitude entre $A$ et $B$.
La matrice $P=(P_1|\hdots|P_{3n}) \in \mathcal{M}_{3n}(\mathbb{K})$ dont les colonnes $P_i$ de $P$ sont les éléments (dans l'ordre) de la base $\mathcal{B}$ est inversible car de rang $3n$ et on a : \[ \begin{array}{rcl} P^{-1}BP&=&P^{-1}B(B^2X_1|\hdots|B^2X_n|BX_1|\hdots|BX_n|X_1|\hdots|X_n) \\ &=&P^{-1}(B^3X_1|\hdots|B^3X_n|B^2X_1|\hdots|B^2X_n|BX_1|\hdots|BX_n) \\ &=&P^{-1}(0_{3n,1}|\hdots|0_{3n,1}|B^2X_1|\hdots|B^2X_n|BX_1|\hdots|BX_n) \\ &=&(0_{3n,1}|\hdots|0_{3n,1}|P^{-1}B^2X_1|\hdots|P^{-1}B^2X_n|P^{-1}BX_1|\hdots|P^{-1}BX_n) \\ \end{array} \] Or, comme $P^{-1}(B^2X_1|\hdots|B^2X_n|BX_1|\hdots|BX_n|X_1|\hdots|X_n)=P^{-1}P=I_{3n}=\left(E_1|\hdots|E_{3n}\right)$, on a : \[ (P^{-1}B^2X_1|\hdots|P^{-1}B^2X_n|P^{-1}BX_1|\hdots|P^{-1}BX_n|P^{-1}X_1|\hdots|P^{-1}X_n)=\left(E_1|\hdots|E_{n}|E_{n+1}|\hdots|E_{2n}|E_{2n+1}|\hdots|E_{3n}\right), \] d'où : \[ \begin{array}{rcl} P^{-1}BP&=&(0_{3n,1}|\hdots|0_{3n,1}|P^{-1}B^2X_1|\hdots|P^{-1}B^2X_n|P^{-1}BX_1|\hdots|P^{-1}BX_n) \\ &=&(0_{3n,1}|\hdots|0_{3n,1}|E_{1}|\hdots|E_n|E_{n+1}|\hdots|E_{2n}) \\ &=&\begin{pmatrix} 0_n & I_n & 0_n \\ 0_n & 0_n & I_n \\ 0_n & 0_n & 0_n \end{pmatrix} \\ P^{-1}BP&=&A. \end{array} \] Par suite, $A$ et $B$ sont semblables.
Exercice #269
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix}
-3&1&3 \\
1&-3&3 \\
-5&5&1
\end{pmatrix}$. Déterminer les éléments propres (valeurs propres, sous-espaces propres) de $A$.
Exercice #270
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix}
-6&4&4 \\
-4&2&4 \\
-4&4&2
\end{pmatrix}$. Déterminer les éléments propres (valeurs propres, sous-espaces propres) de $A$.
Exercice #271
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix}
-3&2&3 \\
2&-2&2 \\
-7&6&3
\end{pmatrix}$. Déterminer les éléments propres (valeurs propres, sous-espaces propres) de $A$.
Exercice #272
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix}
1&1&-1 \\
2&0&-3 \\
-1&1&1
\end{pmatrix}$. Déterminer les éléments propres (valeurs propres, sous-espaces propres) de $A$ vue comme appartenant à $M_3(\mathbb{R})$ puis à $M_3(\mathbb{C})$.
Exercice #273
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix}
-1+2i&1&1-2i \\
2i&0&-1-2i \\
-1&1&1
\end{pmatrix}$. Déterminer les éléments propres (valeurs propres, sous-espaces propres) de $A$.
Exercice #265
Énoncé
On considère $E=\{u \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \; | \; \lim u = 0\}$. On note $\varphi$ l'application définie, pour $u=(u_n)_{n \in \mathbb{N}} \in E$, par $\varphi(u)=(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ où, pour $n \in \mathbb{N}$ :\[
v_n=u_{n+1}-u_n.
\]
- Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme de $E$.
- Déterminer les éléments propres (valeurs propres, sous-espaces propres) de $\varphi$.
Exercice #266
Énoncé
Soirt $E=C([0,1],\mathbb{R})$. On définie, pour $f \in E$, la fonction $\varphi(f):[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ par :\[
\varphi(f)(x) = \begin{cases}
\displaystyle \frac{1}{x}\int_0^x f(t)\text{d}t & \text{ si }x \in ]0,1] \\ \\
f(0)&\text{ sinon.}
\end{cases}
\]
- Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme de $E$.
- Déterminer les valeurs propres de $\varphi$.
Exercice #267
Énoncé
Pour $n \in \mathbb{N}^*$, on note $A_n=(a_{ij})_{1\leqslant i,j \leqslant n } \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ la matrice telle que, pour $i,j \in \;[\!\!\![\; 1,n\;]\!\!\!]\;$ :\[
a_{i,j}=\begin{cases}
1&\text{ si }i=j+1\text{ ou }j=i+1 \\
0&\text{ sinon }
\end{cases}
\]et on note $\chi_n$ le polynôme caractéristique de $A_n$ i.e. $\chi_n(X)=\text{det}(XI_n-A_n)$.
- Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que, pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$, \[ \chi_{n+2}(\lambda)=\lambda \chi_{n+1}(\lambda)-\chi_n(\lambda) \]
- On pose, pour $\theta \in ]0,\pi[$, $\lambda=2\cos(\theta)$. Montrer que \[ \chi_n(\lambda)=\frac{\sin\left((n+1)\theta\right)}{\sin(\theta)} \]
- En déduire le spectre de $A_n$ puis que $A_n$ est diagonalisable.
Exercice #268
Énoncé
Soit un entier $n \geqslant 2$ et $f$ un endomorphisme de $\mathbb{R}^n$ tel que $\text{rg}(f)=2$. Exprimer le polynôme caractéristique de $f$ en fonction de $\text{Tr}(f)$ et $\text{Tr}(f^2)$.
Exercice #295
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix}
-3&1&3 \\
1&-3&3 \\
-5&5&1
\end{pmatrix}$. Diagonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $D \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ diagonale telle que $A=PDP^{-1}$.
Exercice #296
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix}
1&-1&3 \\
-2&2&3 \\
2&1&0
\end{pmatrix}$. Diagonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $D \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ diagonale telle que $A=PDP^{-1}$.
Exercice #297
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix}
4&-1&-3 \\
1&2&-3 \\
-1&1&6
\end{pmatrix}$. Diagonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $D \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ diagonale telle que $A=PDP^{-1}$.
Exercice #298
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix}
0&-1&1 \\
6&-5&2 \\
-3&1&-4
\end{pmatrix}$. Trigonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $T \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ triangulaire supérieure telle que $A=PTP^{-1}$.
Exercice #299
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix}
3&-4&-5 \\
6&-8&-6 \\
-7&8&5
\end{pmatrix}$. Trigonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $T \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ triangulaire supérieure telle que $A=PTP^{-1}$.
Exercice #300
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix}
0&\frac{1}{2}&\frac{1}{2} \\
1&0&1 \\
1&-1&0
\end{pmatrix}$. Trigonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $T \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ triangulaire supérieure telle que $A=PTP^{-1}$.
Exercice #301
Énoncé
Soit $A=\begin{pmatrix}
4&1&0 \\
0&2&-1 \\
1&1&3
\end{pmatrix}$. Trigonaliser la matrice $A$ dans $\mathbb{R}$ i.e. expliciter un matrice $P \in \text{GL}_3(\mathbb{R})$ et une matrice $T \in \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})$ triangulaire supérieure telle que $A=PTP^{-1}$.
Exercice #302
Énoncé
Soit $a \in \mathbb{R}$ et $A=\begin{pmatrix}
1+a&1+a&1 \\
-a&-a&-1 \\
a&a-1&0
\end{pmatrix}$.
- Pour quelles valeurs de $a$ la matrice $A$ est-elle trigonalisable ? diagonalisable ?
- Effectuer la trigonalisation/diagonalisation selon les valeurs de $a$ déterminée à la question précédente.
Exercice #303
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}$ avec $n \geqslant 2$ et $x,y \in \mathbb{C}^*$ tels que $y\neq \pm x$. On considère la matrice : \[
A=\begin{pmatrix}
x & y& x& \dots &y &x &y \\
y & x&y & \dots & x& y&x \\
x & y&x & \dots &y &x &y \\
\vdots&\vdots&\vdots& \ddots &\vdots&\vdots&\vdots \\
y & x& y& \dots &x &y &x \\
x & y&x & \dots &y &x &y \\
y & x&y & \dots &x &y &x
\end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{C}).
\]Montrer que $A$ est diagonalisable.
Exercice #304
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$, $E$ une espace vectoriel de dimension $n$ sur $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ et $u \in \mathcal{L}(E)$ de rang $1$. Montrer que $u$ est diagonalisable si, et seulement si, $\text{Tr}(u)\neq 0$.
Exercice #328
Énoncé
Déterminer l'exponentielle de la matrice $A=\begin{pmatrix}
-3&1&3 \\
1&-3&3 \\
-5&5&1
\end{pmatrix}$.
Exercice #329
Énoncé
Déterminer l'exponentielle de la matrice $A=\begin{pmatrix}
4&-1&-3 \\
1&2&-3 \\
-1&1&6
\end{pmatrix}$.
Exercice #330
Énoncé
Déterminer l'exponentielle de la matrice $A=\begin{pmatrix}
0&-1&1 \\
6&-5&2 \\
-3&1&-4
\end{pmatrix}$.
Exercice #309
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Déterminer toutes les matrices $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que :\[
\begin{cases}
\text{Tr}(A)=0 \\
A^3-6A^2+9A=0_n
\end{cases}
\]
Exercice #311
Énoncé
Soit $A \in \mathcal{M}(\mathbb{K})$ telle que $A^2$ est diagonalisable.
- Si $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ et $A$ inversible; montrer que $A$ est diagonalisable.
