On considère l'ensemble :\[ A=\{x \in \mathbb{Q} \; | \; \exists\, a \in \mathbb{Z},\; \exists\, b \in 2\mathbb{Z}+1, \; x=\frac{a}{b}\}.\]Montrer que $A$ est un sous-anneau de $\mathbb{Q}$ puis montrer que $A$ est principal.

On considère l'anneau $\mathbb{Z}[X]$ et $n \in \mathbb{N}$ avec $n\geqslant 2$. Montrer que l'idéal $I=X\mathbb{Z}[X]+n\mathbb{Z}[X]$ n'est pas principal.

Soit $A$ un anneau intègre. Montrer que $A[X]$ est principal si, et seulement si, $A$ est un corps.