Exercices de la catégorie Structures algébriques
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Structures algébriques : liste des exercices
Exercice #126
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$ et $(G,\cdot)$ un groupe fini de cardinal $2n$. On définit sur $G$ la relation binaire $\mathcal{R}$, pour $g,h \in G$, par :\[ g \,\mathcal{R} \,h \;\text{ si, et seulement si, }\;g=h \text{ ou }g^{-1}=h.\]
- Montrer que $\mathcal{R}$ est une relation d'équivalence sur $G$.
- En déduire qu'il existe un élément d'ordre $2$ dans $G$.
Exercice #127
Énoncé
Soit $(G,\cdot)$ un groupe et $x,y \in G$ deux éléments qui commutent d'ordres finis respectifs $n$ et $m$. On suppose de plus que $n$ et $m$ sont premiers entre eux.
Déterminer l'ordre $o(g)$ de $g=xy$.
Déterminer l'ordre $o(g)$ de $g=xy$.
Exercice #128
Énoncé
Soit $(G, \cdot)$ un groupe, $n,m \in \mathbb{N}^*$ et $g \in G$ un élément d'ordre fini égal à $nm$.
Montrer que si $n$ et $m$ sont premiers entre eux alors il existe un unique couple $(x,y) \in G^2$ tel que $x,y$ commutent, sont d'ordres finis respectifs $n$, $m$ et $g=xy$.
Montrer que si $n$ et $m$ sont premiers entre eux alors il existe un unique couple $(x,y) \in G^2$ tel que $x,y$ commutent, sont d'ordres finis respectifs $n$, $m$ et $g=xy$.
Correction
On suppose $n \wedge m = 1$. D'après le théorème de Bézout, il existe $u,v \in \mathbb{Z}$ tels que $nu+mv=1$.
On remarque alors, à partir de cette relation et toujours d'après le théorème de Bézout (la réciproque cette fois), que $n \wedge v = 1$ et $m \wedge u = 1$.
Démontrons le résultat demandé :
On remarque alors, à partir de cette relation et toujours d'après le théorème de Bézout (la réciproque cette fois), que $n \wedge v = 1$ et $m \wedge u = 1$.
Démontrons le résultat demandé :
- Existence : On pose $x=g^{mv}$ et $y=g^{nu}$. Alors $x$ et $y$ commutent car des composées de $g$ et de son symétrique commutent entre elles et on a : \[ xy=g^{mv}g^{nu}=g^{mv+nu}=g. \] De plus, on a $x^n=(g^{mv})^n=(g^{nm})^v=e$ et $y^m=(g^{nu})^m=(g^{nm})^u=e$ car $g$ est d'ordre $nm$, donc $x$ et $y$ sont d'ordre finis disons respectivement $p$ et $q$.
D'après ce qui précède, on a $p|n$ et $q|m$. Montrons que $n|p$ et $m|q$.
On a : \[ g^{mvp}=x^p=e \] et $g$ d'ordre $nm$ donc $nm|mvp$ d'où $n|vp$. Or, d'après la remarque initiale, $n \wedge v = 1$, donc d'après le lemme de Gauss, $n|p$.
Par un raisonnement analogue, on prouve $m|q$.
Ainsi, $n,m,p,q$ étant positifs, on a $p=n$ et $m=q$.
Ce qui démontre l'existence. - Unicité : Soit $(x,y), (z,t) \in G^2$ deux couples ayant les propriétés annoncées. Alors, comme $xy=g=zt$, on a $x^{-1}z=yt^{-1}$ et : \[ \begin{array}{rcl} x^{-1}z&=&(x^{-1}z)^{nu+mv} \\ &=&(x^{-1}z)^{nu}.(yt^{-1})^{mv} \\ &=&((x^n)^{-1}z^n)^u.(y^m(t^m)^{-1})^{v} \\ &=&(e.e)^u.(e.e)^v \\ x^{-1}z&=&e \end{array} \] D'où $e=x^{-1}z=yt^{-1}$ et donc $x=z$ et $y=t$.
Ce qui prouve l'unicité.
Exercice #133
Énoncé
Montrer que $G=\{z \in \mathbb{C} \; | \; \exists\; n \in \mathbb{N}^*, z^n=1\}$ est un sous-groupe de $(\mathbb{C}^*,\times)$. Quel est son cardinal ? Justifier.