- Si $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ et $A$ non inversible, $A$ est-elle diagonalisable ?
- Si $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ et $A$ inversible, $A$ est-elle diagonalisable ?
Exercice #312
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $u \in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme de rang $1$. Montrer que $u$ est diagonalisable si, et seulement si, $\text{Im}(u) \not \subset \text{Ker}(u)$.
Exercice #310
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Soit $A,N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ telles que $N$ est nilpotente et $A,N$ commutent. Montrer que :\[
\text{det}(A+N)=\text{det}(A)
\]On pourra commencer par étudier le cas $A \in \text{GL}_n(\mathbb{K})$.
Exercice #264
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel et $f,p \in \mathcal{L}(E)$ avec $p$ projecteur. Montrer que $f$ et $p$ commutent si, et seulement si, $\text{Ker}(p)$ et $\text{Im}(p)$ sont stables par $f$.
Exercice #263
Énoncé
On considère l'endomorphisme $\Delta: \mathbb{R}[X] \rightarrow \mathbb{R}[X]$ tel que, pour $P \in \mathbb{R}[X]$, $\Delta(P)=P'$. Montrer qu'il n'existe pas d'endomorphisme $\delta$ de $\mathbb{R}[X]$ tel que $\delta^2=\Delta$.
Exercice #391
Énoncé
On considère la matrice suivante :\[
A=\begin{pmatrix}
3&3 \\
0&3
\end{pmatrix}.
\]Montrer que $A$ est inversible puis calculer $A^n$ pour $n \in \mathbb{Z}$.
Exercice #392
Énoncé
Montrer que la matrice $A$ est inversible et déterminer son inverse, où :\[
A=\begin{pmatrix}
-1&1&-1 \\
1&2&0 \\
2&2&1
\end{pmatrix}.
\]
Exercice #393
Énoncé
Trouver toutes les matrices colonnes $X \in \mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})$ telle que $AX=2X$, où :\[
A=\begin{pmatrix}
0&-1&1 \\
-2&1&1 \\
-4&-2&4
\end{pmatrix}.
\]De même pour $AX=X$.
Exercice #395
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $A,B,C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ des matrices non nulles telles que $ABC=O_n$. Montrer qu'au moins deux matrices parmi $A,B,C$ ne sont pas inversibles.
Exercice #398
Énoncé
Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le produit de deux matrices symétriques soit une matrice symétrique.
Exercice #502
Énoncé
Montrer que $A$ est inversible et déterminer son inverse, où :\[
A=\begin{pmatrix}
0&1&1 \\
1&0&1 \\
1&1&1
\end{pmatrix}.
\]
Exercice #503
Énoncé
Montrer que $A$ est inversible et déterminer son inverse, où :\[
A=\begin{pmatrix}
2&1&-2 \\
-1&0&1 \\
-2&1&0
\end{pmatrix}.
\]
Exercice #394
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On considère la matrice $
A=
\begin{pmatrix}
1 &... & ... &1 \\
0 &\ddots& &\vdots \\
\vdots&\ddots&\ddots&\vdots \\
0 &... &0 &1
\end{pmatrix}
\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
- Montrer que $A$ est inversible puis déterminer son inverse.
- Déterminer $A^{-k}$ pour $k \in \mathbb{N}$.
- Conjecturer la valeur des coefficients de $A^{k}$ pour $k \in \mathbb{N}$ puis démontrer cette conjecture.
Exercice #397
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que la matrice $A$ est inversible et déterminer son inverse, où :\[
A=
\begin{pmatrix}
1 &2 &3 & ... &n \\
0 &\ddots&\ddots&\ddots&\vdots \\
\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&3 \\
\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&2 \\
0 &... &... &0 &1
\end{pmatrix}
\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}).\]
Exercice #577
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}$ avec $n \geqslant 2$ et $a,b \in \mathbb{C}$. Calculer le déterminant de taille $n \times n$ suivant : \[
\begin{vmatrix}
a &b &\hdots&\hdots&b \\
b &a &\ddots& &\vdots \\
\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots \\
\vdots& &\ddots&a &b \\
b &\hdots&\hdots&b &a
\end{vmatrix}
\]
Exercice #578
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $x \in \mathbb{C}$. On considère le déterminant de taille $(n+1) \times (n+1)$ suivant : \[
\Delta_n(x)=\begin{vmatrix}
1 &1 &\hdots&\hdots &1 \\
1 &1-x &\ddots& &\vdots \\
\vdots&\ddots&\ddots&\ddots &\vdots \\
\vdots& &\ddots&(n-1)-x&1 \\
1 &\hdots&\hdots&1 &n-x
\end{vmatrix}
\]Calculer $\Delta_n(x)$ de deux manières différentes : l'une en utilisant des opérations sur les lignes et/ou colonnes; l'autre en étudiant les zéros de la fonction $x \mapsto \Delta_n(x)$.
Exercice #496
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Soit $M,A,B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$
- Montrer que si, pour tout $N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$,\[ \text{det}(M+N)=\text{det}(N), \]alors $M=0_n$.
