Soit $A$ un anneau commutatif. On note :\[ N=\{x \in A \; | \; \exists \,n \in \mathbb{N}^*, \; x^n=0_A \}. \]Montrer que $N$ est un idéal de $A$.

Soit $A$ un anneau commutatif et $I$ un idéal de $A$. On note :\[ \sqrt{I}=\{x \in A \; | \; \exists \,n \in \mathbb{N}^*, \; x^n \in I \}. \]

1. Montrer que $\sqrt{I}$ est un idéal de $A$.
2. Déterminer $\sqrt{169\mathbb{Z}}$ et $\sqrt{256\mathbb{Z}}$ dans l'anneau $\mathbb{Z}$.
3. Montrer que $\sqrt{\sqrt{I}} = \sqrt{I}$.
4. Soit $J$ un idéal de $A$. Montrer que : \[ \sqrt{I\cap J}=\sqrt{I} \cap \sqrt{J} \text{ et } \sqrt{I}+\sqrt{J} \subset \sqrt{I+J}. \] Trouver un exemple dans $\mathbb{Z}[X]$ qui montre que, pour le dernier point, l'inclusion réciproque est fausse en général.

On considère l'ensemble :\[ A=\{x \in \mathbb{Q} \; | \; \exists\, a \in \mathbb{Z},\; \exists\, b \in 2\mathbb{Z}+1, \; x=\frac{a}{b}\}. \]Montrer que $A$ est un sous-anneau de $\mathbb{Q}$ puis montrer que $A$ est principal.

On considère l'anneau $\mathbb{Z}[X]$ et $n \in \mathbb{N}$ avec $n\geqslant 2$. Montrer que l'idéal $I=X\mathbb{Z}[X]+n\mathbb{Z}[X]$ n'est pas principal.

Soit $A$ un anneau intègre. Montrer que $A[X]$ est principal si, et seulement si, $A$ est un corps.

On note $\mathbb{Z}[i]=\{a+ib \; | \; a,b \in \mathbb{Z}\}$.

1. Montrer que $\mathbb{Z}[i]$ est un sous-anneau de $\mathbb{C}$.
2. Déterminer le groupe des inversibles de $\mathbb{Z}[i]$.