Exercice #129
Énoncé
Soit $I=]-1,1[$. On munit $I$ d'une loi $*$ définie, pour tous $x,y \in I$,par $x*y=\frac{x+y}{1+xy}$.
- Montrer que, pour tous $x,y \in I$, $x*y$ est bien défini. Puis montrer que $*$ est une loi de composition interne sur $I$.
- Montrer que $(I,*)$ est un groupe commutatif. $[0,1[$ est-il un sous-groupe de $I$ ?
- Soit $x>0$. Montrer que $H_x=\{\frac{x^n-1}{x^n+1} \; | \; n \in \mathbb{Z}\}$ est un sous-groupe de $I$.
Exercice #130
Énoncé
Soit $(G,.)$ un groupe tel que pour tout $g \in G$, $g^2=e$. Montrer que $G$ est un groupe commutatif.
Exercice #137
Énoncé
Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On considère $f:x \mapsto x^n$ et $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Montrer que $f$ est un morphisme de groupes de $(\mathbb{K}^*,\times)$ dans lui-même puis, en fonction de $\mathbb{K}$, déterminer son image et son noyau.
Exercice #381
Énoncé
Soit $G$ un groupe. On condidère l'application $f:x \mapsto x^{-1}$ de $G$ dans $G$ où $x^{-1}$ désigne le symétrique de l'élement $x \in G$ pour la loi de composition interne de $G$.
- Montrer que $f$ est bijective.
- Montrer que $f$ est un morphisme si, et seulement si, $G$ est commutatif.
Exercice #142
Énoncé
Soit $A$ un anneau commutatif. On note :\[ N=\{x \in A \; | \; \exists \,n \in \mathbb{N}^*, \; x^n=0_A \}.\]Montrer que $N$ est un idéal de $A$.
Exercice #144 Radical d'un idéal
Énoncé
Soit $A$ un anneau commutatif et $I$ un idéal de $A$. On note :\[ \sqrt{I}=\{x \in A \; | \; \exists \,n \in \mathbb{N}^*, \; x^n \in I \}.\]
- Montrer que $\sqrt{I}$ est un idéal de $A$.
- Déterminer $\sqrt{169\mathbb{Z}}$ et $\sqrt{256\mathbb{Z}}$ dans l'anneau $\mathbb{Z}$.
- Montrer que $\sqrt{\sqrt{I}} = \sqrt{I}$.
- Soit $J$ un idéal de $A$. Montrer que : \[ \sqrt{I\cap J}=\sqrt{I} \cap \sqrt{J} \text{ et } \sqrt{I}+\sqrt{J} \subset \sqrt{I+J}. \] Trouver un exemple dans $\mathbb{Z}[X]$ qui montre que, pour le dernier point, l'inclusion réciproque est fausse en général.
Exercice #179
Énoncé
On considère l'ensemble :\[ A=\{x \in \mathbb{Q} \; | \; \exists\, a \in \mathbb{Z},\; \exists\, b \in 2\mathbb{Z}+1, \; x=\frac{a}{b}\}.\]Montrer que $A$ est un sous-anneau de $\mathbb{Q}$ puis montrer que $A$ est principal.
Exercice #180
Énoncé
On considère l'anneau $\mathbb{Z}[X]$ et $n \in \mathbb{N}$ avec $n\geqslant 2$. Montrer que l'idéal $I=X\mathbb{Z}[X]+n\mathbb{Z}[X]$ n'est pas principal.
Exercice #181
Énoncé
Soit $A$ un anneau intègre. Montrer que $A[X]$ est principal si, et seulement si, $A$ est un corps.
Exercice #135
Énoncé
On note $\mathbb{Z}[i]=\{a+ib \; | \; a,b \in \mathbb{Z}\}$.
- Montrer que $\mathbb{Z}[i]$ est un sous-anneau de $\mathbb{C}$.
- Déterminer le groupe des inversibles de $\mathbb{Z}[i]$.
Exercice #140
Énoncé
On définit deux lois de composition sur $\mathbb{R}$ :\[x\oplus y=x+y-1 \quad\text{et}\quad x \otimes y=x+y-xy \quad\text{pour }x,y \in \mathbb{R}\]Montrer que $(\mathbb{R},\oplus,\otimes)$ est un corps.
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