- En déduire que si, pour tout $C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, $\text{det}(A+C)=\text{det}(B+C)$ alors $A=B$.
Exercice #493
Énoncé
Soit $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $\mathbb{R}^3$ et $\mathcal{B}'=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)$ la famille de vecteurs de $\mathbb{R}^3$ définie par :\[
\varepsilon_1=e_1+e_2-2e_3\,; \quad \varepsilon_2=e_1-2e_3\,; \quad \varepsilon_3=e_1-e_2\,.
\]
- Montrer que $\mathcal{B}'$ est une base de $\mathbb{R}^3$.
- Déterminer la matrice $P$ de passage de $\mathcal{B}$ vers $\mathcal{B}'$ puis la matrice $Q$ de passage de $\mathcal{B}'$ vers $\mathcal{B}$.
Exercice #514
Énoncé
Montrer que le sous-ensemble suivant est un sous-espace affine de $\mathbb{R}^3$ :\[
\mathcal{F}=\left\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \; | \;
\begin{cases}
x+y+z=3 \\
3x+y+z = 5
\end{cases}
\right\}
\]
Exercice #515
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que le sous-ensemble suivant est un sous-espace affine de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ :\[
\mathcal{F}=\{A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \; | \; \text{tr}(A)=n \}.
\]
Exercice #516
Énoncé
Montrer que le sous-ensemble suivant est un sous-espace affine de $\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ :\[
\mathcal{F}=\{f \in \mathcal{C}([0,1],\mathbb{R}) \; | \; f(0)=1 \text{ et }f(1)=-1\}
\]
Exercice #517
Énoncé
Montrer que le sous-ensemble suivant est un sous-espace affine de $\mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ :\[
\mathcal{F}=\left\{f \in \mathcal{C}([0,1],\mathbb{R}) \; | \; \forall \; k \in \mathbb{N}, \; f^{(k)}(0) = \begin{cases}
(-1)^p &\text{ si }k=2p \text{ pair avec }p\in \mathbb{N} \\
0&\text{ si }k\text{ impair}
\end{cases}
\right\}.
\]
Exercice #518
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que le sous-ensemble suivant est un sous-espace affine de $\mathbb{R}[X]$ :\[
\mathcal{F}=\{P \in \mathbb{R}[X] \; | \; \forall k \in \;[\!\!\![\; 0, n \;]\!\!\!]\;, \;P(k)=e^k\}.
\]
Exercice #467
Énoncé
Soit $a_1,a_2,a_3 \in \mathbb{R}$. On note $f_i:x \mapsto \sin(x+a_i)$ pour $i=1,2,3$.
- La famille $(f_1,f_2)$ est-elle libre ?
- La famille $(f_1,f_2,f_3)$ est-elle libre ?
Exercice #465
Énoncé
Soit $F=\{f \in C^1(\mathbb{R},\mathbb{R}) \; | \; f(0)=0 \text{ et }f'(0)=0\}$.
- Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $C^1(\mathbb{R},\mathbb{R})$.
- Déterminer un sous-espace supplémentaire de $F$ dans $C^1(\mathbb{R},\mathbb{R})$.
Exercice #468
Énoncé
On considère les sous-espaces vectoriels $F=\text{Vect}(1,1,1)$ et $G=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \; | \; x+y+z=0 \}$ de $\mathbb{R}^3$. Montrer que $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $\mathbb{R}^3$.
Exercice #466
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On pose $G=\{f \in C(\mathbb{R},\mathbb{R}) \; | \; f(k)=0 \text{ pour tout }k
\in \;[\!\!\![\; 1,n\;]\!\!\!]\;\}$.
- Montrer que $G$ est un sous-espace vectoriel de $C(\mathbb{R},\mathbb{R})$.
- Déterminer un sous-espace supplémentaire de $G$ dans $C(\mathbb{R},\mathbb{R})$.
Exercice #470
Énoncé
Les applications suivantes sont-elles linéaires :
- $f:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R} \text{ telles que }f:(x,y,z)\mapsto x+2y-z$.
- $f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \text{ telles que }f:(x,y)\mapsto x+2y+2$.
- $f:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \text{ telles que }f:(x,y)\mapsto x^2-y^2$.
- $f:\mathbb{R}[X] \rightarrow \mathbb{R}[X] \text{ telles que }f:P\mapsto XP(X+1)$.
Exercice #471
Énoncé
On note $E=C^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})$ et $F=\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R})$. Soit $\varphi:E\rightarrow F$ l'application définie, pour $f \in E$, par $\varphi(f)=f''-3f'+2f$.
Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme de $E$ et déterminer son noyau.
Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme de $E$ et déterminer son noyau.
Exercice #4 Forme linéaire et fonctions affines
Détails de l'exercice #4
Exercice enregistré par M. Arnt
Niveaux :
En Mathématiques : Bac+1.
En Mathématiques : Bac+1.
Source : M. Arnt
Énoncé
Soit $E=C([0,1],\mathbb{R})$. On pose $\varphi:E\rightarrow \mathbb{R}$ telle que, pour tout $f\in E$ :\[
\varphi(f)=\int_0^1f(t) dt;
\]et on note $F=\{f \in E \; | \; f \text{ est affine }\}$ (on rappelle qu'une fonction $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ est affine s'il existe $a,b \in \mathbb{R}$ tels que $f:t\mapsto at+b$).
- Montrer que $\varphi$ est une application linéaire surjective.
- Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
- Montrer qu'il existe $c \in [0,1]$ tel que $F\cap \text{Ker}(\varphi)=\{f \in F \; | \; f(c)=0\}$.
Indications
- Pour la linéarité, utiliser la linéarité de l'intégrale.
Pour la surjectivité, que sait-on d'une forme linéaire non nulle ? - Utiliser la définition/caractérisation des sous-espaces vectoriels;
ou bien montrer que $F$ est le sous-espace engendré par plusieurs fonctions de $E$ bien choisies. - Dessiner des graphes de fonctions affines d'intégrale nulle sur $[0,1]$.
Correction
- Soit $f,g \in E$ et $\lambda \in \mathbb{R}$. On a, par linéarité de l'intégrale : \[
\begin{array}{rcl}
\varphi(\lambda f+g) &=& \displaystyle\int_0^1 (\lambda f+g)(t) dt \medskip \\
&=& \displaystyle \int_0^1 (\lambda f(t)+g(t)) dt \medskip \\
&=& \displaystyle \lambda\int_0^1f(t) dt + \int_0^1g(t) dt \medskip \\
\varphi(\lambda f+g) &=& \lambda\varphi(f)+\varphi(g).
\end{array}
\] Donc $\varphi$ est linéaire.
Il s'agit donc d'une forme linéaire sur $E$; or $\varphi(f_0)=1\neq 0$ pour $f_0:x \mapsto 1$, par suite, $\varphi$ est surjective car toute forme linéaire non nulle est surjective. -
- 1ère façon : caractérisation d'un sous-espace vectoriel.
Le vecteur nul de $E$ est la fonction nulle $\mathbf{0}$ sur $[0,1]$. Or $\mathbf{0}:t \mapsto 0=0\times t +0$ donc $\mathbf{0}$ est affine i.e. $\mathbf{0} \in F$.
Soit $f,g \in F$ et $\lambda \in R$. Alors $f$ et $g$ étant affines, il existe $a,b,a',b' \in \mathbb{R}$ tels que $f:t\mapsto at+b$ et $g:t\mapsto a't+b'$ On a, pour tout $t \in [0,1]$ : \[ \begin{array}{rcl} (\lambda f+g)(t) &=& \lambda f(t) +g(t) \medskip \\ &=& \lambda (at+b)+ (a't+b') \medskip \\ (\lambda f+g)(t)&=& (\lambda a+a')t+(\lambda b +b') \end{array} \] Par suite, comme $(\lambda a+a') \in \mathbb{R}$ et $(\lambda b+b') \in \mathbb{R}$, $\lambda f+g$ est affine et donc $\lambda f+g \in E$.
Il en résulte que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
- 2ème façon : sous-espace engendré. On sait que $f$ est une fonction affine si, et seulement si, il existe $a,b$ tel que $f:t \mapsto at+b$. Ainsi, $f$ est affine si, et seulement si, $f=af_1+bf_0$ où $f_0:t \mapsto 1$ et $f_1:t \mapsto t$.
Par suite, $F=\text{Vect}(f_0,f_1)$ (où on note par le même nom les restrictions de $f_0$ et $f_1$ à $[0,1]$). Un sous-espace engendré par une famille de vecteurs de $E$ étant un sous-espace vectoriel de $E$, on en déduit que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$. - En dessinant quelques graphes, on conjecture que $c=\frac{1}{2}$. Montrons le :
On procède par double inclusion :
Soit $f \in F\cap \text{Ker}(\varphi)$. Alors $f \in F$ et $f \in \text{Ker}(\varphi)$ donc il existe $a,b \in \mathbb{R}$ tels que $f: t \mapsto at+b$ et $\int_0^1f(t) dt=\varphi(f)=0$. Par suite, on a : \[ 0=\int_0^1f(t) dt= \int_0^1(at+b) dt = \frac{1}{2}a+b \] d'où $b=-\frac{1}{2}a$ et donc, pour tout $t \in [0,1]$, $f(t)=a(x-\frac{1}{2})$.
Ainsi, $f(\frac{1}{2})=a(\frac{1}{2}-\frac{1}{2})=0$.
Donc $F\cap \text{Ker}(\varphi)\subset \{f \in F \; | \; f(\frac{1}{2})=0\}$.
Réciproquement, si $f \in \{f \in F \; | \; f(\frac{1}{2})=0\}$. Alors $f$ est affine et donc il existe $a,b \in \mathbb{R}$ tels que $f: t \mapsto at+b$. Comme $a\frac{1}{2}+b=0=f(\frac{1}{2})$, on a $b=-\frac{1}{2}a$ et donc : \[ \int_0^1f(t) dt = \int_0^1a(x-\frac{1}{2}) dt=a(\frac{1}{2}-\frac{1}{2})=0 \] Donc $f \in F \cap \text{Ker}(\varphi)$; d'où $\{f \in F \; | \; f(\frac{1}{2})=0\} \subset \text{Ker}(\varphi)$.
Il en résulte que $F\cap \text{Ker}(\varphi)= \{f \in F \; | \; f(\frac{1}{2})=0\}$.
Exercice #475
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$ et $p,q$ des projecteurs de $E$ qui commutent. Montrer que $p\circ q$ est un projecteur puis déterminer son noyau et son image en fonction de ceux de $p$ et $q$.
Exercice #473
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$ et $p,q \in \mathcal{L}(E)$.
- Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
- $p \circ q = p$ et $q \circ p = q$.
- $p$ et $q$ sont des projecteurs de même noyau.
- Déterminer une condition nécessaire et suffissante pour que $p$ et $q$ soient des projecteurs de même image.
Exercice #480
Énoncé
Soit $H$ un hyperplan d'un espace vectoriel $E$ et $x_0 \in E$. Montrer que $x_0 \notin H$ si, et seulement si, $H$ et $\text{Vect}(x_0)$ sont supplémentaires dans $E$.
Exercice #481
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}$ et $x_0,...,x_n$ des réels tous distincts. Montrer que l'application $f:\mathbb{R}_n[X]\rightarrow \mathbb{R}^{n+1}$ définie, pour $P \in \mathbb{R}_n[X]$, par :\[
f(P)=(P(x_0),...,P(x_n))
\]est un isomorphisme d'espaces vectoriels.
Exercice #482
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $f,g \in \mathcal{L}(E)$. Montrer que si $f+g$ est bijectif et $g\circ f = \mathbf{0}$ alors $\text{rg}(f)+\text{rg}(g)=\text{dim}(E)$.
Exercice #483
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $f \in \mathcal{L}(E)$. On suppose que $\text{rg}(f^2)=\text{rg}(f)$.
- Montrer que $\text{Im}(f^2)=\text{Im}(f)$ et $\text{Ker}(f^2)=\text{Ker}(f)$.
- En déduire que $\text{Im}(f)$ et $\text{Ker}(f)$ sont supplémentaires dans $E$.
Exercice #492
Énoncé
Soit $\mathcal{B}=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $\mathbb{R}^3$, $\mathcal{B}'=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\varepsilon_3)$ la famille de vecteurs de $\mathbb{R}_3$ définie par :\[
\varepsilon_1=e_1+e_2-e_3; \quad \varepsilon_2=e_1-e_3; \quad \varepsilon_3=e_1-e_2
\]On note $A=\begin{pmatrix}
2&-1&0 \\
-2&1&-2 \\
1&1&3
\end{pmatrix}$ et on considère $f$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^3$ canoniquement associé à $A$.
- Montrer que $\mathcal{B}'$ est une base de $\mathbb{R}^3$ et déterminer la matrice $P$ de passage de $\mathcal{B}$ vers $\mathcal{B}'$ puis la matrice $Q$ de passage de $\mathcal{B}'$ vers $\mathcal{B}$.
- Déterminer $\text{Mat}_{\mathcal{B}'}(f)$.
- Calculer $A^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Exercice #498
Énoncé
Soit $n\in \mathbb{N}^*$, $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $f \in \mathcal{L}(E)$ tel que $f^n=\mathbf{0}$ et $f^{n-1}\neq\mathbf{0}$.
Montrer qu'il existe une base $\mathcal{B}$ de $E$ telle que :\[ \text{Mat}_{\mathcal{B}}(f)=\begin{pmatrix} 0 &1 & &0 \\ \vdots&\ddots&\ddots& \\ \vdots& &\ddots&1 \\ 0 &\dots &\dots &0 \end{pmatrix} \]
Montrer qu'il existe une base $\mathcal{B}$ de $E$ telle que :\[ \text{Mat}_{\mathcal{B}}(f)=\begin{pmatrix} 0 &1 & &0 \\ \vdots&\ddots&\ddots& \\ \vdots& &\ddots&1 \\ 0 &\dots &\dots &0 \end{pmatrix} \]
Exercice #499
Énoncé
Déterminer la matrice dans les bases canoniques des espaces de départ et d'arrivée de l'application linéaire $f: \mathbb{R}_4[X] \rightarrow \mathbb{R}_4[X]$ telle que, pour $P \in \mathbb{R}_4[X]$ :\[
f(P)=P(X+2).
\]
Exercice #500
Énoncé
Déterminer la matrice dans les bases canoniques des espaces de départ et d'arrivée de l'application linéaire $f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^4$ telle que, pour $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ :\[
f(x,y,z)=(x+y,y-4z,z-x,x-2y-z).
\]
Exercice #501
Énoncé
Déterminer la matrice dans les bases canoniques des espaces de départ et d'arrivée de l'application linéaire $f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2$ telle que, pour $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ :\[
f(x,y,z)=(2x+y,y-x+3z)
\]
Exercice #494
Énoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $f \in \mathcal{L}(E)$ un endomorphisme de rang $1$.
- Montrer que $f^2=\text{Tr}(f).f$.
- En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que $f$ soit un projecteur.
Exercice #463
Énoncé
Soit $P_1=X^2+2$, $P_2=X^2+2X-1$ et $P_3=X^2+2X$. Montrer que la famille $(P_1,P_2,P_3)$ est une base de $\mathbb{R}_2[X]$.
Exercice #476
Énoncé
On considère la famille $\mathcal{F}=(e_1,e_2,e_3)$ de $\mathbb{R}^3$ où $e_1=(1,1,0)$, $e_2=(1,1,1)$ et $e_3=(0,1,1)$. Montrer que $\mathcal{F}$ est une base de $\mathbb{R}^3$.
Exercice #464
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Pour $k \in \;[\!\!\![\; 0,n \;]\!\!\!]\;$, on pose $P_k=X^k(X-1)^{n-k}$.
Montrer que la famille $(P_0,...,P_n)$ est une base de $\mathbb{R}_n[X]$.
Montrer que la famille $(P_0,...,P_n)$ est une base de $\mathbb{R}_n[X]$.
Exercice #478
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$, $E$ une espace vectoriel de dimension $n$ et $(e_1,...,e_n)$, $(\varepsilon_1,...,\varepsilon_n)$ des bases d'un espace vectoriel $E$. Montrer qu'il existe $i \in \;[\!\!\![\; 1,n \;]\!\!\!]\;$ tel que $(e_1,...,e_{n-1},\varepsilon_i)$ est une base de $E$.
Exercice #313
Énoncé
Déterminer le reste de la division euclidienne par $5$ de :\[
2023^{2024}
\]
Exercice #317
Énoncé
Résoudre le système d'inconnue $x\in \mathbb{Z}$ :\[
\begin{cases}
x \;\equiv\; 1 \;[6] \\
x \;\equiv\; 4 \;[7]
\end{cases}
\]
Exercice #318
Énoncé
Résoudre le système d'inconnue $x\in \mathbb{Z}$ :\[
\begin{cases}
3x \;\equiv\; 2 \;[5] \\
5x \;\equiv\; 1 \;[6]
\end{cases}
\]
Exercice #319
Énoncé
Montrer que, pour tout $k \in \mathbb{N}$,\[
13 \;|\; 5^{2k}\times 38 +12^k
\]
Exercice #320
Énoncé
Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$ :\[
6\;|\; n(8n+1)(13n+1)
\]
Exercice #321
Énoncé
Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$ :\[
13\;|\; 7^{2n}-23^n
\]
Exercice #326
Énoncé
Résoudre l'équation d'inconnue $x\in \mathbb{Z}$ :\[
41x+2 \;\equiv\; 0 \;[152]
\]
Exercice #327
Énoncé
Résoudre l'équation $x^2+x+11 \; \equiv \; 0 \text{ mod }143$.
Correction
On a $143=11\times 13$ et $11$ est premier avec $13$ donc d'après le théorème chinois, $(*) \;x^2+x+11 \; \equiv \; 0 \text{ mod }143$ si, et seulement si, $$(1)\; x^2+x+11 \; \equiv \; 0 \text{ mod }11 \quad \text{et} \quad (2)\; x^2+x+11 \; \equiv \; 0 \text{ mod }13$$ Donc si $x_1$ est une solution de $(1)$ et $x_2$ une solution de $(2)$, alors $x=x_1u+x_2v$ est solution de $(*)$ où $u,v \in \mathbb{Z}$ sont tels que $11u+13v=1$, et toutes les solutions sont de cette forme.
On a $$ (x+1)x=x^2+x \; \equiv \; x^2+x+11 \; \equiv \; 0 \text{ mod }11 $$ et $$ (x-1)(x+2)=x^2+x-2 \; \equiv \; x^2+x+11 \; \equiv \; 0 \text{ mod }13 $$ Donc les solutions de $(1)$ sont $x \; \equiv \; 0 \text{ mod }11$ et $x \; \equiv \; -1 \text{ mod }11$ et les solutions de $(2)$ sont $x \; \equiv \; 1 \text{ mod }13$ et $x \; \equiv \; -2 \text{ mod }13$.
Déterminons les coefficients $u$ et $v$ : on a $6\times 11-5\times 13=1$, d'où $u=6$ et $v=5$.
Ainsi, on a donc les solutions suivantes : $$ x \; \equiv \; 66 \text{ mod }143 $$ $$ x \; \equiv \; 11 \text{ mod }143 $$ $$ x \; \equiv \; -12 \text{ mod }143 $$ $$ x \; \equiv \; 76 \text{ mod }143 $$
On a $$ (x+1)x=x^2+x \; \equiv \; x^2+x+11 \; \equiv \; 0 \text{ mod }11 $$ et $$ (x-1)(x+2)=x^2+x-2 \; \equiv \; x^2+x+11 \; \equiv \; 0 \text{ mod }13 $$ Donc les solutions de $(1)$ sont $x \; \equiv \; 0 \text{ mod }11$ et $x \; \equiv \; -1 \text{ mod }11$ et les solutions de $(2)$ sont $x \; \equiv \; 1 \text{ mod }13$ et $x \; \equiv \; -2 \text{ mod }13$.
Déterminons les coefficients $u$ et $v$ : on a $6\times 11-5\times 13=1$, d'où $u=6$ et $v=5$.
Ainsi, on a donc les solutions suivantes : $$ x \; \equiv \; 66 \text{ mod }143 $$ $$ x \; \equiv \; 11 \text{ mod }143 $$ $$ x \; \equiv \; -12 \text{ mod }143 $$ $$ x \; \equiv \; 76 \text{ mod }143 $$
Exercice #314
Énoncé
Résoudre le système d'inconnues $x,y$ dans $\mathbb{N}$ :\[
\begin{cases}
x+y=100 \\
x\wedge y=10
\end{cases}
\]
Exercice #323
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que $n+1$ divise $\dbinom{2n}{n}$.
Exercice #324
Énoncé
Soit $a \in \mathbb{N}^*$. Montrer que $2a+1$ et $a^2+a$ sont premiers entre eux.
Exercice #322
Énoncé
Soit $n$ un entier supérieur ou égal à $2$. Montrer que si $2^n-1$ est premier, alors $n$ est premier.
Exercice #325
Énoncé
Déterminer toutes les couples $(x,y)$ dans $\mathbb{Z}^2$ solutions de l'équation :\[
7x-11y = 5
\]
Exercice #315
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer qu'on peut trouver $n$ entiers consécutifs de telle sorte qu'aucun d'entre eux n'est premier.
Exercice #316
Énoncé
Soit $p$ un nombre premier plus grand ou égal à $5$. Montrer que $24\;|\;p^2-1$.
Exercice #161
Énoncé
Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle $F$ suivante :\[
F=\frac{X^4+2X^2+1}{X^2-1}.
\]
Exercice #458
Énoncé
Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle $F$ suivante :\[
F=\frac{7X^3+12X^2+6X-1}{X^4+X^3-X^2-X}.
\]
Exercice #459
Énoncé
Décomposer en éléments simples dans $\mathbb{R}(X)$ la fraction rationnelle $F$ suivante :\[
F=\frac{4X^2+3X+2}{X^3+X^2+X}.
\]
Exercice #163
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Pour $k \in \mathbb{N}$, calculer la dérivée $k$-ième de la fraction rationnelle :\[
F=\frac{1}{X(X+1)...(X+n)}.
\]
Exercice #165
Énoncé
Calculer une primitive sur $]-1,+\infty[$ de $f:t\mapsto \displaystyle\frac{1}{1+t^3}$.
Exercice #419
Énoncé
Soit $P\in \mathbb{R}[X]$ un polynôme scindé à racines simples dans $\mathbb{R}$.
- Montrer que $P'$ est scindé à racines simples dans $\mathbb{R}$.
- Montrer que le polynôme $P^2+1$ est scindé dans à racines simples dans $\mathbb{C}$.
Exercice #147
Énoncé
Résoudre l'équation d'inconnue $P \in \mathbb{K}[X]$ où $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$ :\[
P(X^2)=(X^2+1)P(X).
\]
Exercice #441
Énoncé
Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de $A$ par $B$ où :\[
A=X^4+X^3+3X^2+5X+1 \text{ et }B=X^2+2
\]
Exercice #442
Énoncé
Déterminer le quotient et le reste de la division euclidienne de $A$ par $B$ où :\[
A=2X^5+4X^4+5X^2+2X+1 \text{ et }B=X^2+2X-1
\]
Exercice #148
Énoncé
Soit $a,b \in \mathbb{N}^*$. Déterminer le reste de la division euclidienne de $X^a$ par $X^b-1$.
Exercice #154
Énoncé
Déterminer le PGCD de $P$ et $Q$ où $P(X)=X^3-X^2-X-2$ et $Q(X)=X^5-2X^4+X^2-X-2$.
Exercice #152
Énoncé
Soient $n,m\in \mathbb{N}^*$. Déterminer le PGCD de $X^n-1$ et $X^m-1$.
Exercice #155
Énoncé
Factoriser dans $\mathbb{R}[X]$ :\[
X^4+1
\]
Exercice #157
Énoncé
Factoriser dans $\mathbb{R}[X]$ :\[
X^{12}-1.
\]
Exercice #158
Énoncé
Factoriser dans $\mathbb{R}[X]$ :\[
X^6+1.
\]
Exercice #156
Énoncé
Montrer que le polynôme $P$ est à coefficients dans $\mathbb{R}[X]$ puis le factoriser en produit de polynômes irréductibles dans $\mathbb{R}[X]$ où :\[
P(X)=-i\left((X+i)^n-(X-i)^n\right).
\]
Exercice #159
Énoncé
Déterminer un polynôme $P \in \mathbb{R}[X]$ de degré inférieur ou égal à $3$ tel que :\[
P(0)=1;\quad P(1)=0;\quad P(-1)=-2; \quad P(2)=4.
\]
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